Correo del Maestro Núm. 147,agosto 2008

Acerca de la numerización

Roberto Markarian

En la literatura anglosajona sobre la enseñanza de la matemática elemental se ha introducido el uso de la palabra numeracy, que es un neologismo resultante de la contracción y simbiosis1 de las palabras number (número) y literacy (capacidad de leer y escribir, alfabetización). Este vocablo se ha traducido, en nuestra opinión, equívocamente, por ‘alfabetización numérica’ y por ‘competencia numérica’. En nuestras traducciones y trabajos hemos recreado la palabra numerización.2

Alfabetización y competencias

El uso de la expresión ‘alfabetización numérica’ nos parece un contrasentido visto el significado muy amplio que se le ha dado a numeracy. En español la alfabetización indica procesos iniciales de lectura y escritura (la propia etimología de la palabra está dada por las dos primeras letras del alfabeto griego). En cualquiera de los usos que se le ha dado a la expresión en inglés abarca mucho más que escribir y leer números. Incluso se ha dicho que la finalidad de la enseñanza secundaria en lo que respecta a esta disciplina es alfabetizar numéricamente, lo cual parece o una reducción excesiva de dichas finalidades o un mal uso del idioma español.

Quizá, más cuidado se debe tener con el uso de la expresión ‘competencias numéricas’, que se ha extendido muy rápidamente en los últimos años en ámbitos de la didáctica y de la conducción política y administrativa de los organismos de la enseñanza.

La palabra competencia tiene muchas acepciones en el español. Las que se refieren a nuestro asunto podrían resumirse en ‘pericia, aptitud, idoneidad para hacer algo’ y ha tomado luego, referida a los procesos de aprendizaje, una significación muy operativa, que hace a los usos prácticos del conocimiento, a las habilidades para usar más que comprender. Lejos está de nuestra concepción del aprendizaje alejarlo de sus aplicaciones y utilidad para la adaptación de los seres humanos al cambiante entorno en el que vive. El peligro está en la reducción del saber a su utilización, ignorando o relegando su papel creativo, como medio de lograr independencia. Y para esto hay que saber, no sólo usar.

Además, como observan Nunes y Bryant,3 “ser competente en lo que a números se refiere no es lo mismo que saber hacer cuentas, aun si los patrones a veces lo piensan así”. Efectivamente, muchas veces los empleadores, los manuales y libros de referencia oficiales propugnan el uso meramente operativo del conocimiento. Podría argüirse que en el caso de la matemática estas observaciones pierden parcial validez por la asepsia de la disciplina. No estamos de acuerdo en general, y menos en particular, porque el aprendizaje de la disciplina, en su origen, en su dimensión humana, en sus usos, incluye una dimensión conceptual, abstracta, que el maestro debe conocer y transmitir de diversas manera a sus alumnos.

Numerización

Debido a que la palabra es de uso reciente en el idioma inglés, la introducción de un vocablo semejante en el español permite darle la acepción y hacer los énfasis que parezcan más convenientes. En inglés, el término tomó estatus oficial4 en un importante informe solicitado por los gobiernos de Inglaterra y Gales sobre la enseñanza de la matemática en las escuelas (Report of the Committee of Inquiry into the teaching of mathematics in schools under the chairmanship of Dr. WH Cockcroft, 1982). Allí se dice:

Quisiéramos que la palabra ‘numerizar’ implicara tener dos atributos. El primero: sentirse ‘a gusto’ con los números y ser capaz de utilizar las habilidades matemáticas que permiten a una persona hacer frente a las necesidades matemáticas prácticas de la vida diaria. El segundo: ser capaz de captar y entender la información que se presenta en términos matemáticos, por ejemplo en gráficas, diagramas y cuadros, o mediante referencias a incrementos o decrementos porcentuales. En suma, ambos atributos implican que una persona numerizada debería poder captar y comprender algunas de las maneras de utilizar las matemáticas como medio de comunicación.

Luego de observar que el diccionario de Oxford traduce numerate por estar familiarizado con los principios básicos de las matemáticas y las ciencias, y el Collins, por realizar operaciones aritméticas básicas, concluyen que:

estamos pidiendo más de lo que está incluido en el Collins, pero no tanto como lo que está incluido en el Diccionario de Oxford […] Nuestra preocupación es que aquellos que se propongan que sus alumnos estén ‘numerizados’ deberían poner su atención en los aspectos más amplios de la numerización y no contentarse sólo con las habilidades en el cálculo.

Esta significación dada a la palabra numerizar nos parece correcta. Entre los aspectos ‘más amplios’, en especial en la que podríamos llamar ‘numerización temprana’ (que hace referencia no sólo a la edad de los niños, que en este caso va, aproximadamente, de 0 a 6 años, sino también a las primeras nociones matemáticas) se incluyen el inicio de la clasificación y ordenación, el conteo, la identificación y el reconocimiento de cifras y pequeños cálculos mentales de suma y resta.

Enseñanza duradera: adaptabilidad y cultura

El mismo informe insiste en la necesidad de enseñar para tener confianza en el uso de esos conceptos en la vida adulta, para comprender el mundo y participar en la construcción del entorno (aunque sea imprevisible). En este sentido, la escuela debe dar una enseñanza duradera: formar hombres y mujeres capaces de reflexionar y opinar; formar ciudadanos aptos para decidir sobre su destino de manera razonada.

Para que la enseñanza cumpla con esos objetivos se deben tener en cuenta dos palabras que se remarcan en el informe de la Comisión de Reflexión sobre la Enseñanza de la Matemática, presidida por Jean-Pierre Kahane:5 adaptabilidad y cultura. Ser capaces de reaccionar ante los cambios y, a su vez, basarse en la perennidad de los conocimientos y la memoria de la humanidad. Esto implica tomar distancia de algunas contingencias sociales y económicas, y resistir la tentación de desarrollar únicamente conocimientos técnicos muy especializados, pero obsoletos en el momento mismo de ser aprendidos.

Por ello, las matemáticas deben estudiarse y aprenderse como un conjunto de técnicas de utilidad para otras disciplinas, pero también como una incitación a la investigación y al razonamiento, y una ayuda a la comprensión del mundo. Se trata también de encontrar el pensamiento matemático en los objetos usuales (los números enteros por ejemplo, dando forma conceptual a las primeras abstracciones de la cantidad y el orden) o en situaciones que no son necesariamente usuales, pero aparecen en la vida del niño (estrategias de juegos, modelización de una experiencia).

Estos mismos procedimientos permitirán tomar conciencia del carácter relativo de ciertas técnicas que muchs veces se adquieren sin estar acompañadas de la comprensión de su significado. Por ejemplo, las maneras de dividir o multiplicar, comparando los resultados con los que da una calculadora (relación entre el resto entero y los decimales indicados en la calculadora).

Cardinales y ordinales

A este respecto, nos  parece importante destacar que la buena combinación de la comprensión de los aspectos cardinal (de cantidad) y ordinal (de ordenamiento) de los números, aparece como una necesidad básica inicial para que el niño pequeño desarrolle una buena comprensión cuantitativa y clasificatoria de su mundo. Los símbolos numéricos son también usados como etiquetas o identificadores, pero éste no es un aspecto matemático, sino más bien de la escritura y sus simplificaciones, aunque muchas veces relacionado con ordenamientos: nos referimos a los números de las líneas de autobuses, los que indican a la dureza de un lápiz, etcétera.

El aspecto ordinal se refiere a la sucesión numérica, al uso de los números para ordenar objetos, para identificarlos, para darles un nombre que a su vez indique su posición relativa con otros elementos del mismo tipo. La numeración de las páginas de un libro, de los cuartos de un hotel, de los alumnos en la lista de un curso; las fechas en el calendario, las horas de cada día son usos corrientes de este aspecto.

Esto se destaca con los adjetivos ‘primero’, ‘segundo’, … con que suele denominarse a los sucesivos elementos de un conjunto ordenado.

Los elementos iniciales del aspecto ordinal parecen adquirirse memorísticamente: cantos, repetición de la sucesión de los primeros números, etc. Esto es razonable porque diversos procesos ordenadores se basan en la aplicación de buenas rutinas, de saber utilizar procedimientos estandarizados.

Lo que resulta paradojal es cómo este aspecto de los números se combina con el cardinal en los procesos de aprendizaje del niño. No hay teorías aceptadas con generalidad sobre estos asuntos. Desde el punto de vista histórico, ambos aspectos tuvieron evoluciones diferentes en las distintas civilizaciones (por ejemplo, entre los mayas, la aparición de los números está directamente relacionada con sus usos para los calendarios, o sea elementos de ordenación, aunque es claro que también los utilizaron como cardinales. A este respecto, véase también la digresión final de esta nota).

Cardinal

El aspecto cardinal de los números es consecuencia directa de las relaciones o correspondencias biunívocas establecidas entre diversos conjuntos. La existencia de una correspondencia biunívoca establece de inmediato un carácter común a los dos conjuntos: la cantidad de sus elementos, independientemente de su índole, color, raza, género, forma, etc. Lo común entre los dos es la cantidad de elementos.

Esta característica común se denomina con un número que indica la cantidad de elementos de cada uno de ellos.

Naturalmente que no se trata de que el niño adquiera el concepto de cantidad reconociendo cada uno de estos pasos, pero es fundamental que el maestro comprenda que la asimilación de este concepto cuantitativo es similar a otros muchos procesos de reconocimiento de características comunes a diversos objetos. Nos referimos, por ejemplo, a los colores; el color rojo es reconocido independientemente de quién o qué porte esa característica. Roja es una caja, una pared, la sangre, la flor del tabachín, etc., y el niño reconoce ese rasgo común a tantos objetos diferentes.

El reconocer y dar un nombre a una propiedad común a distintos objetos parece estar en la base de muchos procesos de abstracción y comprensión. El reconocimiento de la cantidad de elementos de un conjunto, por lo menos el reconocimiento de las cantidades pequeñas, es más o menos simultáneo con el entendimiento del aspecto ordinal.

Éste muchas veces se acompaña –como hemos ya observado– de un proceso de memorización de la sucesión de números, de reconocimiento de las reglas que permiten nombrar a los números (esto suele variar de idioma a idioma), que es un tanto independiente del aspecto cardinal.

Ambos aspectos se juntan en el proceso de contar. En el comienzo, éste puede ser tan simple y sin significado como un canto de cumpleaños o navideño. Pero en algún momento, el acto de nombrar ordenadamente los elementos de un conjunto adjudicándoles números, se transforma en el establecimiento de la correspondencia entre los números y la cantidad de elementos del conjunto, y sucede que al terminar de nombrarlos, el último número es la cantidad de elementos del conjunto.

Es razonable que esta adquisición no sea inmediata, porque son procesos un tanto independientes, que el niño no tiene por qué asimilar de inmediato.

Por último, el maestro debe tener claro que la construcción formal de los números, válida para ambos aspectos, está basada en la construcción sucesiva de los números por la adición del uno.

Se comienza en algún número, digamos el uno y se le suma uno, da el dos. Se le suma uno y da el tres, se sigue… se le suma uno al doce y da el trece.

En realidad este proceso es la base de lo que en matemática se denomina el ‘principio de inducción completa’: una propiedad dependiente de los números naturales es cierta si:

1)vale para un primer número y

2)suponiéndola válida para un cierto número k, vale para el siguiente, k + 1.

Digresión

Por último, permítaseme una digresión histórico-filosófica que ayudará a profundizar en los aspectos no competentes de la matemática. Me he inspirado en la Introducción de Antonio Merino López a la edición de la Física de Aristóteles,6 quien vivió entre 384-322 a. C. Se refiere esencialmente al aspecto cardinal de los números.

La noción cotidiana de número que poseían los griegos antes de Platón (aprox. 427-347 a. C.), permanece oculta o supuesta mientras el análisis filosófico no repare en ella. El sentido cotidiano de arithmos está estrechamente ligado con el acto de contar y por ello siempre dirige la atención a las cosas contadas. Así, el griego no piensa el ‘5 en general’ o ‘por sí mismo’, como usualmente lo hacemos nosotros.

Arithmos siempre está vinculado con una multitud perceptible de algo, sean piedras, caballos, hombres o cualquier otra cosa. Por consiguiente siempre es ‘5-piedras’ o ‘4-caballos’. De ahí que la definición de número siempre refiere a una multitud de unidades. Euclides (aprox. 325-265 a. C.) define unidad así: “La unidad es aquello en virtud de lo cual se llama una a cada una de las cosas” (Elementos, libro VII, definición 1).Y a continuación, el número se define de la siguiente manera: “El número es la multitud compuesta de unidades” (Ibid., definición 2). En estas definiciones se aprecia con claridad la noción cotidiana pues se recalca que el número es resultado de la presencia de multitud de unidades. El número no tiene existencia separada de la multitud sino que está en ella.

El largo y venturoso camino que conduce del número en el sentido prístino al número como pura producción de la mente (Cf. Kant: “Las matemáticas son poesía pura”), tiene su comienzo en la práctica de calcular. Puede pensarse en que inicialmente quien cuenta en efecto tiene que ver las cosas que está contando, pero pronto la piedrecilla del cálculo comienza a sustituir o simbolizar las cosas contadas. Las propiedades que el calculista descubre las atribuye al número y no a la cosa numerada. Su familiaridad con las operaciones aritméticas le permite poner la atención en las peculiaridades del número sin atender a su relación con las cosas numeradas.

1 Asociación de individuos animales o vegetales de diferentes especies, sobre todo si los simbiontes sacan provecho de la vida en común.

2 Véase: Virginia Ferrari, “Los niños y los números. Cómo podemos ayudar”, Correo del Maestro, núm. 143, año 12, abril de 2008, pp. 5-9.

3 Teresinha Nunes y Peter Bryant, Las matemáticas y su aplicación. La perspectiva del niño, Capítulo 1. ¿Qué significa competencia numérica? Siglo Veintuno Editores, México, 1997, 306 pp.

4 Aunque había sido usada anterioremente en un informe Crowther (15 to 18. A report of the Central Advisory Council for Education (England). HMSO 1959).

5 “La formation des maîtres en mathématiques”, mayo 2003. Véase Enseignement des sciences mathématiques: Commission de réflexion sur l’enseignement des mathématiques: Rapport au ministre de l’éducation nationale / bajo la dirección de Jean-Pierre Kahane. O. Jacob/Centre National de Documentation Pédagogique, París 2002, 284 pp.

6 Aristóteles, Física, Versión de Ute Schmidt Osmanczik. Introducción de Antonio Marino López, UNAM, México, 2005.