Correo del Maestro Núm. 134, julio 2007

Continuidad en la enseñanza
de la geometría*

Roberto Markarian
Nelson Möller

En un primer artículo sobre este libro hicimos una breve descripción general de su estructura y contenido.1 En este segundo artículo analizamos con detenimiento el primer capítulo, denominado “Espacio y geometría”, que proporciona, a declaración expresa del autor, “un encuadre psicológico para los capítulos siguientes”; podría decirse que se expone el sustento psicológico y epistemológico que estructura el libro.

Hemos agregado algunos fragmentos de una obra de Lovell y el comienzo del capítulo dedicado a la geometría de una obra de Dienes, quien con un enfoque semejante llega a conclusiones muy distintas sobre el proceso inicial de enseñanza-aprendizaje de la geometría.

Inclinación constructivista

Dejando clara su inclinación constructivista, el autor comienza exponiendo los aportes de Piaget sobre cuestiones geométricas. Tales aportes están distribuidos a lo largo de varias obras, ahora clásicas, publicadas entre 1937 y 1950. En su obra La representación del espacio (1948), Piaget desarrolla sus ideas fundamentales: el niño elabora su espacio vivido y luego un espacio de representaciones; las construcciones en el espacio vivido y de las relaciones espaciales siguen un orden que va de lo topológico (reconocimiento de líneas cerradas sin nudos, líneas abiertas, líneas con nudos) a lo métrico (diferenciación de las figuras por no poderse superponer).

En cada uno de estos estadios de desarrollo se distingue una progresiva diferenciación de propiedades geométricas, partiendo de aquellas que él llama topológicas, o sea, propiedades globales independientes de la forma o el tamaño, como son las siguientes:

• Cercanía (“proximidad”); por ejemplo, dibujar un hombre con los ojos juntos, aun cuando éstos puedan haber sido situados por debajo de la boca.

• Separación; por ejemplo, no traslapar la cabeza y el cuerpo.

• Ordenación; por ejemplo, dibujar la nariz entre los ojos y la boca.

• Cerramiento; como dibujar los ojos dentro de la boca.

• Continuidad; como hacer que los brazos formen un continuo con el tronco y no con la cabeza.

 

Parece que los conceptos de espacio en el niño, como en el hombre primitivo, brotan de la conciencia del propio cuerpo. Obtiene su primera noción espacial de un objeto acercándoselo a la boca, asociando la experiencia táctil. Muy lentamente va diferenciando el espacio que circunda su cuerpo del cuerpo mismo y empieza a conocer los objetos alcanzándolos y tocándolos. Pero su espacio se reduce todavía a lo que puede tocar. Hacia el sexto mes de vida la separación en el espacio del "yo" y el "no-yo" avanza más rápidamente y lo espacial se amplía paulatinamente. Sin embargo, durante largo tiempo aún permanecerá ligado al propio cuerpo del niño.”

Lovell

El segundo grupo de propiedades que según Piaget distinguen los niños son las que denomina propiedades proyectivas, que suponen la capacidad del niño para predecir qué aspecto presentará un objeto al ser visto desde diversos ángulos; por ejemplo, los niños pequeños pueden querer dibujar una cara de perfil y seguir, sin embargo, poniendo dos ojos en ella; o pueden no ser capaces de darse cuenta de que al mirar un lápiz desde un extremo se verá un círculo. La “rectitud” es una propiedad proyectiva, dado que las líneas rectas siguen mostrando un aspecto rectilíneo cualquiera que sea el punto de vista desde el que se las observe.

El tercer grupo de propiedades geométricas son las euclídeas, esto es, las relativas a tamaños, distancias y direcciones, que conducen por lo tanto a la medición de longitudes, ángulos, áreas, etc. Se pueden distinguir, por ejemplo, un trapecio y un rectángulo basándose en los ángulos y en las longitudes de los lados (desde el punto de vista proyectivo, ambas figuras son equivalentes, ya que el tablero de una mesa rectangular ofrece un aspecto de trapecio visto desde ciertos ángulos). En este estadio los niños pueden reproducir la posición exacta de un punto en una página, o una figura geométrica, y decidir qué líneas y ángulos han de medir para ello.

Para Piaget, los conceptos espaciales resultan de la interiorización de las acciones o también de las imágenes resultantes de esas acciones, y no de imágenes de cosas o acontecimientos. Ordenar mentalmente series de objetos no es precisamente imaginar los objetos ya ordenados, ni imaginar la acción de ordenarlos; más bien las series deben ser ordenadas operativamente, es decir, por medio del pensamiento lógico, empleando conceptos. Pero Boule da diversos ejemplos que no encajan en este marco, mostrándolos como fisuras a la elaboración piagetiana, y concluye que “la distinción entre construcción del espacio y relaciones geométricas no es tan simple como una ingenua oposición continente/contenido.”

“El estudio de la geometría es el estudio de las actividades posibles en el espacio que nos rodea […]. Como los únicos objetos reales son los sólidos tridimensionales, parece de sentido común que debemos comenzar el estudio de la geometría con el estudio de los movimientos de estos objetos tridimensionales –es decir, reales–, y como no existe un plano, parece imposible proporcionar experiencias que correspondan exactamente con las estructuras que forman parte de la geometría plana o bidimensional, en contra de la costumbre de que las primeras lecciones de geometría consistan generalmente en tratar las líneas, puntos, posiciones de éstos, direcciones de líneas, longitudes de segmentos lineales, algún tipo de medida, etc. No es extraño que los niños se embrollen con la confusión predominante entre lo concreto y lo abstracto, por ejemplo entre la línea de tiza en la pizarra y la abstracción que conocemos por segmento rectilíneo. Las únicas informaciones válidas sobre puntos y líneas lo son acerca de su interconexión en una especie de estructura abstracta y no acerca de algunas relaciones inexactas de estas abstracciones, que debemos escoger para dibujar.”

Dienes

Distinción entre espacio vivido y espacio representado

Más adelante se explica cómo la distinción entre espacio vivido y espacio representado se relaciona más bien con lo que insistentemente se presenta como la antinomia “espacio/geometría” equiparada a la relación “concreto/abstracto”. Ésta es una opinión compartida por varios analistas, que se han apoyado en los fundamentos de Piaget, para avanzar en la elaboración de una teoría del aprendizaje de la geometría. Por ejemplo, K. Lovell, en el capítulo “Concepto de espacio” de su obra Desarrollo de los conceptos básicos matemáticos y científicos en los niños (1969), expresa:

Conviene anticipar una clara distinción entre el espacio como percepción y el espacio como representación. A la temprana edad de seis meses un niño normal puede distinguir entre un círculo y un triángulo cuando le son presentados ante su vista. Pero sólo mucho más tarde podrá el niño representarse mentalmente estas figuras, es decir, habrá alcanzado su concepto. El desenvolvimiento de estos conceptos exige maduración y experiencia y sólo cuando las alcanza puede comunicar a los demás sus conocimientos empleando símbolos, signos gráficos y dibujos. Parece que este desenvolvimiento depende también de las actividades que realice […]. Pero a medida que tiene cierta capacidad para representarse mentalmente relaciones espaciales puede iniciar la realización de ciertas acciones, que necesitan tener en cuenta relaciones espaciales observables directamente. Piaget demostró que llega un momento en que un niño dará la vuelta para buscar detrás de una pantalla, por ejemplo, una pelota que se haya perdido detrás de ella. Esta conducta indica que puede representarse mentalmente la relación espacial entre la pelota y la pantalla, así como los movimientos de su propio cuerpo en relación con ambos objetos.
Figura 1. Relaciones dialécticas entre experiencia, intuición y deducción.

 

Espacio/geometría – Concreto/abstracto

La pregunta central es muy general “¿cómo puede el niño, que al principio no dispone más que de una experiencia singular y concreta, llegar a nociones abstractas y a conceptos?” Sin pretender dar una respuesta a lo global de la pregunta, Boule recurre a los estudios de Ferdinand Gonseth (1890-1975), quien enseñó matemática en instituciones universitarias muy prestigiosas de Berna y Zurich, y se dedicó desde muy joven a los fundamentos de la matemática, la filosofía de la ciencia y la teoría del conocimiento. Este filósofo suizo sugirió un proceso de dos etapas de esquematizaciones para las relaciones dialécticas entre experiencia, intuición y deducción: la primera, de los objetos sensibles a las nociones geométricas, y la segunda, de éstas a los sistemas formales. El movimiento de los objetos sensibles a los sistemas formales es de abstracción y el movimiento en el sentido inverso es de toma de sentido o concretización (ver fig. 1). “El origen de la geometría no está en el terreno de la lógica pura […]. No hay noción de recta sin conocimiento preliminar de algunas realizaciones más o menos toscas.”

Este tránsito lleva a Boule a plantear una tripe lectura de la geometría:

• Una geometría “natural o de observación”.

• Una geometría “esquemática”.

• Una geometría “pura”.

En la primera se busca observar, no con el fin de demostrar, sino para que el estudiante adquiera experiencias que le permitan tener representaciones de referencia. La parte “esquemática” se presenta como más difícil de delimitar, pero el lenguaje empieza a jugar un papel mucho mayor, en donde mostrar y demostrar toman cuerpo. Boule resume su discusión de estas dos primeras geometrías con la frase: “La evidencia no se decreta y –tal vez– no siempre se comparta”. Al llegar a la parte “pura” el alumno puede concebir objetos abstractos sobre los cuales se enuncian propiedades.

Piaget insiste en que los niños no pueden visualizar los resultados de las acciones más sencillas hasta que las han visto realizadas, de manera que un niño no puede imaginar la sección de un cilindro como un círculo hasta que ha cortado, por ejemplo, un cilindro de plastilina. Así, siempre, según Piaget, el pensamiento sólo puede sustituir a la acción sobre la base de los datos que la acción misma le suministra. Smedslund (1963) ha evidenciado que la mera observación del nivel horizontal de la superficie del agua, cuando el contenido es inclinado hasta verterse, no es causa de aprendizaje concerniente a la horizontalidad en los niños de cinco a siete años que carecen de un punto de partida en dicho concepto, y sólo produce limitados progresos en los que poseen rasgos iniciales del mismo.

Posteriormente, Beillin (1966) estudió la aptitud de 180 alumnos con una media de edad de siete años y seis meses para representar el nivel en recipientes inclinados a diversos ángulos. Los sujetos “sin éxito” fueron entonces adiestrados mostrándoles los niveles del agua después de su previsión (adiestramiento perceptivo) o utilizando métodos verbales. Mientras el aprendizaje resultaba en mejores realizaciones no hubo transferencia respecto a recipientes de diversa forma. Aunque la experiencia es de gran importancia en la ayuda del niño para que desarrolle sus conceptos de espacio, es necesario no olvidar que las causas genéticas juegan en ello cierta parte. Se sabe desde hace tiempo que la capacidad para operar mentalmente con figuras se presenta hacia los diez-doce años, independientemente del grado de inteligencia.”

Lovell

Mostrar y demostrar

Parece positivo que el maestro o profesor sepa, conozca de estos planteos para no quedar atado a discutir qué es o qué no es una demostración cuando de lo que se trata en los primeros años es que el niño haga un tránsito desde la construcción elemental a entender qué es lo que sucede allí. Cómo desde su entorno más próximo, lo que está a su alcance llega a la abstracción lógica que le permitirá clasificar, razonar, etcétera.

La justificación aparece “bastante antes de que se construyan demostraciones. La oportunidad de comunicar, la necesidad de explicar o de argumentar son las vías que conducen a este ejercicio más formal […]. Mostrar y demostrar pueden avanzar conjuntamente durante largo tiempo”.

Ese tránsito necesita de aprendizaje, no es una cosa que el niño haga espontáneamente solo, sino que se necesita una acción allí, intencionada, para hacer ese movimiento, ese pasaje. Hay necesidad de una acción pedagógica. Este punto suele estar en discusión; surgen corrientes que llevan ciertas inclinaciones al extremo y dejan al niño librado a sí mismo, muchas veces sin un necesario apoyo para hacer su construcción (y expresarla) del pasaje del espacio a la geometría, de lo concreto-tangible de su entorno a lo abstracto-lógico-relacional. Dejar hacer sí es pertinente, pero hay que ayudar a construir.

Este libro está montado sobre esta base: cómo y de qué manera sostener y apoyar el proceso de aprendizaje del niño. Que el maestro tenga conciencia de las distintas etapas por las que va transitando el niño y adecue los recursos, discursos, etc., en correspondencia con las mismas, parece de vital importancia desde el punto de vista de todos los intereses que entran en juego y hasta en contradicción en las instituciones de enseñanza.

Parece una sugerencia sensata, ya llevada a cabo por algunas personas en años recientes, empezar la geometría por la geometría sólida, y particularmente me gustaría añadir la conveniencia de introducir ejercicios de abstracción además del manejo de los sólidos reales, de modo que los niños se den cuenta de que lo que están aprendiendo es la interconexión dentro de alguna estructura y de que esta estructura puede tener más de una representación física; en otras palabras: sugiero que debemos hacer uso del principio de variabilidad perceptual y de acuerdo con éste realizar de muchas formas distintas las estructuras geométricas que queremos enseñar a los niños, unas espaciales y otras no espaciales.”

Dienes

Boule dedica varias páginas a “Los elementos de la geometría que se enseña”. Agrupa tales elementos bajo los rótulos de construcción del espacio, configuraciones, construcciones, transformaciones y deducción.

Aprendizaje de la geometría: proceso continuo

Destacamos que este libro se trata, en su conjunto, de la enseñanza de la geometría a niños de 3 años hasta adolescentes de 17. Boule considera que en un mismo curso se puede trabajar varios registros conceptuales y que las fases se deben acomodar en varios pliegos:

• La “construcción del espacio” debe producirse desde el comienzo hasta los 10 años (probablemente más).

• La “geometría de observación”, desde los 5 hasta los 12 años.

• La “geometría esquemática”, de los 8 en adelante.

• La “geometría pura”, a partir de los 11.

Debe haber un avance sin interrupciones en el camino desde la percepción del espacio a la geometría. El transitar continuamente este camino es el desafío que Boule plantea al sistema educativo:

Si no se llegara a concertar una continuidad en los métodos utilizados, una progresión en las exigencias, la geometría llegaría a desaparecer en la enseñanza, y las matemáticas pronto se reducirían a una simple caja de herramientas.

 

Referencias

dienes, Z. P., La construcción de las matemáticas, capítulo 7 “El estudio de la geometría”, Editorial Vicens-Vives, 1970.
lovell, K., Desarrollo de los conceptos básicos matemáticos y científicos en los niños, capítulo VIII “Concepto del espacio”, 2ª ed., Editorial Morata, 1969.
piaget, J., La representación del espacio, 1948.
* Reseña del libro Reflexiones sobre la geometría y su enseñanza, de François Boule, Correo del Maestro y Ediciones La Vasija, México, 2005.
1 R. Markarian y N. Möller, “Cómo enseñar la geometría”, Correo del Maestro, año 11, núm. 128, enero de 2007.