Correo del Maestro Núm. 128,enero 2007

Cómo enseñar la geometría*

Roberto Markarian
Nelson Möller

En este artículo se esbozan algunos rasgos generales de la obra Reflexiones sobre la geometría y su enseñanza (Questions sur la géométrie et son enseignement), de François Boule, cuya versión en español apareció recientemente y de la cual hemos tenido el privilegio de actuar como revisores de la traducción.

El objetivo principal de dicho trabajo está expuesto con claridad en sus primeras páginas:



Una cuestión fundamental consiste en preguntarse si en el transcurso de la formación, hay continuidad o rupturas entre las diversas formas de actividades geométricas y los objetivos que se quieren alcanzar.
La ruptura didáctica tiene ciertamente efectos devastadores, particularmente en el colegio: ¿se trata de observar o de demostrar? ¿En función de qué premisas que se suponen adquiridas? A falta de un contrato claro, explícito y justificado (¿para qué sirve demostrar lo que estamos viendo?), la enseñanza de la geometría carece de norte.
Una de las finalidades de esta obra es convencer de la posibilidad de reducir las faltas de continuidad de uno a otro punto de vista, a lo largo de un mismo tema (p. 9).

François Boule presenta una reflexión pedagógica sobre la enseñanza de la geometría. La novedad principal es que se propone analizar conjuntamente, en términos de objetivos y de contenidos, la enseñanza en la escuela primaria y la secundaria. Se trata de dar continuidad a la enseñanza de la geometría en instituciones con culturas, lógicas, objetivos, formas pedagógicas y docentes distintos, por no decir separados por un tabique bastante impermeable.

Para comprender por qué Boule puede realizar con total solvencia esta reflexión que atraviesa tal diversidad de sistemas conviene tener presente los años de experiencia del autor en los Institutos Universitarios de Formación de Maestros (iufm).1

En 1990-1991 comenzaron los iufm “pilotos” de las Academias de Lille, Reims y Grenoble;2 de 1991 a 1992 todas las Academias se dotaron de uno. Los iufm sustituyeron a tres estructuras: las escuelas normales de maestros, las de aprendizaje y los centros pedagógicos regionales que formaban, respectivamente, los maestros, los profesores de enseñanza profesional y los profesores de segundo grado. En ellos se ingresa luego de algunos años de estudios postsecundarios. El primer año es aprobado por un concurso después del cual entran en el segundo año de formación con el estatus de “professeurs-stagiaires” (ya son funcionarios del sistema educativo francés y reciben una remuneración anual de aproximadamente 10 000 euros). Durante ese segundo año, deben entregar los trabajos de los diferentes “módulos” disciplinarios, hacer pasantías de un mes y escribir “un mémoire” que desarrolla una cuestión pedagógica de su elección. En los iufm hay unos 90 000 estudiantes y egresan alrededor de 25 000 por año. Por tanto, el trabajo en estos institutos puso al autor en contacto con las diversas realidades del sistema educativo preuniversitario.

El autor, en la presentación de su obra, dice lo que no ha querido hacer: ni un manual, ni un tratado de geometría, ni una obra de didáctica. No es ciertamente un manual. No es tampoco un tratado de geometría en el sentido clásico del término; en palabras del propio autor:

No se trata de evocar toda la geometría “clásica” un volumen no sería suficiente ni siquiera sólo para el triángulo. Se trata de intentar aislar algunos ejes fundamentales y la lógica de su desarrollo a lo largo de una década de enseñanza (p. 13).

También deja claro su concepción constructivista de la enseñanza-aprendizaje:

La enseñanza pone en juego, en primera instancia, un saber que se va a enseñar, un profesor y un(os) alumno(s). El saber que se va a enseñar no es exactamente el saber como tal; los profesores, al igual que los alumnos, son portadores de concepciones propias, o están inmersos en redes de interpretaciones (familiares, sociales, psicológicas, etc.) […].
Puede decirse que, en lo esencial, la didáctica de la geometría está por hacerse. Lo cual no debe disuadir a los profesores de enseñar ni a los alumnos de aprender; y eso es lo que unos y otros siguen haciendo, sin esperar (pp. 10-11).

Podemos decir que la presentación y los primeros tres capítulos están consagrados a una visión global de la geometría y de las finalidades de su enseñanza. Sus títulos sugieren claramente los contenidos, y son los siguientes:

• Espacio y geometría

• Organización del espacio

• Del reconocimiento global a la percepción analizada

Allí analiza y enriquece los aportes de Piaget, sirviéndose de trabajos posteriores. En los capítulos siguientes, que ocupan la mayor parte del libro, se desarrollan temas específicos:

• Circuitos y laberintos

• Rompecabezas

• Plegados

• Figuras poligonales

• Teselados

• Descripciones y construcciones

• Construcción de la medida

• Áreas

• Circunferencia y círculo

• Repertorio de configuraciones

• El teorema de Pitágoras

• El teorema de Tales

• Los objetos del espacio

• Del plano al espacio

• Del espacio al plano

• Cálculos y funciones

• Perspectiva

Por último, hay un amplio anexo que:

Se dirige directamente a los profesores y supone ya conocidas las notaciones habituales de la geometría y de la trigonometría. Se encontrarán allí prolongaciones o justificaciones que sobrepasan la práctica de clase en los niveles considerados en la obra, así como complementos de formación o de respuestas (parciales…) a algunas legítimas curiosidades (p. 13).

François Boule no comienza por los puntos, las rectas, los círculos…, ni por axiomas y teoremas elementales; se interesa en los objetos geométricos familiares, objetos un tanto heteróclitos a los que la vida cotidiana, los juegos, nuestras costumbres culturales y escolares han conferido el estatus de “objetos familiares”. Para justificar esa elección, Boule se coloca bajo el padrinazgo de Clairaut:3

Siempre se comienza por un gran número e definiciones, de preguntas, de axiomas y de principios preliminares que parecen no prometer al lector nada más que algo seco […]. Me ha parecido más adecuado ocupar continuamente a mis lectores en resolver problemas […]. La medición de terrenos me ha parecido lo más apropiado que existe para hacer nacer las primeras propuestas de la geometría (p. 11 ).

Los objetos de naturaleza diversa que constituyen los temas de cada capítulo son el fundamento de actividades geométricas muy variadas e interesantes tanto científica como didácticamente (necesidad de utilizar las figuras, de realizar medidas exactas y aproximadas, de comparar, de plegar, de cortar, de aumentar… y siempre, de justificar, de demostrar). Así, las respuestas se apoyan sobre la práctica de la geometría en contextos variados. Este procedimiento no puede más que enriquecer la reflexión e iluminar la experiencia de cada docente.

Se trata, por tanto, de una obra de referencia y apoyo, especialmente en las etapas de formación de los docentes. No es una obra elemental, pero está escrito en un lenguaje ameno y ofrece muchas pautas para la reflexión e indicaciones para la puesta en práctica de varios conceptos en diferentes niveles de la educación.

1 Estos institutos fueron creados en aplicación de la ley de orientación de julio de 1989 propuesta por Lionel Jospin cuando era ministro de educación en Francia.

2 Las academias son circunscripciones administrativas de la educación nacional francesa; desde 1997 existen treinta en todo el país.
3 Alexis Claude Clairaut (1713-1765). Desde muy joven realizó importantes aportes en geometría, ecuaciones diferenciales, álgebra (a los 13 años presentó su trabajo Quatre problèmes sur de nouvelles courbes, en la Academia de París). Luego de publicar un importante trabajo sobre cálculo de variaciones (Sur quelques questions de maximis et minimis, 1733) se interesó por resolver cuestiones teóricas que resultaron de la expedición organizada por la Academia de Ciencias de París encabezada para medir un grado de longitud (1736-37). En 1743 publica Théorie de la figure de la Terre confirmando la conjetura de Newton-Huygens de que la Tierra está aplastada en los polos. Luego estudió la órbita de la Luna y discutió sobre la validez de las leyes de la gravedad enunciadas por Newton. Predijo con gran precisión el retorno del cometa Halley (13 marzo 1759). También estudió la aberración de la luz, escribió un libro de álgebra (que incluía la solución de las ecuaciones de cuarto grado y mostraba la necesidad de usar las notaciones algebraicas). Polemizó con las grandes figuras de la época: Euler, d’Alambert, los Bernoulli, Maupertuis, Voltaire y du Châtelet. En la introducción a sus Elements de géometrie escribió: “Me propuse volver a lo que podría haber originado la geometría, y traté de desarrollar sus principios a través de un método tan natural como el que habrían utilizado los inventores de la geometría, tratando solamente de evitar cualquier paso en falso que ellos pudieran haber dado”.

*François Boule, Reflexiones sobre la geometría y su enseñanza, Correo del Maestro y Ediciones La Vasija, México, 2005.  A esta edición corresponden las páginas indicadas en las citas.