La investigación matemática tiene dos direcciones ante sí: puede penetrar en las demás ciencias, construyendo modelos, mapas y puentes para el razonamiento, y puede dedicarse a sus propios asuntos, cultivar su propio jardín. Los dos trabajos han sido enormemente fecundos. Los éxitos de las matemáticas como auxiliar de la ciencia han sido espectaculares; pero no menos espectaculares son, aunque carezcan de un público tan extenso, los progresos en su propio dominio. ¿Cómo puede explicarse esa universalidad? ¿Por qué han servido tan brillantemente las matemáticas en empresas tan variadas, haciendo de lámpara, de instrumento y de lenguaje, y hasta en su curiosa preocupación simiesca de burlarse de sus propias pulgas? Dicho con otras palabras: ¿qué es el modo matemático de pensar?
No puede esperarse una respuesta sencilla a esas preguntas, del mismo modo que no esperaremos una respuesta sencilla como descripción del arte, el poder o el humor. Decir que el arte es una forma significativa o que la risa es (como dice Bergson) “una leve sublevación en la superficie de la vida social” puede ser agradable y gracioso, pero no resulta realmente muy aclaratorio. Lo mismo les ocurre a muchas definiciones de las matemáticas. Felix Klein la describe como la ciencia de las cosas que son evidentes por sí mismas; Benjamin Peirce, como la ciencia que obtiene conclusiones necesarias; Aristóteles, como el estudio de la “cantidad”; Whitehead, como el desarrollo “de todos los tipos de razonamiento formal, necesario y deductivo”; Descartes, como la ciencia del orden y la medida; Bacon, como el estudio que hace a los hombres “sutiles”; Bertrand Russell, identificándola con la lógica; David Hilbert como un juego formal sin significación. Ninguna de esas afirmaciones permite una captación plena del tema, aunque dos o tres son de verdadera importancia. Me parece claro que toda definición de las matemáticas, por bien elaborada que esté o por epigramática que sea, deja sin explicar su estructura fundamental y las razones de su universalidad.*
James R. Newman** |
La actividad que presentamos en este número de Correo del Maestro está pensada para alumnos de cuarto de primaria en adelante. Les sugerimos que primero la trabajen en equipos de dos o tres personas y luego discutan las estrategias y soluciones con el resto del grupo.
También se puede proponer a niños de primero de primaria en adelante. En este caso, les recomendamos entregar a los niños tarjetas con los dibujos de los animales para que puedan manipular las equivalencias y hacer los cambios físicamente.
Actividad:
En la granja de mi abuelo acostumbran intercambiar animales de la siguiente manera:
•Un conejo vale 2 gallinas
•Un puerquito vale 4 conejos y 1 gallina
•Una vaquita vale 2 puerquitos y 1 gallina
¿Podrías comparar los siguientes dibujos y decir cuál de los dos conjuntos tiene más valor o si son iguales?
1.
2.
3.
4.
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Soluciones:
1. Son iguales. Como un conejo equivale a dos gallinas, dos conejos equivalen a 4 gallinas.
2. Son iguales. Vamos a fijarnos en el lado izquierdo. Primero intercambiamos al puerquito por su equivalente: 4 conejos y 1 gallina (fig. a). Luego cambiamos las 2 gallinas por un conejo (fig. b). Por lo tanto, en total tenemos 5 conejos, cantidad que es igual a lo que hay en el lado derecho.
3. El izquierdo es mayor que el derecho. La vaquita equivale a 2 puerquitos y 1 gallina (fig. a). Luego cambiamos las 2 gallinas por 1 conejo (fig. b).
4. Lo que está a la derecha es mayor que lo que está a la izquierda. Los 2 puerquitos y 1 gallina equivalen a 1 vaquita (fig. a); y 2 de los conejos equivalen a 4 gallinas (fig. b).
*Tomado de La forma del pensamiento matemático, Silvestre, Peirce, Mach, Campbell y Weyl, antología y notas de James R. Newman, Grijalbo, Barcelona, 1974, pp. 116-117.
**James Roy Newman (1907-1966) fue un gran matemático y un incansable historiador de las matemáticas. Su obra más importante, El mundo de las matemáticas: una pequeña biblioteca de la literatura de las matemáticas desde A'h-mosé el escriba hasta Albert Einstein, es el resultado de 15 años de esfuerzos por recolectar los mejores ensayos sobre las matemáticas. Una de las características de esta obra es que puede ser leída y entendida por personas de todas las edades.
