La conexión entre la mano, el cerebro y el ojo, es decir, la capacidad de
manipular unos objetos guiada por el cerebro, bajo el control de los ojos,
está en la base de la evolución del hombre y de su vida cotidiana, pocas
actividades desarrollan esta capacidad como la papiroflexia.
Emmanuel Atiza

Taller de papiroflexia en la filpm 2006. Foto: Archivo.

¿Quién no ha hecho un barquito o avión de papel, con el sólo fin de divertirse y pasar un rato ameno? Sin saberlo, hemos aprendido a construir una figura siguiendo una serie de pasos y aplicando de manera inconsciente conceptos básicos de matemáticas como: punto, recta, ángulo, vértice, intersección de dos rectas y eje de simetría.

A la actividad que consiste en hacer figuras de papel se le llama papiroflexia (del latín papiro, ‘papel’ y flectere, ‘doblar’), que significa “doblar el papel” y, por extensión, darle la forma de determinados seres u objetos. El término define tanto al objeto resultante como a la acción de doblar. La papiroflexia se puede definir también como el arte de hacer figuras reconocibles utilizando papel plegado, donde no está permitido usar tijeras ni pegamento y se debe utilizar una única hoja de papel en forma de cuadrado.

La papiroflexia se deriva de un arte japonés conocido como origami (de ori, ‘plegar’, y kami, ‘papel’), cuyo origen se remonta a los primeros siglos de la era cristiana, cuando se inventó en China el papel, que luego llegó a Japón en el siglo VI d. C. Alcanzó su máximo desarrollo y esplendor en el periodo Muromachi (1336-1568), en el que se funde con la tradición y la cultura japonesa.

Utilizar la papiroflexia como medio didáctico ayuda a desarrollar los siguientes aspectos pedagógicos:

La papiroflexia ayuda a desarrollar una habilidad manual que favorece el desarrollo personal y social de los alumnos. Foto: Archivo.

Tampoco podemos olvidar que la práctica del origami o papiroflexia desarrolla no sólo la habilidad manual, sino también diferentes tipos de habilidades mentales. El proceso de creación y ejecución de una papiroflexia o papirola implica, en mayor o menor grado, dependiendo de su complejidad: análisis, imaginación, especulación, en definitiva, agilidad mental, que desarrolla las posibilidades intelectuales para enfrentarse con otros problemas de lógica o matemática. Convertido en costumbre, esto siempre representa una ayuda para todas las actividades de tipo mental. En la educación proporciona ciertos beneficios y cualidades:

• Permite al alumno interactuar con sus compañeros, al tiempo que desarrolla una habilidad manual que favorece su desarrollo personal y social, así como su sentido creativo y artístico.
• Estimula la imaginación y la creatividad dentro de la educación plástica y artística.
• Desarrolla la destreza, la exactitud y la precisión manual.
• Dentro del campo de la geometría, fomenta el uso y comprensión de conceptos geométricos, tales como diagonal, mediana, vértice y bisectriz, y la visualización de cuerpos geométricos.
• Dentro del campo de la psicomotricidad, desarrolla la lateralidad y la percepción espacial.
• Favorece la Interdisciplinariedad con ciencias naturales o sociales, aprovechando la figura realizada para trabajar sobre un ecosistema o un mural didáctico, por ejemplo.
• Fomenta la capacidad de crear modelos propios.
• Impulsa la creación imaginativa, no tanto en la búsqueda de la perfección, sino en favor de la riqueza expresiva y la variedad de formas.

En la enseñanza de las matemáticas, la papiroflexia da al profesor una herramienta didáctica que le permite desarrollar diferentes contenidos no sólo conceptuales, sino también procedimentales. Por otra parte, favorece el trabajo interdisciplinario de la matemática con otras ciencias como las artes o las ciencias naturales.

La papiroflexia como recurso para la enseñanza de la geometría
Contenidos conceptuales	Contenidos procedimentales	Actitudes que favorece
• Concepto de espacio, distancia, rotaciones y ángulos en relación con uno mismo y con otros puntos de referencia. • Concepto de rotación. • Simetría y ángulos.	• Reconocimiento de la posición de un objeto en el espacio en relación con uno mismo y con otros puntos de referencia. • Lectura, interpretación y construcción a escala de las figuras representadas. • Construcción de cuerpos geométricos a partir de figuras. • Reconocimiento de las figuras que se van obteniendo, utilizando diversos criterios. • Descripción de simetría.	• Interés por identificar formas y relaciones geométricas en los objetos del entorno. • Perseverancia y tenacidad en la búsqueda de soluciones a situaciones problemáticas que tengan relación con el espacio tridimensional.

Tabla I

La utilidad de la papiroflexia en las matemáticas va más allá de la construcción de figuras geométricas como poliedros; puede también ayudar a visualizar geométricamente demostraciones algebraicas de fórmulas o teoremas. Para mostrar esto se proponen dos actividades, la primera es demostrar la fórmula del área del triángulo y en la segunda se construirá un paraboloide hiperbólico.

Actividad I

 

1. Consideremos el triángulo escaleno abc de papel.

Figura 1.

2. Dobla y marca la línea bb’ = h = altura del triángulo abc y desdobla.

Figura 2.

3. Dobla y marca la línea de, haciendo que coincida el punto b con el punto b’ y desdobla.

Figura 3.

4. Marca la línea df, haciendo que el punto a coincida con el punto b’, y marca la línea eg, haciendo coincidir el punto c con el punto b’.

Figura 4.

5 .Marca las líneas db’ y b’e.

Figura 5.

6. Observa ahora lo siguiente: el triángulo abc está dividido en 6 triángulos.

Figura 6.

7. Dobla por la línea de. Tenemos que los triángulos dbe y deb’ son iguales.

Figura 7.

8. Dobla por la línea df. Tenemos que los triángulos adf y fdb’ son iguales.

Figura 8.

9. Dobla por la línea eg. Tenemos que los triángulos gec y b’eg son iguales.

Figura 9.

 

 

Actividad 2

Construir un paraloboide hiperbólico

Si fijamos una trayectoria en el espacio y a lo largo de ella movemos una recta, construimos una superficie reglada. Un paraboloide hiperbólico se puede definir como una superficie reglada generada por tres rectas no coplanarias (que no están en el mismo plano) dos a dos, pero que son paralelas a un plano fijo (fig. 10).

Figura 10. Superficie reglada.

El paraboloide hiperbólico parece una silla de montar, tiene dos planos de simetría perpendiculares entre sí y la intersección de éstos con la superficie nos da dos parábolas.

Figura 11. El paraboloide hiperbólico, en forma de silla de montar.

Instrucciones

Paso 1. En una hoja de papel cuadrado marca las diagonales.

Paso 2. Dobla el papel llevando un lado hasta el punto del centro, pero no marques la línea del doblez.

Paso 3. Repasa con los dedos sólo el sector que queda delimitado por las marcas diagonales.

Paso 4. Repite lo mismo en el lado opuesto y quedan las marcas en 1/4 y 3/4.

Paso 5. Lleva el lado de arriba hasta la marca de 1/4 (remarca sólo la parte que queda entre las diagonales), después hasta la de 3/4. De esta manera se hacen dobleces en las alturas 1/8 y 3/8.

Paso 6. Repite lo mismo en el lado opuesto.

Paso 7. Repite lo mismo en los otros dos lados del cuadrado (del paso 2 al paso 6).

Paso 8. Voltea el papel y dobla justo por la mitad de los dobleces que ya están hechos. Repite en todos los lados.

Paso 9. Al ir doblando como abanico, nuestra figura irá tomando la forma curva del paraboloide hiperbólico. Finalmente obtendremos una escultura semejante a la que mostramos en la imagen.

 

Bibliografía

álvarez, Gabriel, Luis Bas, Juan Gimero y Carlos Pomarón, El libro de las pajaritas de papel, Alianza Editorial, Madrid, 1990. montroll, John, Origami Sculptures, 2a. ed., Dover Publications, Nueva York, 1990. palacios, Vicente, Papiroflexia selecta, Salvaterra, México, 1998. kunihiko, Kasahara y Takahama Toshie, Papiroflexia (origami) para expertos, edaf, México, 2001. colin, J., Papiroflexia Origami, núm. 10. [s.a] Calendario matemático 2006. Un reto diario, Universidad Autónoma del Estado de Morelos / Olimpiada Mexicana de Matemáticas.

*Este trabajo es un extracto del taller “Matemáticas y papiroflexia”, impartido por el maestro Ramón Hernández Acosta durante los trabajos de la XXVII Feria Internacional del Libro del Palacio de Minería 2006, en la Ciudad de México.