En esta serie de artículos estamos analizando los contenidos matemáticos que resultan útiles para estudiar el tema de las fracciones en la enseñanza primaria y secundaria. Intentamos que éstos sean uniformes en su estilo y que los temas más complicados aparezcan en las entregas finales. Privilegiamos la claridad por sobre el rigor matemático, con el fin de hacer más comprensibles las ideas centrales que queremos transmitir. Hemos llegado a la sexta entrega,1 por lo que algunos aspectos importantes pueden haberse olvidado. Recomendamos al lector volver a anteriores números de la revista si le quedaran dudas sobre algunas cuestiones ya vistas. |
En esta nota trataremos de la representación decimal de los números y en la siguiente abordaremos las razones y proporciones. Estos temas no corresponden exclusivamente al estudio de las fracciones y números racionales -muchas veces, incluso, en los programas escolares y en los libros aparecen separados-, pero es indudable que están conceptualmente relacionados y por ello los hemos incluido en esta serie. En la segunda mitad de este artículo relacionaremos directamente los decimales con las fracciones, pero no explicaremos las operaciones con los decimales ni otras cuestiones que no tienen que ver directamente con los números racionales.
Números y medición del tiempo2
La aparición de la escritura trajo, entre otras muchas consecuencias, un inmenso avance en todas las cuestiones de numeración y conteo. En muchas culturas, en particular la maya (y quizás antes la olmeca), el origen de la representación de los números está asociada con la medición del tiempo. En el caso de la civilización maya, no se conservaron restos arqueológicos que indiquen el uso de los números para representaciones diferentes al de la evolución del tiempo (datación de acontecimientos, reinados, etc.) y su uso adivinatorio o cabalístico.3 Todas las representaciones numéricas mayas están relacionadas, de una manera u otra, con fechas o determinaciones calendáricas, es decir, al cómputo del tiempo.
Sin embargo, se conocen tablas de arcilla con símbolos numéricos de origen sumerio (Mesopotamia, actual Irak) que datan de antes del año 3000 a.C., y en las que se escribían de manera diferente las cifras según se contaran volúmenes (diferentes para los distintos tipos de granos), áreas, longitudes. ¡y el tiempo! Éstas parecen ser las evidencias más antiguas que se conservan de representación de números. Aquí, como en casi todas partes, el origen de la numeración y la escritura está relacionado con la contabilidad de los sectores económicamente dominantes. El sistema de representación sumerio era aditivo, como el de los números romanos que todos conocemos. En éste se utilizan diversos símbolos para algunas cantidades clave, y se van colocando de modo que se suman al colocarlas en algún orden preestablecido: de derecha a izquierda, en la numeración sumeria, y de izquierda a derecha en el sistema romano (obsérvese que en este caso, cuando un número menor está colocado antes que uno mayor, se resta, por ejemplo: 9 = IX, 40 = XL).
Posicional de base 10
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Glifos de los meses y los signos numéricos mayas.
Renzo Rossi, El arte de leer y escribir, Correo del Maestro/La Vasija, México, 2004. |
Recordemos cómo escribimos ahora los números prácticamente en todas las partes del mundo: el sistema es posicional de base 10. Esto quiere decir lo siguiente: hay 10 símbolos que llamaremos dígitos que representan la unidad y la repetición de la unidad, hasta nueve veces; esos símbolos son 1, 2,... 9, y luego está el símbolo de ninguna unidad que es el cero (0). Cualquier número se escribe poniendo esos símbolos uno detrás de otro, de modo que el número representado es la suma del último dígito (el que está más a la derecha), más 10 por el anterior, más 100 por el siguiente, etc. Así:
3027 = 7 + 2 por 10 + 0 por 100 + 3 por 1000
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Signos numéricos y semánticos mesopotámicos.
W. M. Senner, Los orígenes de la escritura, Siglo xxi, 1998. |
Se dice que es posicional porque el valor de cada símbolo depende de dónde esté en la sucesión, y de base 10 porque se multiplica por las potencias de 10, es decir:
1=100
10=101
100= 102=10 por 10
1000=103=10 por 10 por 10
Y ya que el cero aparece explícitamente, les transmito una observación que me ha causado sorpresa. Quienes han descifrado la escritura y los sistemas de numeración maya (el proceso de interpretación culminó alrededor de 1970) consideran que el símbolo interpretado como cero tiene un significado diferente al nuestro. No es el símbolo de la nada, sino que sirve para indicar que un ciclo o periodo de tiempo ha culminado; en ese sentido fue interpretado como el cero del periodo siguiente, aunque parecía usarse como fin del anterior, y así los arqueólogos lo llaman glifo de cabalidad o de completamiento. Se puede decir que indica que un periodo de tiempo está acabado, completo o 'ajustado a la medida'.
Por lo expuesto, admitido que el símbolo de cabalidad oficia como cero, el sistema llamado maya es posicional mixto (vertical) de base 20, pues un mismo símbolo tenía diferente valor según la posición en que estuviera colocado, pero para escribir cada número 'simple' usaban un sistema aditivo. El número 6, por ejemplo, se representaba con una raya y un punto (5 + 1), y significaba eso si estaba solo, y 6 por 20 si estaba seguido, en posición vertical descendente, por otro número. Por ejemplo, nuestro actual número 66 se representaba poniendo tres puntos, y debajo, separándolos de alguna manera, un punto y una raya. El sistema podía crear confusión si la separación no era clara, por no tener símbolos diferentes para cada uno de los números 'simples'. En el ejemplo, también se podía leer como "4 por 20 y 5", o sea, nuestro 85.
Puede ser interesante anotar aquí que entre los antiguos aztecas, cuya lengua es el náhuatl, los números básicos del sistema (1, 20, 400 = 20 por 20, 8000=400 por 20) tenían representaciones diferentes (pequeño círculo o punto, bandera, pluma, bolsa de maíz), lo cual podría ser tomado como un retroceso en relación con el sistema puramente posicional de los mayas, donde sólo hay necesidad de representar los 20 primeros números del 0 al 19.
Los sistemas posicionales tienen la gran ventaja de que utilizan pocos símbolos (la cantidad máxima es el número de la base); si los símbolos son todos distintos no hay lugar a confusión y, lo que quizá sea más importante, simplifican mucho los cálculos con las operaciones más elementales: la suma y la multiplicación. Como ejercicio difícil, le sugiero al lector que trate de hacer sumas y multiplicaciones con los números romanos, y que analice con cuidado cómo se hacen esas operaciones con nuestro actual sistema; en el último ejercicio verá que se usa de manera crucial el carácter posicional del sistema.
El sistema decimal irrumpe en Europa
¿Desde cuándo nuestra cultura, que se da en llamar occidental, representa los números como ahora lo hacemos? O, yendo un poco más atrás, ¿cuándo se instauró en Europa el sistema que ahora usamos? La respuesta a la anterior pregunta es sorprendente. Europa generalizó la escritura y el cálculo con los actuales números a partir del siglo XIII.4 Leonardo de Pisa (Fibonacci) escribió en ese siglo una obra crucial (Libro del ábaco), de contenido muy extenso, que implicaría, casi de inmediato, el uso generalizado del sistema en la actual Italia. La pronunciación de muchas de las nuevas palabras (algoritmo, álgebra) estaban indicando de dónde provenía el nuevo método: del mundo árabe. Es por ello que se dio en llamar números arábigos a los que usamos. Pero esta denominación es confusa, como veremos de inmediato.
Árabes y anteriores
Pues bien, los matemáticos que ahora llamaríamos italianos, franceses, ingleses, bebían del mundo árabe para aprender la nueva ciencia de esa numeración y sus operaciones. Las obras, originariamente escritas en árabe, eran traducidas al latín especialmente en España (y aún más especialmente en Toledo), donde los árabes que habían cruzado el Mediterráneo dominaban desde antes del año 1000 (fueron, desgraciadamente, expulsados el mismo año en que Colón llegó a nuestras tierras: 1492).
En la época de esplendor del mundo árabe, centrado en Bagdad, el califa al-Ma'mun fundó la Casa de la Sabiduría, verdadera universidad en la que se favorecía el intercambio cultural con la India y la traducción de manuscritos. Y de allí provenía el sistema que, salvo detalles de los símbolos, era el que ahora usamos.
La formulación actual de la escritura de los números se ha podido rastrear hasta el siglo VII de nuestra era. En documentos de esos tiempos ya está toda la estructura tal cual: posicional, decimal, con un símbolo para el cero. Y yendo más atrás, se remontan al siglo III antes de nuestra era las primeras constancias arqueológicas de escrituras en la India que contienen símbolos para las nueve unidades, un símbolo completamente distinto para cada decena, otro para el 100 y otro para el 1000: el sistema decimal estaba en gestación. En esa época, y quizás antes, el lugar que luego vino a ocupar el símbolo del cero se dejaba vacío. Gûnya, que significa vacío, era utilizado para indicar el valor nulo en alguna posición. Y más atrás en el tiempo, la escritura bràhmì (siglo III antes de nuestra era) contiene los gérmenes que luego derivarían hacia nuestra notación actual.
Breve historia de las fracciones decimales
Parecería que el uso de las fracciones decimales se extendió en el mundo árabe en el siglo XIII. En el siglo XV, Al Kasi, astrónomo y matemático de Samarcanda, se declara inventor de estas fracciones y muestra cómo con ellas se pueden obtener estimaciones precisas.
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| Jean-Paul Collette, Historia de las matemáticas, Tomo I, México, Siglo XXI, 2001. |
En el Libro del ábaco, de Fibonacci, antes mencionado, se ignoran las fracciones decimales, a pesar de que eran notoriamente una de las grandes ventajas del 'nuevo sistema'. En un libro del matemático alemán Michael Stifel (1525) aparece la primera referencia a las fracciones decimales en el mundo occidental. El uso del punto (o la coma) para separar la parte entera de la fraccionaria en la escritura de los números aparece explícita desde 1579, en la obra Canon Mathematicus seu ad triangula, en la que François Viète5 hace una defensa encendida del uso de los múltiplos y submúltiplos de 10.
A principios del siglo XVII el uso de la representación decimal se había consolidado en Europa, aunque algunos de los grandes divulgadores seguían usando otros métodos para representar las fracciones decimales. Por ejemplo, Simon Stevin (1548-1620), nacido en Brujas, Flandes, autor de una de las grandes sistematizaciones del uso de la representación decimal para realizar las operaciones elementales, escribía los décimos, centésimos, etc., poniendo los números 1, 2, etc., rodeados de círculos después de la respectiva cantidad; naturalmente, la parte entera llevaba un cero 'encirculado' después del número. Este cero era el que hacía el papel de nuestro actual punto (o coma).
¿Cómo escribir fracciones usando el sistema decimal?
La respuesta ahora es fácil si se entiende cabalmente la representación decimal de los números enteros. Veamos otro ejemplo: 1356 significa que estamos tomando 1 millar, 3 centenas, 5 decenas y 6 unidades, de manera que:
1356 = 1 * 1000 + 3 * 100 + 5 * 10 + 6 * 1
Naturalmente que 1000 = 10 * 10 * 10, y que 100 = 10 * 10, etc. Dicho de otro modo, se están usando las potencias de 10 para representar el número total. Este método permite representar los números mayores o iguales que 1 (como siempre, en estas explicaciones nos 'olvidamos' de los enteros negativos, que se obtienen poniendo un signo de menos {-} antes del correspondiente número natural).
Vayamos ahora directo a las fracciones. Lo primero que debe hacerse si tenemos una fracción mayor que uno (numerador mayor que el denominador) es sacar la parte entera de la fracción y quedarse con el sumando menor que uno: 227/5= 45 + 2/5. Ahora debemos representar el número dos quintos, menor que uno, en forma decimal. Hecho eso, el número 227/5 quedará en la forma 45.(...), donde los puntos suspensivos indican algo que tiene que ver con la representación decimal de 2/5. La representación de este número, por ser menor que uno (y mayor que cero), comenzará con cero punto, y lo que interesa es saber qué poner después, o sea, qué va en lugar de los puntos suspensivos. La respuesta inmediata es: divida 2 entre 5 y vea lo que da. El resultado final será 45.4 (pero nuestra respuesta irá, en un primer momento, por otro lado).
Menores que uno
Con el afán de no dejar ningún cabo suelto, recordamos que las potencias de 10 son: 10 = 101, 100 = 102, o sea que 10n significa que se multiplica 10 por sí mismo n veces. Por ejemplo, verifique que 106 es un millón. Las potencias negativas se obtienen invirtiendo las anteriores:
1/10 = 10-1; 1/100 = 10-2.
por lo tanto:
10-n = 1/10n
Para representar en forma decimal los números racionales positivos menores que uno sumaremos las necesarias potencias negativas de 10, o sea, un décimo, un centésimo, etc. Así, 0.238 significará que hay cero unidad y,
2 * (1/10) + 3 * (1/100 ) + 8 * (1/1000)=
238/1000, (doscientos treinta y ocho milésimos)
Los lectores que vengan siguiendo correctamente las lecturas de estas notas, apenas escrito este número lo simplificarán, escribiendo:
238/1000 = 119/500,
y por la vía de la reversión habrán dado el paso fundamental que relaciona los decimales menores que uno con las fracciones. En efecto, les será fácil comprender que estos decimales no son otra cosa que una manera diferente de escribir las fracciones cuyos denominadores son potencia de 10. Otros ejemplos son:
0.3227=3227/10000
0.2=2/10
La regla es inmediata: se pone el número que sigue al punto, dividido entre la potencia de 10 que resulta de poner un uno seguido de tantos ceros como dígitos había después del punto:
0. 250 = 250/1000 (tres ceros porque 250 tiene tres dígitos). Quienes hayan observado que esto corresponde a dividir 250 entre 1000 (o 25 entre 100) también estarán en lo justo, puesto que las fracciones corresponden a dividir el numerador entre el denominador.
Todas estas explicaciones llevan naturalmente a plantearse la pregunta inversa: ¿cómo hacer para escribir una fracción menor que uno en la forma decimal? La respuesta es muy simple si el denominador es divisor de una potencia de 10; es decir, si la fracción se lleva a una forma equivalente que tenga como denominador una potencia de 10. Quizás alguien se puede estar preguntando ¿por qué tanto insistir con los denominadores que son potencias de 10? La respuesta es: porque estamos escribiendo todo en la forma decimal, y esta forma tiene base 10. Deben aparecer las potencias negativas o positivas de 10, es decir, se debe escribir como suma de las potencias de 10 si el número es mayor que uno. Si el número es menor que uno aparecerán sumas de fracciones cuyos denominadores son las potencias de 10: 1/10, 1/100, etc. Lo que acabamos de explicar no es del todo preciso, pero el lector ya sabe que al escribirlo, una cosa y otra, van separadas por un punto.
Ejemplo:
503.27 = 5 * 100 + 0 * 10 + 3 + 2/10 + 7/100
¡Maldición! Representaciones decimales periódicas
Volvamos, con un ejemplo concreto, a la pregunta inversa con la que comenzamos el párrafo anterior: ¿cómo escribir un cuarto en forma decimal? Ya respondimos: se lleva esa fracción a otra equivalente con denominador potencia de 10. Se observará que 1/4 = 25/100, y se escribirá 1/4 = 0.25. ¿Qué sucede si el denominador no divide a ninguna potencia de 10 o, lo que es lo mismo, si no hay ninguna potencia de 10 que sea múltiplo de ese denominador? Por ejemplo: 3/7. La respuesta ahora no es tan sencilla, puesto que no podemos, en un número finito de pasos, escribir ese número como algo dividido por una potencia de 10 (o sea, un uno seguido de un número finito de ceros). Pero obsérvese que al realizar la división de 3 entre 7 se obtiene 0.428571428571... O sea que se obtiene 0.428571..., y luego este número 428571 se repite infinitas veces; se dice que se tiene una representación periódica. Así, en este caso, el asunto se habrá complicado, puesto que de la simple fracción 3/7 hemos pasado a una representación decimal con infinitos números.
Obsérvese que la representación periódica no tiene por qué incluir todos los números que aparecen al dividir. Por ejemplo 1/6 = 0.16666..., o sea que el uno inicial no se repite; sólo el 6 se repite. Por lo tanto, estamos llamando representación decimal periódica a aquella que a partir de cierta posición tiene una cantidad finita de números que se repiten sucesivamente infinitas veces.
Sucede que hay otro problema que podría considerarse aún peor. Hay números que tienen más de una representación decimal. Veamos un ejemplo muy simple. Es fácil ver que 1/3 tiene la representación decimal periódica 0.333... (con infinitos 3), pero entonces 1 = 3 * (1/3) se escribe como 3 * (0.333...) = 0.999... O sea que el número periódico 0.999... representa al uno, cuya representación estándar es 1.00... Y esto sucede por lo menos con todos los números cuya representación decimal termina en infinitos nueves. Otro ejemplo: 0.219999 = 0.22
A efecto de decidir qué fracciones tienen re-presentación decimal periódica o no, se debe tener en cuenta esta observación. Los números que tienen múltiplos potencias de 10, es decir,
k * a = 10n son sólo los que resultan de multiplicar potencias de dos o de cinco. Por ejemplo: 8 = 23 y 20 = 22 * 5, tienen múltiplos que son potencias de 10. En el primer caso tenemos
1000 = 8 * 125, y en el segundo, 100 = 20 * 5. Pero si el denominador de una fracción no cumple esa propiedad, o sea, si el denominador tiene factores que no sean dos y cinco, la representación decimal será periódica, porque no habrá manera de obtener un múltiplo del denominador que sea potencia de 10. Digamos:
1/24 = 0.0416666...
porque:
24=3 * 8
Para atrás y para adelante
También ruego al lector que observe que toda fracción admite o una representación exacta o una representación periódica. Aquí va una breve demostración que, con los debidos cuidados, se puede explicar a alumnos de 10 a 12 años. Considere el número racional m/n y divida m entre n. La observación principal es que los restos de una división son números comprendidos entre 0 y n-1. Veamos las dos opciones que se pueden plantear. Esta división puede terminar con un resto cero y nada más, por ejemplo:
2/5 = 0.4; o no dar nunca resto cero, como en el caso de 3 dividido entre 7, como hicimos arriba. En este caso, como los restos posibles son una cantidad finita, en algún momento uno de ellos debe repetirse (en el ejemplo 3/7, al cabo de seis pasos, irán dando restos 2, 6, 4, 5, 1, 3, que -en este caso- son todos los posibles entre 1 y 6, porque esta división nunca va a dar resto cero). A partir de allí la división se hace aburrida, porque todo se repite, y tendremos la parte periódica de la representación decimal.
No queremos dejar de aclarar que las representaciones que hemos llamado exactas son también periódicas en un sentido amplio, porque el que se repite es el número cero. Ejemplo: 1/2 = 0.5000... Las representaciones decimales no periódicas merecen un comentario al final del artículo.
Inversamente, toda representación decimal periódica corresponde a una fracción. Explicaremos esto a través de un ejemplo sencillo. El método del ejemplo es fácilmente generalizable. Tómese el decimal periódico a = 0.172131313., que repite 13 infinitas veces. Multiplíquese ese número por 100000 (cien mil) y por 1000, para obtener (recuérdese que esto corresponde a 'recorrer' el punto hacia la derecha, 5 o 3 lugares):
100000 a=17213.13131313...
1000 a=172.1313131313
Al restar estos dos números obtenemos exactamente 17041; pero esto corresponde a:
(100000 - 1000) a = 99000 a
por lo que:
99000 a = 17041
es decir:
a = 17041/99000 = 0.17213131313
El lector podrá observar que la multiplicación por 1000 responde a que antes de la parte periódica (13) había tres números, y que la multiplicación por 100000 obedece a que la parte periódica tiene dos dígitos.
Ventajas y desventajas. Y volvemos con los irracionales6
Estos ejemplos muestran que no hay una equivalencia total entre las fracciones y la representación decimal de los números, y que para todos los casos en que la fracción no tiene por denominador potencias de dos o de cinco, es mejor la representación fraccionaria que la representación decimal. Así evitamos las representaciones periódicas y la falta de unicidad de algunas representaciones periódicas. Ésta es, además, otra razón para no dejar restringido al buen uso de las computadoras el aprendizaje de las operaciones elementales, en particular de las fracciones.
No es menos cierto que la representación decimal tiene muchas ventajas con respecto a la representación fraccionaria. En particular si se están haciendo cálculos aproximados, poco importa distinguir 1/3 de 0.333, a pesar de que no son el mismo número. De igual manera, para realizar sumas y otras operaciones, las representaciones decimales son más sencillas:
1/5 + 1/50 = 10/50 + 1/50 = 11/50
es lo mismo que:
0.2 + 0.02 = 0.22
Por último, haremos un comentario sobre las representaciones decimales no periódicas; o sea, las representaciones cuyos dígitos no responden a ninguna regla periódica como las ya vistas. Dado que ya hemos observado (y demostrado) que todos los números racionales (fracciones) admiten representaciones exactas o periódicas, es evidente que estamos refiriéndonos a los números reales no racionales; o sea, a los irracionales. Por ejemplo:
3.1415926535897932384626433832795...
o
0.19858365997645628769591245780285007
Quizá ya observó que el primero se parece a un número que usted conoce, y es cierto: es la representación de los primeros 32 dígitos de pi (π), la razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. Sin embargo, el segundo lo obtuve de manera totalmente aleatoria: cerré los ojos y empecé a mover mis dedos sobre la parte numérica del teclado. Y el que se encuentra a continuación es otro número famoso; es el número e, que es la base de los logaritmos neperianos (no damos más explicaciones para no complicarnos la vida):
2.7182818284590452353602874713526...
Ustedes estarán de acuerdo en que hay más números con desarrollo no periódico que números con desarrollo periódico, aunque sea porque para obtener los de desarrollo periódico hay que concentrarse mentalmente y repetir cada tanto el 'pedazo' periódico. Sin embargo, los no periódicos no exigen ninguna concentración; hay más 'libertad' para generarlos. Esto es como una demostración psicológica de que hay más números reales irracionales que racionales.
Notas
1El primer artículo fue publicado en Correo del Maestro, núm. 96, mayo 2004.
2Algunos de los temas expuestos en la primera mitad de este artículo han sido tratados en "Matemática y cultura. Nuestro sistema de numeración", del mismo autor (Correo del Maestro, núm. 62, julio 2001, pp 9-16).
3Éste se basaba principalmente en las coincidencias relacionadas con las diferentes formas de medir los ciclos (año de 260 = 20 días por 13 'meses', o de 365 = 360 + 5 días). A partir de información recogida en poblados de habla maya actuales, existen quienes relacionan el ciclo de 260 días de las más antiguas culturas mesoamericanas con el tiempo de gestación de un ser humano. Este calendario era usado -y lo sigue siendo en algunas regiones de Guatemala- con fines adivinatorios. La consideración conjunta de ambos calendarios da periodos de 18 980 días = 52 años solares = 73 años oraculares. [Recomiendo al lector obtener esas relaciones de la descomposición de 365 y 260 en sus factores primos.] Este ciclo constituía la mayor unidad de tiempo de casi todas las civilizaciones de esta región, aunque los mayas utilizaron otros ciclos de medición de los tiempos. Las relaciones entre los diversos ciclos, utilizando el mínimo común múltiplo y otros procedimientos de cálculo aritmético abstracto, permitían el uso religioso, adivinatorio y especulativo de los cálculos astronómicos mayas para 'predecir' el futuro y vincular hechos del presente con los del pasado. Los sacerdotes -que eran los 'dueños de estas verdades'- justificaban así los pedidos de los sectores dominantes y su enorme influencia sobre la sociedad.
4 En realidad, los números con sus actuales grafías se impusieron en el siglo XV; en el siglo XIII había aún unas cuantas variantes, parecidas a los actuales dígitos, en el mundo europeo, en el mundo árabe y en el mundo hindú.
5Uno de los creadores del álgebra moderna y sus aplicaciones a la geometría, François Viète (1540-1603), fue criptógrafo del rey Enrique IV de Francia y relator del Consejo de Estado. Se dedicó a la matemática en los periodos de ocio en que lo destituyeron de sus funciones de apoyo a las autoridades. Vale la pena recordar algo de la vida de aquel Enrique para entender por qué tenía muchas cosas que esconder y necesitaba de un buen criptógrafo. Nació calvinista en 1553, se salvó de la matanza de la Noche de San Bartolomé (24 de agosto de 1572) por abrazar el catolicismo. Volvió a su religión de nacimiento poco después, pero se hizo rey -católico- en 1594, luego de que asesinaron a Enrique III, en 1589. Lo que pasó en el interregno fue muy interesante, pero no da para contarlo en un artículo sobre la matemática. Así y todo, pacificó Francia, promulgó el Edicto de libertad religiosa de Nantes (1598) y lo asesinaron en 1610 cuando quería juntarse con los protestantes alemanes para derribar a la Casa de Austria. (No confundirlo con el inspirador de Shakespeare.) Fue muy bien retratado en uno de aquellos inmensos cuadros de Rubens dedicados a La vida de Catalina de Medicis que decoran ahora un salón entero del Louvre.
6Véase "Rompiendo unidades IV", Correo del Maestro, núm. 99, agosto 2004, pp. 11-19 |
