Hemos preparado una serie de artículos en los que analizaremos los contenidos matemáticos que parece útil tener en cuenta al estudiar el tema de las fracciones en la enseñanza primaria y la secundaria. Los artículos tratarán de ser graduados en cuanto a sus dificultades y uniformes en su estilo, por lo cual algunas veces el rigor matemático cederá ante la importancia de hacer comprensibles las ideas centrales para lectores de diversas proveniencias. Se tratarán algunos temas que no se refieren propiamente a los contenidos, pero están muy relacionados, como la importancia (necesidad o no) de incluir el estudio de las fracciones en la enseñanza inicial, la inclusión en los programas de matemática de otros temas que no se justifican por su importancia práctica ni por su interés intrínseco, etcétera. En el primer artículo hemos estudiado la importancia relativa de los contextos en que se estudian las fracciones, la necesidad de conocerlas como representantes de los números racionales, y hemos analizado algunas deficiencias que se cuelan al enseñarlas (fracciones propias e impropias, 'números fraccionarios', y otras).

 

Números racionales y fracciones Todos los números racionales se definen por parejas de números enteros, con la convención de que dos parejas  (a,b)  y  (c,d)  [b y d no pueden ser cero] representan al mismo número racional si  a*d = b*c,  donde con * estamos representando el producto usual entre números. En términos de fracciones eso mismo se puede escribir como  a/b = c/d,  dado que esta igualdad se satisface si y solo si, nuevamente  a*d = b*c.  Por tanto, diferentes parejas o fracciones representan un mismo número racional. Más aún, cualquier número racional se puede representar de infinitas maneras, puesto que el número (a * k)/(b * k)  con cualquier natural k representa a  a/b  (que corresponde al caso k=1). Recordemos que en la representación fraccionaria  a/b  se llama numerador, al 'número de arriba' (a) y denominador 'al de abajo'. Por último, en lugar de la barra  /  se suele usar el símbolo de dos puntos  :  , o sea,  a/b  es lo mismo que  a:b. Por tanto, podemos decir que dos pares de números enteros  a/b = (a,b)  y  c/d = (c,d)  representan al mismo número racional si luego de simplificaciones dan la misma pareja o, lo cual desde el punto de vista operatorio es más sencillo, si  a*d = b*c.  Así,  3/4 = (3,4) y 6/8 = (6,8) representan un mismo número porque 3*8 = 4*6. Esta relación entre pares de números verifica ciertas propiedades muy elegantes, que permiten asegurar que la identificación entre los pares realizada de esa manera  (a*d = b*c)  es coherente y no da lugar a confusiones; se dice que la relación es de equivalencia.

Los números mixtos

En los programas escolares, a la altura de 5º o 6º grado aparecen las fracciones mixtas; aquí los expertos se ponen más cuidadosos y en lugar de llamarlos números mixtos, les llaman fracciones mixtas. Pero estas fracciones, precisamente por ser mixtas no son fracciones: tienen una parte entera que incluso podría ser cero (en cuyo caso tendríamos una fracción pura, propia) o no (en cuyo caso dejó de ser fracción por representarse con tres números, la parte entera y la parte propia, que se escribe con dos números). Algunos de estos programas hasta exigen que el niño aprenda a sumarlas y restarlas, luego convertirlas en fracciones impropias y viceversa (se debe tener cuidado en que una mixta no se convierta en propia, porque si es así todo se degenera).

Decididamente, también hay que erradicar las fracciones mixtas del lenguaje y la enseñanza de la matemática escolar. Aunque sólo sea por lo que observamos antes: se les trata de explicar a los niños cómo dos números representan a uno solo (1/3 representa el número un tercio) ¡y luego le aparecen tres! (2      es más que dos, exactamente siete tercios). No es menos cierto que tienen un uso instrumental cuando la parte fraccionaria menor que uno (la propia) es medios, cuartos, a veces décimos. Se dice: "tres manzanas y media", "esa botella lleva (tiene capacidad de) un litro y tres cuartos"; "la temperatura del enfermo es 38 grados cuatro décimas"; pero no pasa de allí. A nadie se le ocurre decir, normalmente, que compró "7 metros y treinta y un treintaitresavos (31/33) de tela de tapicería", directamente dice que compró 8 metros y que el vendedor -que era el dueño de la tienda- lo estafó. Aun así, obsérvese que siempre se coloca la unidad de medida entre la parte entera y la fraccionaria, lo cual agrega confusión al uso matemático, porque en cada caso debería haberse dicho -de constituir el número mixto una verdadera clasificación matemática-: tres y media manzanas, un y tres cuartos litro,1 etcétera.

Más claramente: un alumno antes de, digamos, diez años, debe distinguir la diferencia entre tres cuartos y cuatro tercios, pero no porque una sea propia y la otra impropia, sino porque en relación con la unidad ocupan un lugar diferente en la ordenación de los números (uno es menor y el otro mayor que uno). Es esto lo que hay que tratar de transmitir y no unos nombres que luego perderán todo sentido, que no representan nada desde el punto de vista conceptual y tampoco tienen mayor valor instrumental usados en toda su generalidad.

Las fracciones unitarias

Éste sí que es un problema interesante. Estoy de acuerdo en que entender la idea de que parejas de números enteros iguales representan el mismo número racional (el uno) requiere mucha ejercitación. Y obliga a explicar una cosa aparentemente inútil: escribir el uno de infinitas maneras distintas. Todo el problema de la equivalencia de fracciones (un tercio y dos sextos es lo mismo) es complicado. Las distintas maneras de escribir el uno no es más que un caso particular de estas equivalencias. Me parece que el estudio de esas equivalencias es uno de los ejes sobre los que debe girar el aprendizaje de estos conceptos: al terminar el periodo escolar el niño debe saber que las distintas representaciones (escrituras) fraccionarias de un mismo número racional no tienen ninguna diferencia desde el punto de vista cuantitativo. Pero éste es otro nudo, quizás uno de los principales, que explica por qué el concepto de equivalencia de fracciones debe ocupar un lugar central en la enseñanza de los números racionales. Cuando el niño tiene 10 años (en 4º o 5º grado) ya debe haber oído hablar de estas equivalencias, y al final del ciclo escolar debe haber tenido un buen adiestramiento en esta materia. Es claro que el nudo del que hablamos no se desata poniendo nombres distintos a los quebrados que tienen el número 'de arriba' (numerador) más grande o más chico que el 'de abajo' (denominador). Ni estableciendo que entre ellos está el que tiene denominador igual al numerador: el uno.

Además, me parece que es más fácil explicar que la unión de todas las partes en que se dividió un todo (tres tercios) da la unidad, que hacer entender que la división en tres partes y la posterior toma de dos de ellas, es lo mismo que dividir en doce partes y tomar ocho. O sea, es más fácil explicar la partición de la unidad que la equivalencia de fracciones.

Matemática y lenguaje

Habiendo dedicado algún espacio al asunto de las fracciones mixtas y unitarias, que surgieron en el primer artículo a partir de la discusión sobre las fracciones propias e impropias, entraré en otro tema general que trataré muy brevemente: la confusión que parece plantearse algunas veces entre conceptos matemáticos y conceptos que se cuantifican con números. Por ejemplo, a nadie se le ocurre que el estudio de la edad cae en la categoría de concepto matemático, a pesar de que todas las edades se expresan con números; lo mismo con la credencial de elector o el pasaporte. Sin embargo, es objeto de estudio matemático la definición de capacidad de un recipiente, cuando esta palabra tiene varios significados,2 ninguno de los cuales se refiere a un objeto matemático en el sentido normal de la palabra. Efectivamente, no cabe duda que la capacidad de una botella o un contenedor (esas cajas grandes que se meten en barcos o aviones) se expresa con números y alguna unidad de medida después; pero eso es sólo un accidente, como que la edad exprese el tiempo transcurrido desde que un ser vivo nació. La capacidad es el volumen máximo que cabe en un recipiente. Y a otra cosa. No, a otra cosa no. Explíquese qué es el volumen, que esto sí importa. De este tema no trataremos aún en estas notas, que se referirán a las fracciones y números racionales.

Dos números: ¿fracciones?

Íntimamente relacionado con la confusión a la que acabamos de hacer referencia se encuentra esta otra que -ésta sí- hace a nuestro tema y también desarrollaremos en otra nota. Me refiero a la inclusión de todas las cosas que se escriben con dos números como objeto de estudio al analizar las fracciones. Daré dos ejemplos que siempre aparecen al tratar el tema.

Las razones se estudian al analizar las fracciones. Se dice que la relación entre dos cantidades de una misma magnitud da lugar a una fracción. Esto es cierto; por ejemplo, podemos decir que la altura de una adulto es cinco tercios la de su hijo de seis años. Y esto último es un quebrado, incluso el estudio de este ejemplo puede dar lugar a las fracciones inversas (la altura del niño es tres quintos la de su padre).

Más aún. Cuando se trata de representar la razón entre dos conjuntos se procede más o menos así: dado que 5/3 puede representar "cinco dividido entre tres", podemos extender el significado de estos símbolos para expresar "la razón de cinco a tres" (entre las alturas del padre y el hijo). Esto se debería escribir de otra manera, lo cual a veces se hace al poner 5:3. Una razón para utilizar la escritura fraccionaria (5/3) para representar razones (5:3) es que otra manera de expresar la comparación entre las dos magnitudes (o conjuntos) es decir que la altura del padre es cinco tercios de la de su hijo.

Las razones y proporciones son un tema muy importante. Como ya hemos indicado, su estudio está relacionado con los números racionales, e incluso dedicaremos a ellas uno de los artículos de esta serie. Pero opinamos que la discusión de las relaciones (razones) entre objetos comparables no colabora mayormente en el entendimiento inicial de la fracción como representante de un número racional. Que, por el contrario, introduce elementos de difícil discernimiento, que tienen que ver más bien con los porcentajes, con las comparaciones. Que las baterías deberían enfocarse en los primeros años en la enseñanza de las fracciones como partes de un todo, encaminándose a su representación en la recta numérica, puesto que éstos son los auténticos objetos matemáticos cuya comprensión facilitará el avance en todas las demás direcciones.

Incluso, para el maestro muchas veces puede ser difícil explicar las razones en el contexto de las fracciones, porque aquéllas (las razones) involucran el entendimiento de las magnitudes comparadas, sus unidades, etc., que son un tanto ajenas al problema numérico. Además -esto es muy importante- las razones, o sea las comparaciones de magnitudes del mismo género llevan a ciertos tipos de 'fracciones' que no corresponden a números racionales, pues se pueden comparar medidas que no corresponden a números naturales, ni a números racionales; y en este último caso no se obtiene un número racional en el sentido usual.3 Así presentadas las cosas no podría hablarse de 'la fracción como razón', aunque sí recíprocamente, de 'una razón como fracción'. Pero, como ya he observado reiteradamente, esto corresponde más a la semántica que a la matemática.

Nos parece más adecuado tratar las razones, y el tema del que tratamos a continuación, en contextos más aplicados y avanzados de la formación del alumno.

Escalas de mapas

Directamente asociado con esta mezcla inconveniente de razones y fracciones está esta otra, aún más extraña, aunque menos frecuente. En realidad la mezcla es la misma, pero ésta tiene un componente geográfico que la hace más interesante. Al estudiarse fracciones aparecen las escalas de los mapas, cuestión del máximo interés para la vida diaria (saber 'mirar y ver' en un mapa o plano da grandes ventajas para la ubicación en el mundo -y para ser un buen copiloto).

Cuando se escribe 1:10000, lo que se está diciendo es que cada unidad en el mapa representa 10000 en la realidad; o sea que un centímetro representa 100 metros. Lector, por favor haga el cálculo, quizá nos hayamos equivocado al cambiar de unidad ¿Qué tiene que ver esto con las fracciones? Esto es geografía o algo así y hay que explicarlo más bien cuando se le hace entender al estudiante que el Norte se pone arriba (¿por qué?). En este caso el maestro está aplicando un concepto de la matemática a la lectura y comprensión de los mapas. Algunas preguntas que tienen sentido: matemáticamente, ¿qué son las escalas?, ¿qué es 1:10000?, ¿qué es lo que se ha dividido en diez mil partes cuando se escribe la escala de ese mapa? Ya hemos dado las respuestas a estas preguntas, cuando nos referimos a las proporciones, pero las reiteramos para que se distinga cuánto sí y cuánto no se pueden mezclar el origen de un problema matemático con la matemática misma.

El origen del problema matemático es que todo mapa representa sobre un plano trozos de una superficie curva, en general la de la Tierra, y que para hacer esto se deben utilizar ciertos criterios de aplanamiento (a los que no queremos referirnos en este artículo, a pesar de ser un tema lleno de otros significados interesantísimos) y obviamente una reducción para poder representar, por ejemplo a la ciudad de México, en una hoja pequeña de papel. Esto motiva la manifestación de la escala usada, que se escribe en la forma de dos números (1:10000). Estos dos números, una vez más (véase el ejemplo de las alturas de padre e hijo, más arriba), pueden ser considerados como una fracción (dos números enteros ordenados), pero no lo son en el sentido que queremos enseñárselo al niño en las etapas iniciales de que estamos tratando. Estos problemas de escalas conviene enseñarlos más adelante, asociados con las proporciones, o con los mapas mismos.

Reiteramos que esto no significa que no haya que enseñar algunos de estos conceptos juntos; después de todo el maestro es único en los primeros años de la enseñanza formalizada; o sea el niño va a estar orientado en gran parte de sus estudios escolares por una sola persona. Entonces esta persona, el maestro, debe combinar el estudio de todos los temas en una única pieza que permita al niño ir adquiriendo la globalidad del saber. Pero esto es otra cosa. No puede ser que el maestro crea que los mapas, o incluso las escalas, tienen que ver directamente con los números racionales; y como aclaré enfáticamente al comienzo, estos son artículos para maestros.

Por tanto, estas aclaraciones deben ser entendidas en el sentido que el maestro debe saber que las distintas situaciones en que se presentan las fracciones no representan conceptos diferentes: él debe conocer el sustrato, para que el niño logre utilizar las mismas herramientas en contextos muy distintos. Mal se enseñará la estructura de los números racionales si cada vez que ellos aparecen en la vida se les muestra como cosas distintas.

Comenzaremos preguntándonos por qué deben estudiarse estas cosas en la enseñanza primaria. Es comprobado que la introducción de estos conceptos resulta un poco artificial. Tienen poca correspondencia con la vida cotidiana del niño. Las situaciones problemáticas que se planean con las fracciones son bastante artificiales para los niños (y los maestros). No es frecuente que Juancito tenga que repartir un pastel en novenos, venga el hambriento hermano menor y le coma cuatro partes, y luego los educados del padre, la madre y la hermana mayor se comen cada uno una parte, y Juancito se queda con la duda de qué parte del pastel comerá él (o sea cuántos novenos), cuando lo único que le importa es la cantidad de duraznos en almíbar que tiene encima.

Pero nadie duda de que se deben conocer las fracciones, que cuanto mejor las sepamos mejor nos irá en la secundaria, y que constituyen una parte importante de la matemática elemental. Que incluso hacer operaciones correctamente con fracciones facilita cuestiones de la vida diaria, en transacciones cotidianas, comparaciones frecuentes, etcétera.

Quiero destacar aquí la importancia de la buena comprensión de los números racionales para hacer una buena construcción de los números en general y comprender la íntima relación entre los números, los puntos de la recta, nuestra concepción formalizada del tiempo, y en general con el estudio cuantitativo de los fenómenos en que uno o más números son necesarios para la descripción de procesos, características de los objetos, etcétera.

Calculadoras y vida diaria

El uso de las calculadoras electrónicas ha introducido muchas modificaciones respecto de la enseñanza de las fracciones, de las que quiero destacar estas dos: por un lado, los cálculos y operaciones con números racionales se han simplificado sobremanera, por lo que los algoritmos de cálculo pueden haber perdido importancia; por otro, las computadoras sencillas con las que opera un estudiante de los niveles que estamos tratando ignoran la representación como quebrados de los números (a pesar de que las computadoras sólo trabajan con números racionales). Esto puede profundizar el convencimiento de una aparente pérdida de importancia de su estudio. Esta conclusión es errónea en su contenido, aunque podría dar un cambio de enfoque a la enseñanza de los números racionales jerarquizando su enfoque desde la representación decimal. Es errónea en su contenido porque el conocimiento fino de los números racionales es clave para entender la estructura general de los números, y entender las relaciones de orden (que son útiles para el niño mismo) y densidad (entre dos números -puntos de la recta- siempre hay un racional), que son fundamentales para cualquier avance posterior.

El currículo no puede limitarse a las estrictas necesidades de la vida diaria, a analizar la aplicabilidad de cada concepto estudiado porque, a decir de Henri Poincaré, el instinto guía a los hombres "a menudo mejor que lo que la razón guiaría a una pura inteligencia, al menos en todos los casos en que persigan un fin inmediato y siempre el mismo; pero el instinto es la rutina y si el pensamiento no lo fecundase, no progresaría más en el hombre que en la abeja o la hormiga."

Y esta fecundación del instinto por el pensamiento abstracto debe comenzar desde la escuela. Las fracciones son un buen  ejemplo de este asunto: al niño de 6 años puede no importarle, pero es fundamental para el hombre.

Notas

1Aquí aparece un problema gramatical complicado: saber si se debe poner litro, por no llegar a dos, o poner litros por ser más de uno. Lo importante aquí es que el alumno sepa que esa botella es de 1750 decilitros. 2Obsérvese en este caso la extraña semejanza con la palabra 'propio' a la que hicimos referencia anteriormente. Ambas tienen múltiples significados que varían mucho según el contexto en que se las use. 3Se pueden realizar razones (comparaciones) entre magnitudes que se han medido con números racionales o reales. Las primeras corresponden matemáticamente a la división entre números racionales; las segundas escapan al análisis de estas notas. Obsérvese que si se comparan las diagonales de un cuadrado de lado uno con las de un rectángulo de lados 1 y 2, o sea, si se hace la razón de esas dos medidas, el resultado será, usando el teorema de Pitágoras dos veces: (raíz cuadrada de dos) sobre (raíz cuadrada de cinco), que no es un número racional.