Hemos preparado una serie de artículos en los que analizaremos los contenidos matemáticos que resultan útiles para estudiar el tema de las fracciones en la enseñanza primaria y secundaria. Intentaremos que los artículos sean uniformes en su estilo y que los temas más complicados aparezcan en los artículos finales. Privilegiaremos la claridad por sobre el rigor matemático, con el fin de hacer más comprensibles las ideas centrales que queremos transmitir.

En la segunda parte de la obra Ciencia y Método (1908), al comienzo del Capítulo II 'Las definiciones matemáticas y la enseñanza', el insigne matemático y físico francés Henri Poincaré (18541912) se pregunta y responde:

¿Qué es una buena definición? Para el filósofo o para el sabio es una definición que se aplica a todos los objetos definidos y que no se aplica más que a ellos, lo que satisface las reglas de la lógica. Pero en la enseñanza esto no lo es; una buena definición es la que es comprendida por los alumnos.

Poincaré destaca en ese capítulo cómo la intuición no está prohibida, aun en el desarrollo de la ciencia matemática, pero que para ser riguroso, para consolidar el terreno, hay que demostrar, hay que dar definiciones precisas (o definiciones a secas): eso establece 'la seguridad' y 'la certeza'. Él no establece una contradicción entre ambos procesos; por el contrario, considera que ambos son necesarios y complementarios. Y que la enseñanza de la disciplina debe combinar el conocimiento informal e intuitivo con el riguroso y formalizado.

En una combinación de este tipo entraremos en esta nota en que nos referiremos a la representación de los números racionales sobre una recta.

Los números en la recta

Comenzaremos dando razones generales, no sólo aplicables a los números racionales, de por qué consideramos fundamental que desde el comienzo mismo del aprendizaje de los números naturales el niño conozca la correspondencia entre los números (reales) y los puntos de una recta. Las razones son varias y muy importantes. Tan importantes que, a pesar de la brevedad de su presentación, nos permitimos llamar especialmente la atención del lector sobre los argumentos pedagógicos y matemáticos que motivan nuestro interés en este asunto.

Una razón, no menor, es que vinculará el aprendizaje de algunos entes geométricos elementales, puntos, rectas, con el de los números; esto le permitirá establecer una relación entre el concepto abstracto de número y la distancia, el orden,1 etc., en la recta. Esto lleva naturalmente a resaltar la importancia de introducir modelos en los que se establecen relaciones entre entes matemáticos y algunas entidades físicas; en este caso es la recta. A pesar de la sencillez del modelo geométrico, corresponde hacer una observación general: una vez desarrollado un modelo, es necesario atenerse a las hipótesis formuladas. En el caso tan sencillo que estamos tratando bastará con mantener el origen, la unidad de longitudes y el sentido elegidos. Este contacto de los alumnos con una matemática más concreta les proporcionará, a la vez, un contrapeso y un complemento con la matemática abstracta y les creará ciertos hábitos indispensables para el uso eficaz de la matemática, para familiarizarse con el paso de lo abstracto a lo concreto y viceversa.

Otra razón es que las sucesivas ampliaciones que se harán de los campos numéricos (naturales, enteros, racionales, etc.) son mucho más fácilmente entendibles si desde el comienzo se les representa (visualiza) sobre una recta. En efecto, sobre una recta en que se ha representado el cero y el uno, es inmediato pasar -como veremos más abajo- a la representación de los números naturales y enteros y, por subdivisiones de los segmentos que representan unidades, a los números racionales; luego, en un proceso más difícil, se podrá tratar de explicar que hay puntos de la recta que no se obtienen por esas subdivisiones: los números reales irracionales.

Una tercera razón es que existe una correspondencia total -biunívoca- entre los números reales y los puntos de una recta. Esta correspondencia no es demostrable en la escuela primaria y difícilmente el niño podrá tener una idea precisa de qué significa o cómo se define un número real no racional, pero sí debe intuir -al decir de Poincaré- que hay muchos más números (puntos en la recta) que los que se escriben como fracciones.

También debe tenerse en cuenta que esta representación consolida la importancia de los números en la realización de medidas (de longitudes, en este caso). En diversos estudios se ha destacado que las secuencias de aprendizaje de los números racionales deben pasar por la correspondencia entre longitudes y medidas, y la necesidad de utilizar subdivisiones (graduaciones) para medir longitudes.

Daremos también una razón bastante más pragmática. En el mundo actual es fundamental entender el significado de las gráficas; cualquier noticia periodística viene acompañada de ellas; cantidad de informes sobre desempeño en cualquier esfera de la producción, de la enseñanza, etc., viene explicado con gráficas. Por tanto hay que entender gráficas; y para entenderlas hay que comprender la representación de los números en la recta (que en este contexto también se denomina eje numérico). ¿Por qué? Pues porque en una gráfica, la mayor parte de las veces se representan dos tipos de magnitudes (variables) sobre ejes numéricos colocados en posición transversal; en general, perpendicular.

Una gráfica interesante. Población de México en los años indicados en el eje horizontal. En el eje vertical, la población (en millones de habitantes).

Números racionales en la recta

La introducción de las fracciones para realizar medidas más exactas está íntimamente vinculada a la representación de los números racionales en la recta. En ella la medición de longitudes adquiere todas sus propiedades. En particular la idea de precisión, tan cara a todo estudio cuantitativo, es fácilmente visualizable de esta manera. Esto pone en sus justos términos el grado de imprecisión aceptable en esos estudios. Somos de la opinión que la percepción cuantitativa de los fenómenos está directamente vinculada con la aproximación casi intuitiva a las posibles respuestas a las mediciones o cálculos que se realizan. A esto nos referimos cuando escribimos sobre la imprecisión aceptable. La precisión está relacionada por una parte con cuestiones de sentido común (la superficie de un terreno no se conoce con aproximaciones de 1mm2) y de eficacia (dado que la precisión cuesta cara en cualquiera de los sentidos que se la quiera interpretar).2

No se puede dejar de destacar que el concepto de precisión en las medidas está relacionado con la propiedad de densidad de los números racionales, a la que nos referiremos hacia el final de este artículo.

Ya hemos indicado que la importante idea de que el conjunto de los números racionales constituye una extensión de los números enteros es fácilmente explicable a través de la representación de todos ellos en una recta. De igual manera, la explicación de la suma de fracciones se simplifica mucho trabajando sobre la recta.

La equivalencia de fracciones toma toda su dimensión cuando se representa sobre la recta. Independientemente de qué fracción se tome como representante de un número racional, aquélla tendrá un único punto representándolo en la recta. Diversos estudios destacan las dificultades en la conceptualización general de la equivalencia de fracciones, y es notorio que la representación única de las fracciones equivalentes colabora muy fuertemente para salvar esta dificultad.

La llamada 'representación lineal' de las fracciones, de la que se habla en casi todo manual sobre estos asuntos, no es más que una manera gráfica de referirse a ello. Los cuadros de fracciones equivalentes que se utilizan para representar los casos más simples se pueden llevar de inmediato a la recta numérica:

La objeción expresada por diversos autores de que la representación de los números racionales en la recta resulta mucho más difícil de entender por el niño que el modelo 'partetodo', o que el modelo 'subconjunto de un conjunto discreto' me parece intrascendente.3 Hay que dedicarle tiempo a mostrar que el uno es un todo y tomar sus fracciones. De hecho, ésa fue la presentación que hicimos en nuestro tercer artículo sobre esta temática. Por tanto, comencemos con un todo, con cualquier todo. Este todo puede ser un pastel, una manzana, 280 pesos, un rectángulo, un círculo.

El eje numérico

El proceso de representación de los números en una recta (cualquier recta) es bien conocido pero lo resumiremos aquí. La descripción será somera; los detalles se pueden encontrar en cualquier libro que trate de los números reales con cierto cuidado, o en libros de geometría analítica. Recomiendo al lector que vaya siguiendo mis pasos sobre una hoja de papel, y que tenga a mano un lápiz, una regla y un compás.

Se toma un punto sobre una recta (que representará al cero y se denominará con la letra O, o con el número cero, según el contexto en que se trabaje; por suerte sus grafías son casi las mismas, por lo que no habrá confusión) y se elige un sentido creciente (positivo) a partir de él. Lo habitual es tomar la recta 'horizontalmente' y el sentido creciente hacia la derecha, pero ambas elecciones son totalmente arbitrarias, a pesar de ser casi universal hacerlo hacia la derecha. Dado que en estas notas estamos queriendo destacar el carácter humano de las elaboraciones matemáticas, no olvidemos que cualquier recta que usted dibuje sobre una mesa será horizontal, pero que todos preferimos llamar así a las que están colocadas en la dirección de nuestros dos ojos. O sea, paralelamente a la recta determinada por los dos ojos. Más aún, observamos que si hay dos alumnos trabajando uno de cada lado de la mesa, lo que para uno es de derecha a izquierda, para el otro es de izquierda a derecha. Esta tonta observación muestra la arbitrariedad de la elección. Y también muestra que la formulación matemática de los problemas conlleva la utilización de un lenguaje, de convenciones (matemáticas), aceptados por la comunidad (cultural) de que se trate. Los estudios antropológicos en matemática demuestran contundentemente esta afirmación.

Pues bien, tenemos una recta, un punto cero y un sentido elegido. La buena comprensión de esta elección tiene gran importancia didáctica porque ayuda a distinguir la existencia de dos sentidos en cualquier recta, y que la elección de un sentido determinará la futura representación de los números. En efecto, a cualquier distancia del punto cero, en el sentido positivo, marcaremos un punto uno, que determinará la escala de aquí en adelante. Las tres elecciones realizadas sobre la recta (la elección del cero, del sentido positivo y de la longitud del segmento que comienza en el cero y termina en el 1) son arbitrarias. Naturalmente que también la recta es cualquiera. Obsérvese que la elección es de un origen (el cero), de un sentido (positivo) y de una escala de medida. El carácter arbitrario de estas elecciones debe ser destacado a los niños desde el comienzo: cualquier recta sirve, cualquier cero, etc., pero una vez fijado, en cada trabajo, todo es inamovible.

Escala de longitudes

Entonces, la elección del punto uno también determinará la elección de la escala de medición de las longitudes sobre la recta, pues la longitud del segmento [0,1] será uno, la del segmento mitad, un medio, y la de tres segmentos de esos, que no tengan ningún trozo común, tres. Hemos remarcado, en la frase anterior 'que no tengan ningún trozo en común' porque la idea central del concepto de medida es que cuando se juntan partes disjuntas (que no tienen trozos en común) la medida del total es la suma de las partes.

Luego, en el mismo sentido positivo, se repite la longitud [0,1] a partir del uno y se obtiene el punto 2; y repitiendo esta operación tendremos representados en el sentido positivo todos los números naturales. Y el cero, que fue con el que comenzamos. Equipararemos a partir de ahora el punto que representa el número  n,  con el número  n,  como ya hemos hecho con el uno. Con esto queremos decir que cuando hablemos, por ejemplo, del tres en la recta, estamos queriendo indicar el punto que, hechas las elecciones de los puntos cero y uno por el procedimiento recién indicado, ocupa la representación del número tres. Se dice que el punto tiene coordenada tres, en ese sistema de representación, o sistema de coordenadas sobre la recta. También se dice que la recta es un eje coordenado.

Repitiendo la operación en el sentido opuesto (negativo), se tendrán representados los enteros negativos: se toma la longitud del segmento [0,1], a partir del 0, en el sentido negativo, y se obtiene el 1; a partir de éste se repite el segmento en el mismo sentido negativo, y se tiene  el 2, etc. Hemos representado de esta manera todos los números enteros. Es claro que los números n y n están representados en posiciones simétricas respecto a la representación del 0  (origen de coordenadas O). Esta característica se mantendrá para todos los números opuestos, por lo que no haremos particular hincapié en la representación de los números negativos: siempre serán simétricos respecto a O de su opuesto positivo.

Representación de los números racionales

¿Cómo representar los números racionales en esa recta? Comencemos representando cualquier racional entre 0 y 1, por ejemplo 5/11. Lo que se hace es dividir el segmento [0,1] en 11 partes iguales, marcando con pequeñas líneas transversales a la recta (observe que para ello hay que trazar 10 marquitas, ¡piénselo!), y se cuentan 5 a partir de la primera a la izquierda (que no sea la que representa el cero; estoy suponiendo que el orden elegido como positivo es el 'universal': hacia la derecha del cero). Cómo dividir en 11 partes iguales es un problema que suponemos resoluble usando lo que se llama semejanza de triángulos: se toma una recta transversal que pase por el punto cero, sobre ella se van marcando trozos iguales, hasta tener 11; se une este punto final con el punto uno, y se le trazan paralelas hasta cortar la recta base. Estos puntos de corte son las divisiones que estábamos buscando (observe que para hacer todo esto ha tenido que usar los instrumentos que le pedí tuviera a mano: regla, etcétera).

Muy bien, tenemos un procedimiento para representar las fracciones entre cero y uno, que corresponden a  m/n  con  m  menor o igual a  n (m ? n). Esto se hace así: se divide el intervalo  [0,1]  en n partes iguales y luego se toman  las m primeras. Observe, por favor, que esto es exactamente lo que hicimos cuando definimos las fracciones como parte de un todo en nuestro tercer artículo, excepto que en aquella ocasión no nos preocupábamos de tomar las primeras  m  partes; aquí sí importa porque estamos simultáneamente usando el sentido en la recta. También observe que si  m = n  se habrán tomado las n primeras divisiones, o sea todas, y por tanto tendremos el número punto uno, como corresponde.

Para números mayores que uno se puede usar la construcción anterior, aunque m sea mayor que n. Se toma m veces el segmento [0, 1/n], uno a continuación del otro; en el extremose tendrá representado el número m/n. También se puede hacer lo siguiente, que es más conveniente si m es mucho mayor que n. Se comienza escribiendo la fracción en la forma m/n = R + M/n con M < n (siempre se puede hacer y resulta m = R*n + M),4 luego se construye el punto de coordenadas M/n, que es menor que uno, y por último se traslada este segmento [0, M/n] de modo que el cero coincida con el punto de coordenada R: el otro extremo del segmento trasladado representará a

R + M/n = m/n.

Para los racionales negativos T/S se realiza un procedimiento muy semejante o -de acuerdo con lo ya indicado- se representa el número positivo T/S, y luego se simetriza respecto del origen O (usando el compás).

No nos extenderemos en detalles, para no aburrir al lector (y porque nos parece que algunos de ellos no son de importancia en la enseñanza primaria). Queremos resumir diciendo que elegida una recta, un cero y un uno sobre ella (el lado de donde se toma el uno determina el sentido 'positivo'), tendremos una única representación para cada número racional. Creo que es bueno ejercitarse en esto, representando, por ejemplo, los números 4/11, 24/18, 43/7.

Números y longitudes

Se debe observar, a esta altura, que números muy cercanos quedan representados muy cercanamente en la recta. Por ejemplo, observe esto con la representación de los números 3/4 y 20/27. Más aún, si consideramos -como ya hemos dicho- que el segmento [0, 1] tiene longitud uno; el segmento [0, a] para cualquier  a  positivo tendrá longitud a; o sea que la distancia de la representación de  a  al origen O es exactamente a. Insistimos en esto, agregando una leve variante: si la distancia de un punto B de la recta al origen O es un número racional b, entonces ese punto representa al número racional  b o b, según esté en el mismo lado o en el opuesto del punto que representa al número 1 (sentido positivo o negativo, respectivamente). Esta observación será muy importante a la hora de buscar puntos de la recta cuya distancia al origen O no sea un número racional.

Destacamos que esta relación entre medidas de longitudes en la recta y números racionales está condicionada totalmente por la elección de la unidad, o sea, por la distancia del cero al uno.

Habíamos hablado antes de la longitud de un segmento; daremos ahora una idea un poco más precisa del concepto de distancia, del cual toda persona normal tiene una idea intuitiva. Este concepto también quedó determinado cuantitativamente al elegir el segmento [0, 1], porque diremos que dos puntos A y B distan entre sí, por ejemplo,  1/4,  si el segmento determinado por los puntos cero y un cuarto, que representamos por [0, 1/4], al ser trasladado convenientemente, tiene uno de sus extremos en A y el otro en B. Obsérvese que aquí hemos tomado un segmento y lo hemos trasladado hacia otro lugar de la recta; ésta es una operación completamente normal, utilizada continuamente cuando se usa una regla. Obsérvese que sobre la recta este procedimiento coincide con decir que el segmento [A, B] tiene longitud  1/4 , que mide  1/4 . La definición de distancia dada con 1/4 se extiende de inmediato a cualquier distancia d, donde d  es cualquier número racional positivo: se construye el segmento [0,d] y se realizan luego los mismos procedimientos.

Densidad: tan cercanos como se quiera

Dados dos números racionales cualesquiera siempre existe otro número racional entre ambos. Ésta es una afirmación simple de recordar. En términos de orden, corresponde a afirmar que dados dos números racionales distintos existe otro mayor que el menor y menor que el mayor. Escrito lo anterior nos apresuramos a aclarar que este concepto no necesita del orden de los racionales; sólo se refiere a la cercanía entre los números racionales. Que el 'cercano' sea menor o mayor no tiene relevancia. Incluso, la palabra usada para caracterizarla, 'densidad', hace referencia al carácter compacto, espeso, poblado, apretujado, de los números racionales. Y para que algo esté apretujado, etc., no se necesita de ningún orden; más bien ¡todo lo contrario!

Pero, ¿es cierta? La respuesta afirmativa es fácil de demostrar para números que están relativamente 'separados', o sea, que difieren mucho, porque es sencillo indicar, por ejemplo, varios racionales que están entre 5/11 y 10/3. Cuando los dos números están muy próximos, la respuesta se complica un poco. Pero es fácil dar una fórmula sencilla, de interesante representación geométrica y que además tiene muchas otras puntas conceptuales. Es así: se suman los dos números y se toma la mitad; esto se denomina la semisuma. Si los números originales eran a y  b, la semisuma será (a+b)/2. ¿Le resulta claro que si a < b, entonces esa semisuma está entre los dos; o sea a < (a+b)/2 < b? Más aún, ¿le resulta claro que ese número se representa como el punto medio del segmento [a, b]?

En virtud de esta propiedad llamada densidad de los números racionales, es imposible decir que un número racional 'precede' o 'sigue' a otro, pues siempre hay otro entre ellos.

Mostraremos ahora una propiedad directamente relacionada con la anterior: dado cualquier punto en la recta, tan cerca de él como se quiera hay representaciones de números racionales. Por cumplirse esta propiedad se dice que los números racionales (los puntos de coordenadas racionales) son densos en la recta. ¿Cómo se muestra que dado cualquier punto A de la recta y cualquier número racional positivo d, hay un punto a distancia menor que  d  de él?  Se suele hacer esta construcción para números  d  pequeños, porque lo que interesa son distancias pequeñas. Indicaremos una manera entre tantas. Comenzamos eligiendo  n  de modo que 1/n sea menor que d. Es claro que esto siempre se puede hacer. ¿Por qué? Aquí le damos una respuesta muy constructiva tomando 1 dividido entre alguna potencia de dos, de modo que este número sea menor que d. Esto es realizable porque dividiendo a la mitad el segmento  [0,1] se obtiene  [0, 1/2],  y dividiendo éste se obtiene [0, 1/4 ],  y dividiendo éste se obtiene  [0, 1/8 ] y si seguimos partiendo a la mitad tendremos, al cabo de  k  particiones, segmentos de la forma  [0, (1/2)k],  con este segundo número menor que cualquier  d >  0. Considero muy importante que este procedimiento de bipartición, de división sucesiva a la mitad sea explicado tempranamente a los niños; se puede hacer con cuerdas, y genera naturalmente las potencias de 1/2: 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32...

Pero sigamos: tenemos un punto A, que está colocado entre la representación de dos números enteros E y E+1. Esto sucede siempre, a menos que A mismo ya sea la representación de un entero. En este caso, ese entero, que es  también un número racional, dista cero del punto dado y, obviamente, cero es menor que d. Si no coincide, dividamos el segmento entre los números naturales E y E+1 (este segmento mide uno), en n partes iguales, por el procedimiento ya visto. Si el punto A coincide con alguna de estas divisiones, este número racional dista cero del punto A; si no coincide -éste es el caso más interesante- A estará entre dos de esas divisiones. Cualquiera de esos dos números racionales dista del punto dado A menos que  1/n  y por tanto menos que d.

Y se ha demostrado la densidad de los racionales en la recta porque dado cualquier punto de la recta podemos encontrar un punto de coordenada racional tan cerca como queramos de él (o sea a distancia menor que d, arbitrariamente pequeño). Toda la construcción antes explicada no es simple; no pretendo que sea entendida a partir de la mera lectura de lo que escribí. Pero es muy importante para entender la relación entre la recta y los números, que es el objetivo de este artículo.

Puntos (números) irracionales

Lo que resta de este artículo no se refiere a la representación de los números racionales en la recta, pero lo hemos incluido por parecernos muy importante que el maestro tenga clara la (última) extensión de los números en la recta.

La pregunta más natural que surge después de haber comprendido estos procedimientos es inversa. Cualquier número racional tiene su representación en la recta, pero ¿cualquier punto de la recta es la representación de un número racional por el procedimiento indicado? Uno tendería a dar una respuesta afirmativa luego de entender el procedimiento de aproximación que antecede. O sea, se sentiría impulsado a responder: dado que cualquier punto es aproximable por la representación de un número racional, todo punto de la recta es representación de un número racional. Pero es falso. Aquí la intuición inmediata fracasa.

El número que multiplicado por sí mismo da dos, no es racional. Se denomina raíz cuadrada de dos. En una nota publicada en Correo del Maestro5 dimos una prueba de la irracionalidad (no racionalidad) de la raíz de dos. También observamos que el número ? (pi) es irracional, pero probarlo es mucho más difícil y escapa a los cursos normales de matemática, aun de los primeros años universitarios. Recuerden que el número pi aparece como cociente entre la longitud y el diámetro de cualquier circunferencia.

La formalización de los números reales, el entendimiento pleno de que en la recta se pueden representar muchos más números que los racionales y el conocimiento fino de la estructura de los números reales significó un avance fundamental para casi todas las ramas de la matemática y sus aplicaciones.

Una gráfica interesante. Población de México en los años indicados en el eje horizontal. En el eje vertical, la población (en millones de habitantes).

Notas

1En este ciclo de notas aún no hemos hecho referencia a las relaciones de orden de los números racionales; se tratarán en la próxima. Pero aun el más desprevenido notará que la elección de un sentido en la recta determina automáticamente que los números que estén representados 'antes' que otros en ese sentido serán menores que los 'siguientes', en el sentido habitual de la palabra. 2También la noción de eficacia debe ser inculcada lo más rápidamente posible: cifras bien escritas, operaciones bien ordenadas, hojas clasificadas cuidadosamente. Hay quien ha denominado esta noción de eficacia con una palabra poco usada en el idioma español, pero igualmente precisa: parsimonia, entendida en el sentido de frugalidad, moderación (aun en los gastos). 3 Esto no quiere decir que haya que ignorar las observaciones realizadas por esos autores, en particular las de aquellos que efectivamente han experimentado con niños sobre estos procedimientos de representación. Naturalmente que si el niño nunca ha tratado la representación de los números naturales en la recta, tendrá dificultades múltiples para representar a los racionales. Nuestra propuesta es que el conocimiento de los números y su representación en la recta sean etapas simultáneas. 4Ponemos un ejemplo: 53/11 = 4 + 9/11 porque 53 = 4*11 + 9. Para los que gusten seguir hablando de los 'números mixtos', esto se escribe 53/11 = 4   . 5Véase "Matemática y cultura II. Los números en la recta", Correo del Maestro, Núm. 66, noviembre, 2001.