Sesión 5. Ángulos (2 horas)

Temas a tratar

.    Malentendidos usuales en relación con el tamaño de los ángulos.

.   El ángulo como giro y las "partes de vuelta" como unidades de medida..    Inconvenientes de la introducción prematura del uso del transportador.

.    Elaboración de herramientas que permiten medir algunos ángulos

¿Qué se pretende?

Al igual que otras sesiones de este módulo, la dedicada a medición de ángulos y tiempo se diseñó tomando en cuenta los malentendidos que los alumnos suelen tener al respecto y los factores que los propician.
En ella el trabajo relativo a ángulos consistirá, por una parte, en propiciar que los ángulos se conciban como giros, aclarando cuáles son los malentendidos que suelen generarse con relación al tamaño de los ángulos cuando éstos se conciben únicamente como “la figura formada por dos semirectas que parten de un mismo punto”Por otra parte, se hablará también del tipo de malentendidos que suelen generarse con relación al concepto de grado cuando se enseña al estudiante a medir ángulos con transportador sin haber hecho antes un amplio trabajo que le permita familiarizarse con el concepto de ángulo y con el de grado, y se propondrán alternativas y materiales que el maestro podría usar para que sus alumnos midan ángulos sin transportador. Estos materiales se fabricarán durante la sesión utilizando (sin demostrarlo pero sí mencionándolo y aplicándolo en forma explícita) que los ángulos interiores de todo triángulo suman 180º, que los triángulos equiláteros tienen los tres ángulos iguales y los isósceles dos.

Malentendidos usuales
A muchos estudiantes, incluyendo algunos que saben medir ángulos con transportador, cuando se les presentan dos ángulos, uno mayor con lados chicos (fig. 1) y otro menor pero con lados grandes (fig. 2) y se les pregunta cuál de ellos es mayor, suelen contestar que el mayor es el de los lados grandes.

Y algo análogo sucede cuando los lados de los dos ángulos son de igual tamaño pero el ángulo mayor se señala con un arco de circunferencia muy  pequeño (fig. 3) y el menor con un arco de circunferencia mayor (fig. 4).

Por otra parte, hay quienes suelen reconocer determinado tipo de ángulos únicamente cuando éstos están en determinada posición. Por ejemplo, hay estudiantes que no reconocen al ángulo recto cuando éste no tiene un lado horizontal y otro vertical (fig.5), y lo mismo sucede con los triángulos rectángulos: los reconocen solamente cuando un cateto es vertical y otro horizontal, y no cuando se presenta con los catetos inclinados (fig. 6).

Por último, hay personas a las que cuando se les pregunta de qué tamaño es un grado dan respuestas como “aproximadamente un milímetro”, influenciadas por el tamaño del arco correspondiente a un grado en los transportadores escolares, y no es raro encontrar quienes suponen que el grado  es “un milímetro, pero curvo”. Y si para convencerlas de que están equivocadas se dibuja un círculo muy pequeño (2 o 3 mm de diámetro) y se trazan dos radios perpendiculares y se les pide estimar el tamaño del ángulo entre ellos, algunas contestan que como de 1 o 2 grados.

Este tipo de errores sugieren que no todos los alumnos tienen claro qué es un ángulo y, posiblemente, tampoco entienden bien qué es un grado.

Aún cuando los maestros de primaria no suelen dar a sus alumnos alguna definición de ángulo, los de secundaria sí suelen hacerlo y por lo general lo hacen mediante enunciados similares a los que aparecen en los diccionarios de español, que no siempre permiten tener claro qué es un ángulo, ni entender qué es lo que se está midiendo al medir ángulos. Por ejemplo, el de la Real Academia define al ángulo como “cada una de las dos porciones de plano limitadas por dos semirrectas que parten de un mismo punto”, y como la “figura formada por dos líneas que parten de un mismo punto”. Ninguna de las dos definiciones (que son las únicas que aparecen en el citado diccionario) favorece que el alumno entienda que al medir un ángulo no está midiendo una superficie ni una longitud.

Por otra parte, el hecho de que algunos estudiantes no tengan claro qué son los ángulos ni qué es lo que se mide al medirlos, y que algunos supongan cosas como que un grado es un “milímetro curvo”, es comprensible si se toma en cuenta, por ejemplo:

.    Que la medición de ángulos no forma parte de las actividades y necesidades cotidianas. Comparar el tamaño de los ángulos es una actividad mucho menos necesaria en la vida cotidiana (y en consecuencia, mucho menos “natural”) que comparar, por ejemplo, distancia o estaturas, superficies de terrenos, capacidad de recipientes, espacio ocupado, pesos o tiempos.

.    Que el trabajo relativo a la medición de ángulos se inicia después de haber familiarizado al estudiante con la medición de longitudes y áreas, y esta situación propicia que él, al estar tan acostumbrado a medir longitudes y áreas, suponga que al medir ángulos está midiendo una longitud o un área.

.    Que a diferencia de conceptos como el de línea y superficie, que son susceptibles de ser representados gráficamente con relativa facilidad, y en los que el "dibujo" o trazo que se hace en papel para representarlos refleja con relativa fidelidad la idea en cuestión, en el caso de los ángulos los dibujos o trazos como los de las figuras 1, 2, 3, 4 y 5 al inicio de este documento no sugieren, por sí solos y sin haber recibido instrucción previa para interpretarlos, que con ellos se intenta ilustrar, entre otras cosas, el tamaño del giro necesario para que al dejar uno de los lados fijos y rotar el otro teniendo como centro de la rotación el punto en el que se unen los lados, el lado rotado coincida con el que permanence fijo.

.    Que a diferencia de otro tipo de mediciones, por ejemplo, las de longitudes, superficies, volúmenes, capacidades y pesos, en las que la familiarización con las unidades de medida convencionales en cuestión se facilita porque la medición haciendo uso de ellas puede llevarse a cabo mediante comparación de tipo "objeto vs. objeto", esto es, usando, por ejemplo, un hilo de un metro (objeto que mide 1 metro) para medir o estimar el largo del pizarrón, un cuadrado de papel de 1 dm de lado (objeto que mide 1 dm cuadrado) para medir o estimar su superficie, cubo de 1 dm de lado (objeto que mide 1 dm cúbico y al que le cabe 1 litro) para medir o estimar el volumen de una caja o la capacidad de un estanque, pesas de 1 kg (objeto que pesa 1 kg) para medir o estimar, comparando en la balanza de platillos, el peso de otro objeto etc.,

en el caso de los ángulos la comparación no suele hacerse comparando al ángulo que se desea medir con un "objeto que mida un grado" o con uno que mida tal o cual cantidad de grados. Lo que suele utilizarse para medir ángulos es el transportador escolar, y en México en la mayoría de los transportadores escolares no están dibujados los ángulos cuyo tamaño es un grado, sino únicamente la marcas que estos dejarían en el arco del transportador.

.    Que a pesar de lo difícil que resulta entender qué son los ángulos, qué es lo que se mide al medirlos, y qué es un grado (o tal vez por eso mismo), en el actual programa de primaria hay muy pocos contenidos referidos a medición de ángulos (de hecho, sólo dos), y en consecuencia en los libros de texto gratuitos el trabajo al respecto es casi nulo.

Qué pide el actual programa de primaria, y qué se hace en los libros de texto gratuitos

El programa de primaria contempla la necesidad de hacer un amplio trabajo de familiarización con conceptos como longitud, distancia, superficie, volumen, capacidad y peso, así como la necesidad de que el aprendizaje de las correspondientes mediciones se lleve a cabo en forma gradual y paulatina. Sin embargo, en el caso de los ángulos, no se sigue esta norma.

En primaria, el programa de matemáticas tiene 258 temas o subtemas llamados “contenidos”, distribuidos a lo largo de los seis años de educación primaria, de los cuales 83 pertenecen al eje de medición. Y de los 83 contenidos de medición, sólo 2 son de ángulos.

Tal y como se observa en la tabla 2, los referidos a ángulos no se distribuyen a lo largo de los seis grados de primaria: forman parte únicamente del programa de cuarto año, grado al que de acuerdo al programa los alumnos llegan sin haber escuchado la palabra ángulo. En cuarto el programa pide que aprendan a medirlos y una vez hecho esto, el trabajo sobre ángulos se abandona y no vuelve a retomarse sino hasta secundaria.

En consecuencia, en los actuales libros de texto gratuitos de 1˚, 2˚, 3˚, 5˚ y 6˚ de primaria no hay una sola actividad referida a ángulos ni a medición de ángulos. El único libro en el que se habla de ángulos es el de 4˚, y lo ideal sería que en él se trabajara mucho con ángulos y hubiera una considerable cantidad de actividades relacionadas con medición de ángulos para “compensar” el que en los restantes libros no se trabaje este tema. Sin embargo, en el libro de 4˚ el trabajo con ángulos es mínimo. De hecho, casi nulo; y además no corresponde a lo estipulado en el programa.

Los dos contenidos que de acuerdo al programa corresponde trabajar son:

•    Comparación de ángulos en forma directa y con intermediario.

•    Uso del transportador en la medición de ángulos.

Como puede observarse al leer las únicas tres lecciones de dicho libro relacionadas con ángulos y su medición, en ellas no se comparan ángulos en forma directa (esto es, encimándolos para ver si son iguales y, en caso de que no lo sean, ver cuál es mayor y cuál menor), ni se utiliza el transportador.

Es decir, a pesar de que el programa de primaria contempla la medición de ángulos con transportador, los libros de texto gratuitos no lo contemplan y, en consecuencia, muchos maestros no cuentan con secuencias de actividades que les permitan tratar este tema del programa.

Giros y desventajas de su representación circular

El “tamaño de un ángulo” no es el tamaño de la figura que lo representa, ni el tamaño (longitud) de sus lados, ni el tamaño (área) de la superficie comprendida entre sus lados, sino el tamaño del giro realizado cuando uno de los lados rota teniendo como centro de la rotación el punto en el que se unen los dos lados. Pero lograr que el estudiante entienda esto es muy difícil cuando se le induce a suponer que los ángulos son sólo “figuras”, en lugar de propiciar que los conciba como giros.

Muchas propuestas didácticas (entre ellas la del libro de texto gratuito de cuarto de primaria) toman en cuenta, por una parte, la necesidad de propiciar que el estudiante conciba a los ángulos como giros y, por otra, la necesidad de que antes de empezar a medir el tamaño del giro utilizando para ello la unidad de medida convencional (grado), se utilicen unidades como el cuarto y el octavo de vuelta, o el sexto y el doceavo de vuelta.

Sin embargo en muchas de las propuestas didácticas que contemplan estas dos necesidades, el giro de “vuelta completa” se ilustra casi siempre sobre un círculo, y para ilustrar “partes de una vuelta completa” este se divide en partes iguales (por ejemplo, octavos o sextos o doceavos para ilustrar octavos o sextos o

doceavos de una vuelta completa), situación que propicia que algunos estudiantes terminen confundiendo al ángulo con el correspondiente sector circular y supongan entonces que los ángulos son una superficie y que al medirlos lo que se mide es el área de ésta.

Es decir, en ellas se parte de una idea acertada (concebir al ángulo como giro y medirlo en términos de octavos, sextos o doceavos de una vuelta completa antes de empezar a medirlo en trescientosesentavos de vuelta), pero al desarrollarla se utiliza una representación (el círculo) que puede propiciar errores y malentendidos que convendría evitar.

En consecuencia, una posibilidad es retomar la parte acertada de este tipo de propuestas, pero intentando trabajar, al menos al principio, con representaciones no circulares. Por ejemplo, con giros hechos con partes del propio cuerpo.

Giros con partes del cuerpo

El trabajo con ángulos podría iniciar comparando giros, pero no giros representados con un dibujo en el papel, sino giros reales hechos con partes del propio cuerpo. Por ejemplo:

.    Colocar los dos brazos extendidos en posición horizontal, levantar uno hasta dejarlo en posición vertical y otro hasta dejarlo en posición inclinada, y preguntar en cuál de los dos casos el giro fue mayor.

.    Que un alumno se pare a muy pocos centímetros de una esquina del salón y otro en la esquina opuesta y que cada uno extienda su brazo para señalar con el índice el punto del techo que está exactamente arriba de su cabeza y los dos muevan el brazo para que éste quede señalado la esquina del techo que está casi sobre el primer alumno, y preguntar en cuál de los dos casos el giro fue mayor.

.    Colocar la palma de la mano sobre la mesa con los cinco dedos juntos y extendidos de modo que los cinco dedos descansen sobre la mesa, levantar el dedo índice lo más que se pueda sin mover el resto de la mano, repetir el movimiento pero ahora con el dedo anular, y preguntar en cuál de los dos casos el giro fue mayor.

.    Colocar la palma de la mano sobre la mesa con los cinco

dedos juntos y extendidos de modo que los cinco dedos descansen sobre la mesa y, sin levantar ningún dedo, mover el índice para separarlo lo más posible del dedo medio y ver quién logra que la abertura entre ambos dedos sea mayor (es decir, ver quién logra que su giro sea mayor).

Posteriormente, discutir qué tipo de recurso podría utilizarse para referirse al tamaño de un giro, para terminar acordando que una posibilidad es hablar de “partes de una vuelta completa”. Por ejemplo, podría considerarse el tamaño del giro realizado al pasar de posición horizontal a vertical o viceversa, hacer ver que éste es un cuarto de vuelta completa ilustrando este hecho en el pizarrón con partes del cuerpo, digamos, dedos (fig. 7) y después utilizar el cuarto de vuelta como unidad de medida para estimar el tamaño de algunos giros.

Para ello podría pedirse a cada alumno que ilustre un giro de dedo de un cuarto de vuelta en la esquina de una hoja de papel (fig. 8) como las de este documento, es decir, de una hoja en la que las “esquinas” no sean ligeramente curvas, y que usen dicha esquina para ver si el tamaño del giro que hizo para separar su dedo índice del dedo medio es mayor o menor que un cuarto de vuelta, y después estimar qué parte del cuarto de vuelta es y repetir el ejercicio con algunos otros de los giros realizados.

También podrían dibujarse algunos giros con partes del cuerpo en el pizarrón (fig.9) procurando que ninguno de los lados del ángulo en cuestión sea horizontal ni vertical y preguntar si son mayores o menores que el cuarto de vuelta, para pedir a los alumnos que usando la esquina de la hoja en la que dibujaron el giro de cuarto de vuelta estimen, en el caso de los mayores, cuántos cuartos de vuelta son y, en el de los menores, qué parte del cuarto de vuelta son.

Figura 9

Inicio del uso de la palabra ángulo, y cambio de la unidad de medida a octavo de vuelta

Mientras el niño hace comparaciones como las mencionadas mediante sobreposición de la esquina en la que dibujó el giro de 1/4 de vuelta, se puede aclarar que a los giros o aberturas también se les llama ángulos, e informarle en algún momento que todos los ángulos de un cuarto de vuelta miden lo mismo (un cuarto de vuelta) aún cuando estén dibujados en posición “inclinada” e ilustrarlo en el pizarrón (figs. 10, 11 y 12), y decir que se les llama ángulos rectos; que a los menores que el de un cuarto de vuelta se les llama agudos, a los mayores que un cuarto y menores que dos obtusos, y a los de dos cuartos de vuelta (media vuelta) llanos.

Figura 11

Figura 13

Después, la esquina de la hoja en la que el niño dibujó el cuarto de vuelta y con la que está midiendo, podría doblarse a la mitad y cortarla para que él ilustre el giro de octavo de vuelta (fig. 13) y usar la nueva esquina (ángulo agudo de 1/8 de vuelta, medio ángulo recto) para medir o estimar, también mediante sobreposición, el tamaño de otros giros y aberturas, usando ahora como unidad de medida el octavo de vuelta o, dicho de otro modo, un medio de ángulo recto.

Y después usar dicha esquina de un octavo de vuelta para empezar a medir o estimar el tamaño aproximado, expresado en términos de octavos de vuelta, de ángulos que ya no necesariamente sean sólo giros o aberturas sino simplemente “figuras” como las figuras 1, 2, 3 y 4 al inicio de este documento, aclarando que en cada caso lo que se está midiendo o estimando no es la longitud de los lados ni el área entre ellos.

En las escuelas en las que los alumnos tienen escuadras también podría pedirse, por ejemplo, que usen la esquina elaborada de 1/8 de vuelta para ver que en una de las dos escuadras escolares los dos ángulos que no son rectos miden 1/8 de vuelta cada uno, y en la otra uno de los que no es recto mide más de 1/8 de vuelta y el otro menos de 1/8 de vuelta.

Otras partes de vuelta antes del paso a trescientosesentavos

Antes de empezar a hablar de grados (trescientosesentavos de vuelta) conviene en ocasiones, después de haber medido ángulos con cuartos y octavos de vuelta fabricados por él, que el niño mida también con otras partes de vuelta, por ejemplo, sextos y doceavos de vuelta.

En las escuelas en las que los niños tienen escuadras, una de ellas puede usarse para ello, pues en una de las dos escuadras escolares, la llamada “escuadra de 30-60”, uno de los ángulos que no es recto (el más chico) mide un tercio de ángulo recto (1/12 de vuelta) y el otro, dos tercios de ángulo recto (1/6 de vuelta).

Podría pedirse, por ejemplo que se junten las esquinas chicas de tres de estas escuadras como se ilustra en la figura 14 para observar que las tres esquinas chicas juntas forman un ángulo recto y, como las tres son de igual tamaño, cada esquina chica es un tercio de cuarto de vuelta o, dicho de otro modo, un doceavo de vuelta.

También podrían juntarse las esquinas chicas de doce de estas escuadras como se ilustra en la figura 15, para ver que cada una de ellas es 1/12 de vuelta, y entonces medir o estimar ángulos usando como unidad de medida los doceavos de vuelta, es decir, la esquina chica de dichas escuadras.

Análogamente, podrían juntarse seis esquinas medianas (las de 60˚) de seis de estas escuadras para ver que cada una de esas esquinas es un sexto de vuelta, y usar dicha esquina para medir en terminos de sextos de vuelta.

Figura 14	Figura 15

El paso a grados

Finalmente, y cuando el niño ya esté muy familiarizado con la idea de que los ángulos se miden usando partes de vuleta, se le puede decir que la costumbre usual no es medirlos usando cuartos ni octavos ni sextos ni doceavos, sino trescientosesentavos de vuelta, aclarando que los ángulos rectos miden 90 trescientosavos de vuelta, los de octavo de vuelta 45, el de la esquina chica de las escuadras con las que trabajó 30, y el de la esquina mediana 60, y entonces continuar midiendo y estimando el tamaño de algunos ángulos usando para ello las dos escuadras, y expresando los resultados de su medición o estimación en términos de trescientosesentavos de vuelta, y terminar informándole que a los trescientosesentavos de vuelta se les llama grados.

Anexo. Sesión 5

1. Tome una hoja de papel tamaño carta, explore qué dobleces y recortes puede hacer para construir un cuadrado de papel en el que la longitud de cada lado sea igual al ancho de la hoja original, y hágalos para obtener dicho cuadrado.

2. Doble su cuadrado de papel a la mitad y desdóblelo nuevamente.

3. Doble la esquina superior derecha para abajo de tal manera que el vértice A señalado en la siguiente figura caiga sobre el segmento BC. Asegúrese de que el doblez pasa por el vértice D. ¿Qué clase de triángulo acaba de construir?

4. Doble la esquina izquierda inferior hacia arriba hasta que se una con la esquina derecha del cuadrado. ¿Qué clase de triángulo ha formado?

5. Doble la base del triángulo tal como se muestra en la siguiente figura. ¿Qué tienen en común todos los triángulos del dibujo superior?

6. Haga un nuevo doblez como se muestra en la figura.

7. Usted ha doblado una herramienta triangular que sirve para medir ángulos. Desdoble su herramienta de medición angular y encuentre la medida de cada uno de los ángulos formados por los dobleces.

8. Vuélvala a doblar para obtener nuevamente el triángulo obtenido en el paso 6, y escriba en cada una de sus tres esquinas la medida del ángulo en cuestión.

9. Use su herramienta para medir ángulos internos y externos en cada uno de los polígonos a continuación. Para medir algunos de los ángulos, necesitará la combinación de dos herramientas.