Sesión 6. Probabilidad

Introducción

Como se mencionó en algunas de las sesiones anteriores, medir es comparar, y el resultado de dicha comparación generalmente se expresa con un número. Cuando medimos, por ejemplo, la altura de una persona, lo que hacemos es comparar dicha altura con la longitud de una unidad de medida (en este caso, metro) y expresamos el resultado de la comparación diciendo que la persona mide, por ejemplo, 1.70 metros. Análogamente, si medimos la distancia entre la puerta del salón y el pizarrón utilizando el paso como unidad de medida, decimos que dicha distancia es 5 pasos.

Visto de este modo, medir podría entenderse como un proceso en el que asociamos números con ‘objetos’ o con conceptos que no necesariamente son objetos, y con dichos números expresamos, por ejemplo, qué tan grande es un terreno, o qué tan pesado es un objeto o qué tan grande es la capacidad de un recipiente.

La tendencia al uso de números para especificar cosas como qué tan grande o qué tan chico es algo, qué tan lejos, qué tan cerca están las cosas, qué tan pesado o ligero es un objeto, se ha desarrollado al grado de usar números para expresar, incluso, qué tan probable o improbable es que algo ocurra.

En este último caso, la convención es usar los números 0, 1 y los que se encuentran entre ellos, asignando el 0 a los sucesos imposibles, el 1 a los que con seguridad ocurrirán, y un número entre 0 y 1 a los restantes, muy cercano a 0 cuando el suceso en cuestión es muy poco probable, y cada vez más lejos de 0 y más cercano a 1a medida que el suceso es más probable.

Sin embargo, no cabe esperar que un niño entienda fácilmente este proceso de asociar números con sucesos para expresar qué tan probable es que éstos ocurran. Entre otras cosas porque, a diferencia de otro tipo de mediciones como las de longitudes, superficies, pesos, capacidades o volumen, en las que el número en cuestión puede asignarse mediante comparación del tipo ‘objeto contra objeto’, en el caso de la probabilidad no hay este tipo de comparación, y el número en cuestión se asigna mediante procesos mucho más sofisticados que, por ejemplo, comparar la estatura de una persona con la longitud del metro.

Es por ello que en la mayoría de los países, México entre ellos, los programas de primaria consideran necesario hacer un amplio trabajo previo antes de dar inicio al uso de números para designar probabilidades.

Qué pide el plan de estudios

En nuestro país, lo que señala el plan de estudios es iniciar dicho trabajo previo en tercero de primaria, continuar con él durante cuarto, quinto y sexto, y no introducir el uso de fracciones, decimales y porcentajes para expresar una probabilidad hasta llegar a secundaria.

De acuerdo con el programa oficial (Plan y Programas de Estudio, Educación Básica, Primaria, SEP, 1993), los contenidos de primaria referidos a predicción y azar son:

Tercer grado

.Predicción de hechos y sucesos en situaciones sencillas en las que no interviene el azar.

.Identificación y realización de juegos en los que interviene o no interviene el azar.

Cuarto grado

.Registro de resultados de experimentos aleatorios.

.Representación de los resultados de un experimento aleatorio en tablas y gráficas.

.Uso de las expresiones 'más probable' y 'menos probable' en la predicción de resultados.

.Realización de juegos o experimentos cuyos resultados dependen del azar.

Quinto grado

.Problemas que impliquen arreglos o permutaciones de dos o tres objetos. Lista de resultados posibles.

. Experimentos aleatorios y análisis de los resultados posibles y de los casos favorables.

. Identificación de la mayor o menor probabilidad de los eventos.

Sexto grado

. Registro en tablas y gráficas de los resultados de diversos experimentos aleatorios.

. Uso de diagramas de árbol para contar el número de resultados posibles en experimentos sencillos.

. Comparación de dos eventos a partir del número de casos favorables sin cuantificar su probabilidad.

. Análisis e interpretación de gráficas para hacer predicciones.

Sin embargo, suele ocurrir que algunos autores y maestros, en lugar de trabajar, al final de la primaria, con la comparación de eventos a partir del número de casos favorables sin cuantificar su probabilidad, empiezan a cuantificarla utilizando fracciones para referirse a ella.

Al margen de si esto podría o no convenir, lo importante es tener claro que, lo que sí conviene es que antes de empezar a cuantificar la probabilidad el niño haya hecho una buena cantidad de experimentos aleatorios registrando los resultados y analizando los registros, y que continúe experimentando y registrando aun después de haber introducido el uso de fracciones para referirse a la probabilidad de que algo ocurra.

Por otra parte, también es importante no introducir prematuramente el uso de la ‘fórmula’:

dado que su introducción prematura puede originar malentendidos al intentar calcular algunas probabilidades.

Dicha fórmula es aplicable sólo cuando todos los posibles resultados son igualmente probables. Por ejemplo, en el caso de un volado, en el que, si acordamos declararlo inválido en el remoto caso en que la moneda llegara a caer ‘de canto’, la cantidad de posibles resultados es 2: que caiga águila o que caiga sol, y los dos son igualmente probables. Sólo uno de ellos es ‘caso favorable’ para el suceso ‘obtener un águila’ y, en consecuencia, la probabilidad de que ocurra este suceso es el número 1/2.

También es aplicable, por ejemplo, para determinar la probabilidad de que al tirar un dado, el número que caiga sea mayor que 4. En este caso hay 6 posibles resultados (que caiga 1, 2, 3, 4, 5 o 6), todos igualmente probables, y sólo dos de ellos (que caiga 5 y que caiga 6) son ‘casos favorables’ para el suceso ‘que el número que caiga sea mayor que cuatro’. En consecuencia, la probabilidad de que ocurra este suceso es el número 2/6 o, escrito de otro modo, 1/3.

Pero no puede aplicarse en casos que los posibles resultados no sean igualmente probables.

Dos problemas engañosos

A continuación se presenta un problema con el que se ilustra lo que puede llegar a suceder cuando la fórmula ‘cantidad de casos favorables/cantidad de posibles resultados’ se memoriza y termina aplicándose en forma mecánica, sin antes tener claro cuándo puede aplicarse y cuándo no. Antes de presentarlo, aclaramos que la intención no es sugerir que se plantee a niños de primaria, sino ejemplificar lo que suele ocurrir, en secundaria e incluso en bachillerato, cuando los alumnos aprendieron la citada fórmula en primaria y se acostumbraron a aplicarla indiscriminadamente.

Problema 1. ¿Quién tiene razón?

Jacinto y Andrea se rifan un libro, acordando que éste será para el primero que gane 4 volados. Si de los primeros 5 volados, Jacinto gana 3 y Andrea 2, ¿cuál es la probabilidad de que Jacinto gane el libro? Andrea dice que 1/2, porque al empezar la serie de volados los dos tenían igual probabilidad de ganar, y entonces la probabilidad de que ella gane el libro es la misma que la de que gane Jacinto, aunque él haya ganado ya tres volados y ella sólo dos.

En cambio, Jacinto dice que la probabilidad de que él gane el libro es 2/3, pues sólo hay tres posibles resultados:

a)Que el sexto volado lo gane él, y gane el libro.

b)Que el sexto volado lo gane Andrea y el séptimo él, y él gane el libro.

c)Que el sexto volado lo gane Andrea y el séptimo también, y ella gane el libro.

Y argumenta que como él gana el libro en 2 de los 3 posibles casos, la probabilidad de que él lo gane es 2/3. ¿Cuál de los dos tiene razón? ¿Cuál es, en realidad, la probabilidad de que Jacinto gane el libro?

En realidad, la probabilidad de que Jacinto gane el libro no es 1/2 ni 2/3, sino 3/4. El error del razonamiento de Jacinto está ocasionado porque, aunque efectivamente las tres posibles maneras de terminar la rifa son las que él menciona, éstas no son igualmente probables: la primera es más probable que las otras dos.

Los posibles resultados para dos volados son:

a) Que los dos los gane Jacinto.

b) Que el primero de los dos (es decir, el sexto en la rifa mencionada) lo gane

Andrea y el segundo Jacinto.

c) Que el primero de los dos los gane Jacinto y el segundo Andrea.

d)Que los dos los gane Andrea.

Estos cuatro sí son igualmente probables y, como en tres de ellos Jacinto gana el libro, la probabilidad de que esto ocurra es 3/4.

Entender por qué es 3/4 no siempre es sencillo, y mucho menos para un niño. Sin embargo, lo que sí puede hacerse fácilmente es obtenerla en forma experimental.

A diferencia de la llamada probabilidad clásica (también llamada teórica), que es la fracción:

donde, en este caso, el experimento en cuestión es simular que la rifa continúa.

Si, por ejemplo, se simula 100 veces que la rifa continúa, registrando quién gana el libro en cada uno de los simulacros, se ve que Jacinto lo gana aproximadamente en 75 de los 100 simulacros y, en consecuencia, la probabilidad de que lo gane no es un 1/2 ni 2/3, sino un número cercano a 75/100, es decir, a 3/4.

En los casos que la probabilidad de que algo suceda se puede calcular usando la probabilidad clásica y la frecuencial, la frecuencial (experimental) se aproxima a la clásica (teórica) a medida que aumenta la cantidad de experimentos que se hacen para calcularla.

A continuación se presenta otro caso de un problema en el que es no es sencillo encontrar la respuesta correcta cuando la pregunta planteada pretende contestarse aplicando razonamientos teóricos y, sin embargo, se contesta fácilmente cuando se recurre a la simulación y la experimentación.

Problema 2. Hombres vs. mujeres

En un reino lejano, a un sultán machista le preocupa que algún día las mujeres lleguen a ser mayoría. En consecuencia, decide tomar medidas para aumentar la proporción

de varones en el reino. Consulta a sus ministros y uno de ellos propone lo siguiente:

-Muy fácil: para propiciar que a la larga haya más hombres que mujeres, decretemos que todas las parejas tienen obligación de procrear hasta lograr tener un hijo varón y que, una vez nacido éste, están obligadas a dejar de procrear.

De esta forma, y tomando en cuenta que la probabilidad de que una pareja procree un niño es la misma que la de que procree una niña, garantizamos que en la mitad de las familias no haya una sola niña (porque lo probable es que en la mitad de las parejas, el primer hijo sea varón y estas parejas ya no podrán seguir teniendo más familia).

Y como las demás familias, es decir, aquellas cuyo primer bebé es niña, tienen obligación de tener más hijos, y tomando en cuenta que en las familias de dos hijos lo probable es que uno sea niña y otro niño, en estas familias lo probable es que la cantidad de niñas sea igual que la de niños. Pero como en la primera mitad de las familias sólo hay niños, lo que va a suceder a la larga es que en el reino habrá más hombres que mujeres.

-Pues no -dijo otro ministro-, más bien sería al revés. Con la medida propuesta, lo que lograríamos sería llenar el reino de mujeres. Porque las parejas cuyo primer bebé es niña y el segundo también y sólo hasta el tercer intento consiguen tener un hijo varón, van a ser familias con más niñas que niños.

Además, si el niño no se consigue al tercer intento, tendrán al menos tres niñas, y si vuelven a intentar tener niño y no lo logran, tendrán ya cuatro niñas y así sucesivamente. En consecuencia, terminaremos teniendo muchas niñas y pocos niños.

Si suponemos que la probabilidad de que una pareja procree un varón es la misma que la de procrear una mujer, ¿cuál de los dos ministros tiene razón? ¿Qué es más probable: que a la larga haya más niñas, o más niños?

En este caso, los dos ministros están equivocados. La probabilidad de que a larga haya más mujeres es la misma que la de que haya más hombres: 1/2 en cada caso. Para convencerse de ello, basta simular la situación. Si, por ejemplo, en un grupo de cien personas cada una imagina ser una pareja del reino y simula tener hijos tirando una moneda al aire acordando que si cae águila significa procrear hija y sol significa hijo varón, y si se pide que cada quien ‘tenga hijos’ y se detenga al tener el primer varón y finalmente, una vez que ya cada una de las cien personas tuvo al varón y se detuvo, se revisa cuántas niñas y cuántos niños se procrearon en total, sucederá que ambas cantidades son casi iguales.