Figura 1. Los cúmulos estelares tienen cientos de estrellas. Aquí se muestra el cúmulo doble en la constelación de Perseo.

La matemática es una herramienta fundamental para todas las ciencias, además de ser ellas mismas motivo de investigación. Como en todo el mundo, en México existen algunas dificultades para enseñar y aprender matemática; y no sólo matemática sino, en general, todas las ciencias que la emplean.
Se aprende ciencia apropiándose de ella: empleando su lenguaje y ejercitándose en sus problemas. Esto puede hacerse en forma divertida, entretenida e interesante. ¿Cómo lograr esto?

Una forma es actuando como científicos durante un lapso en el que se aprenda a sentir la curiosidad por entender, por ejemplo, preguntándose cómo funciona un aparato o por qué suceden los fenómenos que observamos en la naturaleza.

Debemos confiar en que el interés por aprender radica en satisfacer nuestra curiosidad y que ello nos llevará a buscar lo que necesitamos en las fuentes que estén a nuestro alcance; significará que leeremos y comprenderemos conceptos que son necesarios para responder a nuestras preguntas, hasta el grado de apropiarnos de una parte del lenguaje científico. Si somos científicos en potencia, nos haremos preguntas que quizá no encontraremos respondidas de manera satisfactoria en los libros que consultamos y esto será un buen índice de que podríamos optar por dedicarnos a la investigación.

Para ilustrar de manera concreta cómo nuestros alumnos se pueden sentir científicos y cómo podemos lograr que se apropien de una parte del lenguaje de la ciencia aprendiendo de manera divertida a dar respuesta a su curiosidad, plantearemos aquí un problema de interés para la astronomía en el que la solución requiere aplicar la matemática.

Figura 2. La Vía Láctea, galaxia espiral a la que pertenece el Sistema Solar, posee cien mil millones de estrellas, gas polvo y materia invisible.

El espíritu con el que hay que ver este artículo es que será útil si con la actividad propuesta el maestro consigue despertar el interés de los alumnos y éstos logran entender el concepto de conteo aproximado. Proponemos evaluarlos con algún ejercicio sobre el tema, como sería explicar ante el grupo cómo se cuentan los astros o cantidades muy grandes de objetos.

El problema de astronomía que aquí planteamos es el siguiente: ¿Cómo cuentan los astrónomos las estrellas en una región del firmamento? La dificultad radica en que suelen ser números muy grandes (figura 1).

En general, la ciencias puras no se cultivan por perseguir un fin utilitario sino por el placer mismo de descubrir, crear y entender. Sin embargo, la experiencia ha mostrado que algunos alumnos se apropian mejor del conocimiento cuando lo consideran útil. En consecuencia, es conveniente proporcionar a los niños algunos ejemplos prácticos de las técnicas matemáticas que la solución del problema que se esté tratando requiere (como la del conteo aproximado).

El número de estrellas

Cuando observamos algunas fotografías del cielo tomadas con grandes telescopios notamos que el número de estrellas es inmenso. Podemos leer en algún libro que un cúmulo de estrellas posee millones de astros y una galaxia espiral unos cien mil millones de ellos (figura 2). Si pudiésemos contar una de las estrellas de una galaxia gigante cada segundo nos tomaría miles de millones de años contarlas todas.

Algo que es importante señalar es que los números que manejan los astrónomos no son exactos: ninguno de ellos dice que la Vía Láctea tiene 105 745 189 328 estrellas sino que tiene alrededor de 100 000 000 000. La razón es que la manera de estimar el número de astros es aproximado. Aun así los astrónomos prefieren cuantificar en lugar de dar una respuesta extremadamente vaga. Por ejemplo, si preguntamos cuántas estrellas tiene el cúmulo de estrellas de las Pléyades, prefieren decir que cerca de 300 en lugar de mencionar simplemente que son muchas (figura 3).

Figura 3. El cúmulo de estrellas de las Pléyades. En esta fotografía sólo se muestran las más brillantes.

Mostraremos una forma en que el docente puede hacer que sus estudiantes estimen el número de objetos que hay en un conjunto empleando una cuadrícula, contando el número de objetos en unos cuantos cuadros y luego haciendo una multiplicación en lugar de contar cada uno por separado.

Figura 4. Cuadrícula de 10 por 10 cuadritos.	Figura 5. Cuadrícula con una estrella dentro de cada cuadro. Si hay una estrella por cuadradito habrá cien estrellas.

Procedimiento

Los alumnos elaborarán una cuadrícula de 100 cuadrados: 10 cuadros de base por10 de altura. Cada cuadrado puede medir aproximadamente un centímetro de lado. Esta cuadrícula puede ser dibujada sobre una mica o sobre un pedazo de plástico transparente. Es importante que el estudiante tenga claro que un cuadrado de 10 por 10 cuadritos tiene 100 cuadritos (figura 4). Si los niños no lo han aprendido aún éste es un buen momento de trabajar con superficies cuadradas y rectangulares cuadriculadas y garantizar que entiendan el concepto de área a través del número de cuadraditos contenidos; esto es, las unidades cuadradas que tiene una superficie: centímetros cuadrados, metros cuadrados, etcétera.

Figura 6. Cuadrícula con tres estrellas por cuadradito.

A continuación los alumnos dibujarán otra cuadrícula en una hoja de papel y pondrán un punto por cuadrito. Se pedirá a los niños que cuenten los puntos. Notarán lo fácil que es equivocarse y que la tarea es engorrosa. Sin embargo, si consideran que hay 100 cuadritos (10 x 10) y hay un punto por cuadrito, entonces hay 100 puntos (figura 5). Luego añadirán dos puntos más en cada cuadrito. En este caso es fácil que los alumnos se den cuenta que si hay 100 cuadritos y 3 puntos por cuadro, habrá 300 puntos en total.

El ejercicio consiste en contar el número de puntitos dentro de unos pocos cuadritos de la cuadrícula, los cuadritos que visualmente parezcan representativos de casi cualquier otro. Pongamos el ejemplo de que el número aproximado de puntitos en cada cuadrito de la cuadrícula inicial es 20. Luego, al multiplicar 20 por el número de cuadritos (cien en el ejemplo que hemos propuesto), se obtiene una aproximación más o menos cercana al número total de puntitos que hemos puesto sobre la cuadrícula original. Es justamente éste el método que emplean los astrónomos para contar estrellas. Suponen que el número de estrellas en cierta región del cielo es aproximadamente constante. Colocan una cuadrícula sobre la región, cuentan el número de estrellas en unos cuantos cuadros y sacan un promedio al que suponen representativo del conjunto. Multiplican el número promedio de estrellas por cuadrito por el número de cuadritos y obtienen la cantidad estimada de astros.

Figura 7. La cuadrícula colocada sobre granos.	Figura 8. La cuadrícula sobre un grupo de personas.

Figura 9. Cuadrícula estrellas en algunos cuadros y otros vacíos.

Los alumnos harán una serie de dibujos o usarán fotos de muchos objetos menudos y superpondrán la cuadrícula para estimar su número. En las figuras 7 y 8 se muestran objetos de la vida cotidiana, semillas y personas. El alumno podrá fácilmente estimar el número total de los conjuntos con una simple multiplicación.

En la figura 9 se muestran estrellas distribuidas de manera caprichosa bajo la cuadrícula original. Si no todos los cuadritos tienen estrellas es suficiente contar el número de cuadritos con estrellas y multiplicar por el número de estrellas promedio en esos cuadritos.

El alumno podrá colocar su cuadrícula sobre el dibujo de un árbol y estimar el número de hojas, sobre la página de un libro para saber cuántas letras tiene o sobre una sección de su cabeza y calcular el número de sus cabellos.

 

Tres dimensiones

Esta forma de conteo se puede aplicar a conjuntos tridimensionales, por ejemplo, un cubo lleno de dulces o pelotas. En la figura 10 se muestra una sección de un cubo formado por mil cubitos. Si en cada cubito hay una pelota habrá mil pelotas y si en cada cubito hay tres pelotas, el total de pelotas será más o menos tres mil.

El reto para los alumnos más adelantados es calcular el número de pelotas dentro de un cilindro o una esfera.

Figura 10.

Por ejemplo, si hay un cilindro de vidrio con dulces, el problema consistirá en decir cuál es el número aproximando de dulces y que expliquen cómo lo obtuvieron. La forma de trabajar es la siguiente. Puesto que nos interesa una cifra aproximada, si en la circunferencia del cilindro hay, por dar un número cualquiera, 90 dulces, significa que en su radio hay unos 15. La circunferencia es 2 veces el radio, r, por π, que es aproximadamente 3. Así 90 = 2 π r ; 90 = 6 r; r = 15. Así, en la base del cilindro habrá 675 dulces ya que la superficie de un círculo es π r x r; 3 x 15 x 15 = 675. Si hubiese 20 dulces de altura en el contendor cilíndrico habrá en total 13 500 dulces. El matemático hubiese argumentado: en un cilindro hay π r2 h dulces (si r es el número del dulces en el radio y h es el número de dulces en la altura). Como no conozco el radio lo deduzco a partir de la circunferencia c; c = 2 π r; r = c/ 2 π; si n es el número de dulces n = π r2 h = π h c2/ 4 π2 = h c2 / 4 π . El resultado 12 891, es más exacto.

Muchos grupos estelares son esferas y la forma de estimar su número total es similar. Se cuenta el número de estrellas en el radio del cúmulo y puesto que el volumen de una esfera es 4 π r3 / 3 se puede estimar el número aproximado de estrellas. Si en promedio el radio del cúmulo contiene 100 estrellas, el número total será de unos 4 millones (4188746).

Conclusión

La matemática es fantástica: nos ayuda a entender el mundo, nos ayuda a calcular y nos simplifica la vida. Es interesante conocer cómo hacen los astrónomos y otras personas para llevar a cabo sus estimaciones. Uno pensaría que emplean operaciones matemáticas muy complicadas. En ocasiones lo hacen, pero en este caso la matemática empleada se reduce a aplicar principios muy elementales sobre superficies y volúmenes.

Y para terminar, un desafío

No queremos terminar este artículo sin hablar un poco más de matemáticas. Los investigadores han desarrollado maneras ingeniosas de hacer estimaciones más allá de contar de manera aproximada. Por ejemplo, supongamos que tenemos una cantidad enorme de cajas de muy distintos tamaños y que queremos transportarlas en el menor número posible de camiones (cada camión adicional que empleemos para el transporte de las cajas costará dinero, de ahí la insistencia de usar el menor número posible de camiones). El problema es: Sin invertir mucho tiempo en pensar, di cuál es la mejor manera de acomodar las cajas en los camiones para optimizar el espacio.

Los matemáticos han desarrollado un método para hacer esto de manera aproximada y la ‘receta’ consiste en agrupar las cajas por tamaños. Se forman por estaturas, de la más grande y alta a la más pequeña. Se van colocando en cada camión según este ordenamiento, por estaturas, de la más grande a la más pequeña.

El docente puede conseguir cajas de cartón de distintos tamaños y comprobará fácilmente que la receta anterior funciona muy bien. Incluso le puede sugerir a los alumnos que hagan la prueba, que cada uno traiga un par de cajas de tarea y formen grupos para el acomodo de cajas.

¿Qué tanto se desvía esta manera de acomodar las cajas del acomodo óptimo en el sentido exacto? Es decir, empleando cada hueco que quede para acomodar en él la caja que mejor se ajuste a ese hueco. ¡Hay que pensar en el tiempo que esto nos llevaría! La respuesta la da la teoría matemática que lleva el nombre de Ramsey. Ésta sugiere que el desorden total es imposible. Argumenta que la sensación del desorden es simplemente una cuestión de escala. Daremos un ejemplo tomado de la astronomía: si hay un número suficientemente grande de estrellas siempre podremos encontrar cinco estrellas alineadas. A los matemáticos les gustaría saber cuál es la región más pequeña del cielo donde siempre que miremos encontremos cinco estrellas alineadas. La respuesta nuevamente la da la teoría de Ramsey. Haga la prueba con la figura 1.

Otras preguntas que plantea y resuelva la teoría de Ramsey son, por ejemplo, ¿cuál será el mínimo número de invitados a una fiesta para garantizar que al menos tres se conozcan o bien tres sean desconocidos. La sorprendente respuesta es 18.

El docente puede poner a prueba esta teoría frente a grupo pidiendo a sus estudiantes que acomoden los primeros 101 números enteros en el orden que ellos quieran; siempre podrán encontrar once números que formen una secuencia creciente o decreciente. ¡Vale la pena hacer la prueba!