1. En las últimas dos décadas el desarrollo de la tecnología electrónica e informática ha tomado un impulso tal que se ha introducido en casi todos los ámbitos de la sociedad humana, en aspetos sociales, económicos y científicos, incluyendo a la educación y la matemática. Estos avances tecnológicos tendrían que hacer reflexionar a las autoridades educativas, pero más que nada a los docentes, de una manera seria y responsable sobre las implicaciones que en los procesos educativos (incluyendo los escolares) puede tener su aplicación a fin de considerar a esta tecnología un apoyo eficaz y eficiente para la enseñanza y el aprendizaje de la matemática (y otras ciencias).

Es importante considerar que cuando se habla de tecnología informática o electrónica, comúnmente nombrada ‘tecnología computacional’, no sólo se debe incluir a las computadoras personales, sino que también aparecen en el panorama las calculadoras electrónicas en sus diversas modalidades. No es válido eliminar las potencialidades que en aritmética, teoría de números, álgebra, trigonometría y cálculo pueden tener el uso de calculadoras electrónicas sencillas, al tener el equipamiento de un salón de clases con computadoras personales y la utilización de software que realice operaciones similares. El tamaño físico del aparato no necesariamente es proporcional a las posibilidades educativas que tiene, y menos en espacios educativos con presupuestos económicos restringidos. Existen las calculadoras electrónicas básicas (qué solo contienen las cuatro operaciones fundamentales y ocasionalmente un par extra de funciones), las científicas (que permiten el uso de algunas funciones y sus inversas), las graficadoras (que proporcionan al menos una idea cercana de la curva de una función) y las llamadas ocasionalmente hand-held, que además de graficar ya portan sofware (denominado Advanced Mathematics Software y Computer Algebra Software) comparable con el usado en las microcomputadoras. De hecho, no sólo existen investigaciones didácticas donde se usan computadoras personales o hand-held, sino que también existen muchas que toman en cuenta a las calculadoras de bolsillo (véanse por ejemplo Flores, 1991 y 1995; Wenzelburger, 1993; Cedillo, 1995).

2. Esta tecnología, cada vez más al alcance de los individuos y las instituciones, no sólo ha afectado al aspecto algorítmico, en el cual ha buscado desde hace siglos la descarga de trabajo operativo que resulta mecánico, sino que también ofrece las oportunidades gráficas y el impacto que esto tiene en la construcción de los conocimientos y en el desarrollo de habilidades (ver Hitt, 1998). Las computadoras y las calculadoras permiten además una retroalimentación casi instantána del usuario, pues su capacidad de manejo de información permite a estos aparatos dar respuestas rápidas a las acciones emprendidas por el usuario y éste, utilizando habilidades que no sólo se quedan en los algoritmos, está en posibilidades de aceptar o no la respuesta, de rectificar si es necesario las condiciones sin estar supeditado a otra persona, a un suceso o a un texto. El resultado es un ciclo como el que sigue (Dixon, 1991:107):

Estas herramientas, por su misma construcción y programación, permiten también dar énfasis a la necesidad de una comunicación correcta, puesto que las máquinas requieren que se les indique qué hacer de una manera más o menos precisa, pues siguen algoritmos, y entonces los objetos que se manejan o se construyen deben ser lo que se pretende y no sólo parecer que lo son. Por ejemplo, al utilizar software para geometría dinámica a fin de obtener la circunferencia inscrita de un triángulo pueden quedar las dos siguientes construcciones:

Obsérvese primero que las dos circunferencias fueron creadas utilizando a I como centro (es el incentro) y a Q y P (respectivamente) como puntos que se encuentran en la circunferencia. Pareciera que las dos construcciones funcionan, mas a aquél que ya está familiarizado con la geometría dinámica se le hará más fácil darse cuenta de que la figura de la izquierda está pensada como una construcción estática, pues Q es un punto cualquiera, y sólo la construcción de la derecha se ajusta más al uso de software, pues P está construido como el pie de la perpendicular al lado AC que pasa por I. Es importante hacer notar a los lectores que no estén familiarizados con la geometría dinámica que la construcción de una circunferencia con centro en I y que pase por P ó Q resulta incluso más fácil  con la computadora que con un compás, pues éste se tiene que abrir a una medida dada (aunque se obtenga por medio de aproximaciones o ‘a ojo’) mientras que con aquélla se selecciona el punto que será el centro (I en este caso) y luego se mueve el ratón para seleccionar (o crear) el punto por donde pasará la circunferencia, lo cual permite ver cómo la circunferencia crece o decrece a voluntad, ajustando su tamaño a la medida que uno quiere (si es necesario).

Precisamente por esta capacidad de arrastre es posible mover los vértices o los elementos de la construcción una vez finalizada y si está bien hecha deben conservarse las propiedades geométricas de los objetos que fueron creados. Esto tiene como consecuencia que los objetos que parecen ser algo y no lo son queden en evidencia. Como ejemplo presentamos tres imágenes1 que resultan de tomar la primera figura 1 y mover (con el ratón) sólo el vértice C horizontalmente hacia la izquierda:2

Como resultado se puede notar que lo que parecía ser la circunferencia circunscrita no lo es en general, sino sólo para un caso en particular. En cambio, si se miran las siguientes figuras, que muestran el mismo procedimiento de arrastre del vértice C de la parte derecha de la figura 1, se aprecia que la circunferencia inscrita cambia de tamaño (porque cambió el triángulo) pero sigue siendo lo que debe ser:

De hecho, como menciona Alessandra Mariotti (2000), esta acción que comúnmente es llamada el examen de arrastre puede llevar al estudiante a un nivel genérico de las construcciones; es decir, hacia una perspectiva teórica del conocimiento matemático.

Podemos notar, por tanto, que este tipo de software permite al alumno trabajar con construcciones casi genéricas (aceptémoslo: la computadora también tiene limitaciones ante el infinito) y no sólo con una construcción en el papel en la cual, quizá por error o por casualidad, el alumno pudo haber dibujado algo interesante, pero falso. Si el alumno logra percatarse (por sí mismo o con ayuda del profesor) de esta característica del software, puede aprovechar la retroalimentación inmediata que proporciona el aparato y corregir, es decir, llegar a obtener un control lógico de la construcción a través de la interiorización de la función de arrastre y aprovechar al mismo tiempo el ciclo que se mencionó arriba. Además, en este punto se puede ir dilucidando la diferencia entre lo que Laborde denomina dibujo (drawing) y figura (figure), lo cual está relacionado con la capacidad del individuo de ‘ver’ más allá de la representación gráfica que tiene enfrente y llegar a un grado de abstracción mayor (Hoyles y Jones, 1998:124).

3. Una cuestión insoslayable es que el uso de estas herramientas tecnológicas no proporcionará una solución a todos los problemas educativos. De hecho, en algunas ocasiones no existe garantía de que proporcione soluciones a algún problema en particular y, en otras, podrá generar más problemas aún. Mucho dependen del profesor el éxito o fracaso de su uso. En otras palabras, sería ingenuo pensar que el uso de la informática y la tecnología en educación, por sí mismo, representa una mejora en el aprendizaje de la matemática: es el profesor, con su labor, quien tendrá la responsabilidad de plantear las actividades en función del curso que está impartiendo a fin de utilizar racionalmente esta herramienta. Aceptar que con la sola introducción de esta tecnología a la educación se resolverán los problemas educativos y que el individuo aprenderá casi automáticamente, implica aceptar que la capacidad cognitiva del ser humano es equiparable a la de una computadora actual y negar la complejidad de los fenómenos educativos.

Un supuesto que aparece conmúnmente en los argumentos en favor del uso de la tecnología informática es su modernidad, que desestima (implícita o explícitamente) otras tecnologías o, incluso, algunos temas en la matemática que (aunque sólo podría ser aparentemente) no pueden ser abordados con su uso, y las califica de ‘viejas’ u ‘obsoletas’. Sin embargo, el carácter de obsolescencia que puede tener una técnica o un conocimiento se mide más en términos de las expectativas y el sentido de utilidad social y no del tiempo que tiene funcionando (o de que se inventó). Tales expectativas y la utilidad de una tecnología en el salón de clase quedan muy determinadas por las creencias del profesor. Es decir, es el docente quien puede darle el sentido de obsolescencia a una técnica o a un conocimiento de acuerdo con sus creencias, lo cual se refleja directamente en sus actitudes y su conocimiento al respecto, por lo que se hace necesario que sea él uno de los que más conozcan estas herramientas y reflexione responsablemente en su uso e implicaciones.

4. Ahora bien, para conocer más a fondo este apoyo educativo se pueden revisar sus funciones. Éstas se basan entre otras cosas en las potencialidades que tienen esos aparatos para realizar operaciones a gran velocidad, para (aprovechando lo anterior) modelar gráficamente la información y para servir como un medio de comunicación. A continuación se proponen tres funciones:

.Como herramienta algorítmica: Ésta es la función ‘clásica’de las calculadoras electrónicas en las clases de matemática. Estos aparatos se han utilizado ya como un medio para realizar cálculos que ocupan mucho tiempo o son complicados. Sin embargo, aún no se liberan algunas áreas de todo el cálculo engorroso que lleva a desarrollar habilidades para resolver si-tuaciones repetitivas y complejas, pero que desatiende habilidades de análisis y razonamiento.

Un ejemplo de que en el ámbito algorítmico estos aparatos calculadores han entrado en la enseñanza de la matemática es el relacionado con el uso de las tablas matemáticas para el cálculo de logaritmos y la obtención de valores para las funciones trigonométricas. Cada vez es más común ver que en los concursos de álgebra y trigonometría las calculadoras (científicas por lo general) aparecen en los pupitres de los alumnos en lugar de los cuadernillos que contienen decenas de columnas llenas de números. Se pretende que esto no sea en detrimetro del aprendizaje, sino que permita el uso del tiempo que se invertía en aprender a usar las tablas (y no a usar los logaritmos y las funciones trigonométricas) en aprender el uso de los mismos logaritmos y de las funciones trigonométricas a través de los resultados que proporcionan las calculadoras.

.Como mediador: Por sus capacidades, tanto de cómputo como de graficación, las computadoras y las calculadoras electrónicas se presentan como un medio que sirve para poner al estudiante en contacto con cierto conocimiento. Esta función, de hecho, no es nada trivial y es donde al parecer hay más obstáculos en su utilización, pues el conocimiento que se aprende queda mediado por la computadora (ya que es una herramienta), que lo afecta y lo modifica.

.Como medio relacionado con la comunicación: Básicamente se puede hablar de dos vertientes cuando se utiliza a las computadoras en su función relacionada con la comunicación: considerar una función de la tecnología para la comunicación y otra función como medio de comunicación.

Así pues, por un lado, el uso de este tipo de aparatos al interior del aula puede permitir a los alumnos entablar una comunicación con base en las actividades que realicen con computadoras y calculadoras. Consideremos que, por ejemplo, la necesidad de comunicar sus resultados y el uso de estos aparatos con una estructura de funcionamiento tan rígida, lleva a la necesidad de que sus comunicaciones sean lo suficientemente concisas como para que los demás puedan aplicar esta información en sus respectivos aparatos. Recordemos el comentario que se hizo un par de páginas antes sobre la necesidad de que los objetos sean algo y no sólo parezcan que son.

Por otro lado, con el impulso tanto comercial como académico, las computadoras se han convertido en un medio de comunicación al alcance de cada vez más personas. Un uso racional, con actividades concretas cuidadosamente planeadas, permite poner al alcance de los alumnos la posibilidad de contactarse y establecer comunicación con personas de todo el mundo, pensando un poco en la internet, por ejemplo. Sin embargo, no todo se queda en el uso de navegadores3 con acceso a información actualizada que anteriormente era muy difícil de conseguir, y del correo electrónico, sino que también se puede hablar de educación a distancia, de trabajos en equipo y colegiados entre individuos y de consultas con expertos que geográficamente se encuentran lejos.

Los materiales y los medios que quedan a disposición del profesor le abren la posibilidad de interactuar con información nueva y actualizada, además de permitirle, bajo una reflexión personal e institucional, llevar estas actividades a los alumnos (ver Adell, 1995; Larios, 2000). Existen, por ejemplo, algunos sitios en la internet que tienen entre sus contenidos la publicación de problemas matemáticos de manera perió-dica. Uno de sus objetivos es poner al alcance de alumnos de distintos niveles escolares problemas que les permitan aplicar sus conocimientos y habilidades de una manera libre, sin haberse establecido previamente procedimientos o técni-cas. Tres ejemplos son: el problema semanal que publica The Math Forum en la dirección http:// forum.swarthmore.edu/pow/, los problemas del mes del proyecto ProbleMATEMATICAmente que aparecen en la dirección http://arci01.bo.cnr.it/cabri/ probmat/index.htm y la propuesta quincenal de problemas geométricos del Laboratorio de triángulos con Cabri en la dirección http://www.pdipas.us.es/r/rbarroso/trianguloscabri/.

5. Por otro lado, también conviene hablar de un par de niveles que en el uso de la tecnología puede hacer el profesor. Estos niveles de uso, ni excluyentes ni incluyentes entre sí necesariamente, se refieren a las potencialidades que en el trabajo docente puede tener la tecnología para facilitar la labor del profesor; están expuestos a continuación:

.Un nivel externo, donde las computadoras y las calculadoras son utilizadas por el docente para la elaboración de material didáctico (e incluso exámenes) que se empleará de manera impresa.

.Un nivel expositivo, donde la tecnología es utilizada por el profesor como un medio para exponer algún tema o concepto a través de medios audiovisuales y utilizando herramientas como cañones y proyectores de pantalla líquida (viewscreens) que permiten mostrar de manera masiva lo que está ocurriendo en la pantalla de la calculadora o de la computadora.

Hay que recalcar que esta tecnología ofrece la posibilidad (que puede ser explotada muy eficazmente) de guardar la información en soportes magnéticos y que, a lo largo de un curso o de varios cursos, puede ser modificada para irla adaptando o mejorando de acuerdo con las necesidades que el profesor capta en sus cursos. Guardar la información (exámenes o apuntes, por ejemplo) solamente en medios impresos hace que una posterior modificación sea engorrosa y difícil, pero la tecnología actual permite la actualización permanente e, incluso, mejorar la presentación, por ejemplo, con imágenes.

Los niveles mencionados en el uso de la tecnología están relacionados un poco con las funciones que se mencionaron anteriormente, pero con la diferencia fundamental de que mientras aquéllas se refieren a su relación con el alumno y con su aprendizaje, éstos están directamente relacionados con una labor exclusivamente docente. Asimismo, mientras que las funciones están  siendo investigadas y estudiadas por la necesidad de averiguar los procesos cognitivos del alumno y las ventajas (o desventajas) que representa el uso de esta tecnología, los niveles de uso fueron objeto de estudio hace un par de décadas. Creo que vale la pena recordarlos, más que nada para proporcionar un apoyo al profesor en su trabajo docente relacionado con actividades educativas orientadas sobre todo a la preparación de clases, elaboración de materiales y revisión de tareas y exámenes, todas ellas tareas que no pueden evitarse al ser profesor.

6. Sin embargo son necesarias algunas precauciones. El uso de calculadoras o computadoras no implica el acortamiento de los cursos, pues con una visión simplista se podría afirmar que se están eliminando todas aquellas técnicas que se aprenden en la escuela.

Si se considera a la enseñanza de la matemática orientada hacia la resolución de problemas, hacia la construcción del conocimiento por parte del alumno, hacia el aprendizaje de las principales nociones matemáticas, hacia el desarrollo de habilidades para conjeturar y razonar, así como hacia la aprehesión de una cultura matemática amplia, el aprendizaje de las técnicas no es prioritaria, aunque no es conveniente eliminarlas. El asunto está en el énfasis que se le otorga a cada uno de los aspectos que se incluyen en un curso. El uso de tecnologías electrónicas aplicables al cálculo y la modelación permiten acortar los tiempos de aquellos procesos que, finalmente, una máquina puede realizar, y permitir de esta manera disponer de  mayor tiempo dedi-cado al estudio de los objetos matemáticos, el análisis de los resultados de los cálculos o las modelaciones, la interpretación de los conceptos y los datos, etcétera, considerando seriamente su función como mediadora.

Una visión corta y miope como la de que el uso de las calculadoras y las computadoras elimina la posibilidad de que el alumno desarrolle conceptos y nociones, y de que les bloquean las posibilidades de razonamiento, es tan irresponsable como pensar que van a resolver todos los problemas educativos. El uso racional y cuidadosamente planeado de actividades con estas herramientas puede permitir alargar los cursos en el sentido de profundizar en aquellas nociones claves para cada uno de ellos. Al eliminar tiempo dedicado a los cálculos engorrosos y automáticos, al hacer a un lado construcciones geométricas hechas a mano, que son estáticas y hasta confusas por la profusión de trazos, queda tiempo para el análisis y la interpretación de datos, es decir, para la profundización de los conceptos.

Mucho importa entonces que exista un equilibrio entre las distintas opciones que tiene el docente en cuanto a tecnología, es decir, entre la tecnología informática, la de papel y lápiz, y alguna otra tecnología disponible. Este equilibrio debe ser percibido por el alumno para que así esté en posibilidad de discernir qué tipo de técnicas o tecnologías debe usar con base en la situación a la que se enfrenta. El símil que proporciona De la Rosa (2001: 37) resulta ilustrador:

Un empleo habitual ayudará al estudiante a entender el uso apropiado de la tecnología, por ejemplo, si tuviéramos que ir de compras, de acuerdo con la distancia, emplearemos la tecnología (transporte) adecuada: iríamos caminando, si la tienda se encuentra, por ejemplo, a 100, 150... 400 metros; en bicicleta si está a 500... 1000 metros y en automóvil si hay que recorrer algunos kilómetros. Vemos que el equilibrio consiste precisamente en saber cuándo la tecnología facilita las tareas cognitivas, […] y no caer en el error del uso inadecuado.

Es casi un hecho innegable que el uso eficiente de la tecnología pone al alcance del docente y de sus alumnos conocimientos que hasta hace poco era prácticamente imposible tomar en cuenta; por ejemplo (y  quizá a nivel introductorio), es el caso de las geometrías no euclidiana, fractal y proyectiva, y las ecuaciones de grado mayor que 2 en los cursos de álgebra (pensando específicamente en el nivel medio).

7. Es también un hecho relevante que el profesor determine el nivel de comprensión que debe tener el alumno sobre los procesos que realiza la máquina electrónica. Ocasionalmente, será necesario que el alumno comprenda el procedimiento que se realiza al interior de los circuitos, pero también es posible utilizarla como caja negra, de la que se obtienen resultados a partir de datos introducidos y que no es necesario que el alumno (y a veces ni el mismo profesor) dilucide y comprenda a plenitud los procesos que se realizaron en el interior de los apartados, por no ser el punto central del curso (ver por ejemplo De la Rosa, 2001:37).

Sin embargo, lo anterior nos lleva a remarcar la importancia de que el alumno sea mesurado al momento de tomar un aparato de este tipo como el medio de validación del conocimiento que se genera. Se podría hablar de manera particular en los aspectos relacionados con su uso en la enseñanza de la demostración matemática, pues se ha visto repetidamente que el uso de la tecnología no necesariamente lleva a crear la necesidad en los alumnos de realizar una demostración de los resultados que observan, sino que se requieren algunos mecanismos extras que el profesor debe promover (ver Villiers, 1996). En el caso particular de la matemática misma, se ha estado viendo un avance tremendo en el uso de la informática y de las computadoras en su investigación, por lo que se ha llegado a afirmar que existe la matemática experimental. Como consecuencia de lo anterior, por ejemplo, se ha difundido en algunos niveles la idea de que la demostración matemática, hasta hoy conocida como cadena de deducciones, tiene los días contados (ver Horgan, 1993), pero como Colette Laborde (2000) afirma, las investigaciones sobre el aprendizaje de la demostración utilizando computadoras no sólo concluye que su enseñanza no está en peligro, sino que presentan evidencia de que es necesaria.

Existe el peligro de que se le otorgue una autoridad a las máquinas sobre la resolución de los problemas al aceptar el alumno cualquier respuesta que los circuitos electrónicos proporcionen. Así como se pretende que el uso de estas herramientas descarguen de los cursos tiempo que pueda ser usado en el análisis, razonamiento e interpretación de los resultados proporcionados por las máquinas, también es necesario que dentro de esos ratos de análisis y razonamiento se incluyan aspectos relacionados con estimaciones que lleven a que la validación de los resultados proporcionados por la tecnología y del conocimiento que se genera esté bajo la responsabilidad del mismo alumno.

8. Otra consideración que debe tomarse en cuenta es lo referente al software de microcomputadora y la capacidad del equipo disponible. No es necesario conseguir equipo muy avanzado y nuevo, ni utilizar los mejores y más caros paquetes disponibles en el mercado. El hincapié se hace en que el equipo electrónico es un apoyo y no el centro de la enseñanza de la matemática. En el momento en que el profesor acude a su ayuda no es para que el alumno se convierta en un experto en el uso del software (de hecho hay programas en los que se pueden eliminar algunas opciones a conveniencia de la clase), sino para que haga un uso dirigido hacia el aprendizaje de conocimientos matemáticos.

Bajo esta perspectiva se puede pensar en software para microcomputadoras de bajo costo y cuyos requerimientos del sistema sean, comparativamente, muy bajos con respecto a los que ac-tualmente se piden en el mercado. Repetimos, con algunos cambios: el tamaño y colores de un programa computacional no es proporcional a sus posibles usos educativos. Paquetes relativamente pequeños (algunos incluso gratuitos que se pueden obtener en la internet) tienen mucho potencial para ser explotado, sin tener que acudir a alguna marca o empresa en particular: el software que se utilice debe cubrir las necesidades educativas de cierta actividad y proporcionar medios para observar los procesos cognitivos del alumno.

La tecnología computacional es un potente apoyo para la enseñanza y el aprendizaje de la matemática en la escuela; sin embargo, no sólo no es la solución a todos los problemas educativos sino que también abre las puertas a nuevos problemas. Es responsabilidad del profesor utilizar estos medios de manera racional y consciente, así como afrontar, con una nueva postura y una nueva visión, el reto de su entrada en el campo educativo investigando y experimentando.

Citas

Bibliografía