Diplomado. La ciencia en tu escuela

En la sociedad moderna, la ciencia y la tecnología ocupan un lugar fundamental en el sistema productivo y en la vida cotidiana, por lo que se ha vuelto fundamental que toda la población posea una cultura científica y tecnológica que le permita comprender un poco mejor el mundo moderno y ser más capaz de tomar decisiones.    El diplomado en ciencias y matemática del programa La ciencia en tu escuela tiene como propósito central colaborar a la concreción de la enseñanza de las ciencias a los niños de primaria y secundaria trabajando, en conjunto, científicos de nuestro país con maestros de esos niveles. El diplomado dio inicio en agosto de 2002; es coordinado por la Academia Mexicana de Ciencias, que agrupa a  investigadores mexicanos de distintas disciplinas científicas, y está apoyado por la Subsecretaría de Servicios Educativos para el D.F., de la Secretaría de Educación Pública.    Sustento fundamentales de estos esfuerzos son, por una parte, los científicos que se acercan a la enseñanza básica de la matemática y de las ciencias y, por otra, los maestros que comparten sus experiencias de docentes. La ciencia en tu escuela se complementa con la participación de estudiantes de servicio social, con la elaboración de materiales de estudio para cada una de las áreas, con la organización de conferencias magistrales especializadas para los maestros y con conferencias de divulgación para las comunidades de directores, maestros y padres de familia de las escuelas participantes.    Con el fin de que el trabajo realizado dentro de este diplomado pueda extenderse a gran cantidad de maestros que se encuentran en diversas regiones de nuestro país, Correo del Maestro, que ha participado activamente en el proyecto, apoyado por la Academia Mexicana de Ciencias, publicará a partir de este número parte de los textos generados en los módulos que integran el curso.

 

Presentación

Es irrefutable que todo país que aspire a ser independiente cultural, científica y tecnológicamente deberá preparar a las futuras generaciones para ello, a través de una educación sólida y de alto nivel.

     El desarrollo de la ciencia y la tecnología, así como los avances en las disciplinas educativas, hacen necesaria una constante formación, actualización y superación académica de los profesores responsables de la educación de nuestra juventud. El adecuado diseño e implementación de estas actividades repercutirá en forma definitiva en una mejor preparación de los alumnos, acorde con la época que estamos viviendo, de manera que sean capaces de adquirir una actitud responsable ante un mundo en constante cambio.

     La SEP y la Academia Mexicana de Ciencias, comprometidas en esta tarea, han diseñado este diplomado, cuyo objetivo primordial es la superación y actualización de los profesores participantes.

Estructura y evaluación

El diplomado está constituido por cuatro módulos: Matemáticas, Ciencias I, Ciencias 2 e Historia de las ideas científicas, que se cursarán en ese orden. Cada módulo consiste de ocho sesiones sabatinas, cuatro de 2 horas y otras cuatro de 3 horas. Cada una de ellas se detalla más adelante.

     La evaluación de cada uno de los módulos se hará de la siguiente manera: el 50% de la calificación se otorgará por medio de un trabajo que se entregará por escrito y que se expondrá en una sesión con apoyo de carteles durante la última sesión de cada módulo. La forma de calificar este trabajo está indicada al final de la presentación de este diplomado. El otro 50% de la calificación se otorgará con evaluaciones que se harán a lo largo de cada uno de los módulos y cuyos detalles se darán en la primera sesión de cada uno de ellos.

     Las sesiones podrán ser impartidas por diferentes especialistas. La evaluación del trabajo final podrá ser hecha por uno o varios especialistas, hayan impartido o no sesiones del módulo correspondiente. 
El diplomado terminará  con un minicongreso en el cual los participantes harán reflexiones sobre el trabajo que efectuaron y la experiencia que acumularon al cursarlo. De preferencia este minicongreso se llevará a cabo durante un día completo en alguna institución cercana al Distrito Federal.

MÓDULO DE MATEMÁTICAS •PRIMARIA

Carlos Bosh, Virginia Ferrari, Luz María Marván y Pilar Rodríguez

 

Justificación

A través de este proyecto se intenta hacer una propuesta que acerque a los científicos y a los profesores para elevar el nivel de enseñanza de la ciencia y la matemática. Los resultados de diversas evaluaciones, así como las encuestas realizadas entre maestros de secundaria indican que los alumnos llegan a estos grados arrastrando, en numerosos casos, graves carencias y errores en la conceptualización y aplicación de temas cuya adquisición corresponde, precisamente, a los contenidos programáticos establecidos para el nivel anterior.

     Mediante este módulo se propone  incidir de manera decisiva en la práctica cotidiana del docente al interior del aula de tal forma que ésta sea, efectivamente, un quehacer sustentado tanto en la comprensión profunda y clara de los conceptos matemáticos a impartir como en una concepción didáctica acorde a los principios del alumno como constructor de su conocimiento a partir de su actividad.

Contenido.

Hemos hecho un análisis de los temas contemplados en el programa de matemáticas para la escuela primaria en general y para 5° grado en particular, a partir del cual hemos determinado aquéllos que tendrían efectos sobre el conjunto en general.

     De acuerdo con estas consideraciones, proponemos trabajar sobre el eje de medición por ser uno de los que se desarrollan en el transcurso de toda la primaria y uno en los que se hace mayor hincapié –a la vez que se profundiza y amplía considerablemente– en quinto grado.

     ¿Por qué detenerse en la medición? ¿En qué consiste la propuesta sobre este eje?

     Las ventajas de trabajar sobre el eje de medición son varias:

1. La medición tiene una estrecha relación con nuestra vida cotidiana. Todos los días, a toda hora y sin que seamos conscientes de ello, realizamos innumerables actos de medición: la hora en que nos levantamos, la temperatura exterior, la pasta dental que ponemos sobre el cepillo, el agua que consumimos al bañarnos, las tazas de café que tomamos, el dinero que gastamos en camión, pasaje, gasolina, alimentos, luz, teléfono, renta; medimos las distancias recorridas, el tiempo de trabajo, las hojas escritas, el tiempo en internet, las calorías que ingerimos… Por todo ello, y más, es un tema que podemos relacionar fácilmente con las experiencias e intereses inmediatos de los niños.

2. El papel que las medidas han jugado en la historia de la humanidad no sólo aporta un mayor interés al tema sino que, además, resalta el carácter significativo que el aprendizaje de las mismas ha de tener. Establecer el vínculo con lo histórico debería ser una aspiración permanente para hacer significativo el aprendizaje de cada uno de los temas del programa de matemáticas. Esta posibilidad se ve especialmente favorecida en el tema de la medición, porque esta actividad ha acompañado al hombre desde la más remota antigüedad. De esta manera, se enlaza un tema que en el ámbito escolar proviene de la matemática, con una actividad cultural universal e históricamente practicada. El vínculo cotidiano e histórico proporciona no sólo una dimensión distinta, sino también un nuevo sentido a la enseñanza de la medición en la escuela primaria. Su aprendizaje, por estar anclado en la historia y en la cotidianidad, ha de ser perdurable.

3. El eje de medición abarca, en quinto grado, el conocimiento de las medidas del Sistema Métrico Decimal (longitud, área, volumen, capacidad, peso y temperatura), de las medidas inglesas y su equivalencia con el SMD, medición del tiempo, de ángulos, de la probabilidad de que un evento tenga lugar...

4. Al abarcar gran parte del contenido programático de quinto y, consecuentemente, gran parte del tiempo que debe dedicarse a la enseñanza de la matemática, tomar la medición como uno de los ejes conductores del mismo permite establecer numerosas y diversas relaciones con los otros ejes (numeración, geometría, tratamiento de la información, procesos de cambio, predicción y azar).

5. La enseñanza de la matemática, incluso en niveles básicos, suele preferir los aspectos lógico-verbales (uso de símbolos abstractos, el lenguaje formalizado, el cálculo, la lógica formal, los procedimientos analíticos.) Sin embargo, la práctica de la medición exige trabajar con material concreto –requisito aún indispensable en esta etapa escolar–, para la adquisición del conocimiento a partir de la propia actividad. La construcción de un laboratorio de medición al interior del aula, armado a partir del trabajo y la participación de los niños, debe ser condición ineludible para el aprendizaje significativo de este tema.

     Un laboratorio en el aula permite el desarrollo de los aspectos visuales-imaginativos (dominio de las imágenes visuales, los aspectos intuitivos, la capacidad para detectar formas).

     Proponemos una metodología que permita integrar ambos componentes, los lógico-verbales y los visuales-imaginativos, porque esto permite aproximarse a métodos más creativos, para producir una imagen más realista de la naturaleza de la matemática.

     Es bueno considerar que el juego dirigido es una fuente rica e interesante, por medio de la cual se pueden crear situaciones que permiten a los niños descubrir relaciones que favorecen la construcción de conocimientos.

6. El trabajo de medición con material concreto ha de favorecer el establecimiento de relaciones y la adquisición de diversos conceptos matemáticos a niños con necesidades educativas especiales, como pueden ser los disminuidos visuales o auditivos.

     Así pues, por estar enraizada en las prácticas culturales de cualquier sociedad y, en consecuencia, el niño inmerso en el lenguaje que da cuenta de ellas, la medición resulta ser uno de los ejes privilegiados dentro del programa de matemática de la escuela primaria, razón por la cual lo proponemos como el hilo conductor fundamental de esta propuesta. Este módulo se evaluará con un trabajo escrito.

     Se propone distribuir las 20 horas del diplomado en 2 sesiones semanales de 2 horas cada una. En el conjunto de las diez sesiones se dedicarán:

     •   2 horas al empleo de internet,

     •   10 horas a conocimiento,

     •   6 horas a materiales y actividades didácticas,

     •   2 horas a la exposición de los trabajos elaborados por los participantes.

     A excepción del tiempo que se dedicará de manera exclusiva a la adquisición de destreza en el uso de internet, los otros aspectos serán trabajados de manera integrada en las demás sesiones de tal forma que en cada una de ellas se aborden aspectos teóricos, didácticos y prácticos, además de que se propongan ejercicios que han de servir, a la vez, de retroalimentación y de evaluación.

PROGRAMA POR SESIONES Sesión 1: (3 horas) A. Introducción al módulo y al proyecto. Metas y alcances. Dinámica del módulo, y como éste se integra al Diplomado. Evaluación (Elaboración de material didáctico, exposición de trabajos) Trabajo con la computadora. Paquetes: procesadores de texto, correo electrónico. Comunicación: Internet, acceso a buscadores. B. Historia de las medidas Introducción: La medición como herramienta en la enseñanza de la matemática en la escuela primaria. Acercamiento a la historia de las medidas. Significación e importancia en la vida cotidiana de los hombres. El origen de las medidas. La diversidad de medidas, las medidas antropométricas. El problema de la arbitrariedad y convencionalidad de las medidas. Necesidad de universalización, el surgimiento de los sistemas de medidas. Concepto de medir Qué es medir Qué es lo que se mide. Formas de medir. Medidas y unidades de medida. Sesión 2: (3 horas) A. Magnitud Concepto de magnitud, longitud, área, volumen, tiempo, peso, temperatura, velocidad, fuerza, densidad. Distinción entre la magnitud y su medición Clasificación de las magnitudes. B. Longitud. La longitud. Dimensión y distancia. Longitud y línea recta .Introducción al Sistema Métrico Decimal. Breve referencia a las circunstancias históricas que conducen a la creación del Sistema Métrico Decimal, su novedad, su estructura, las dificultades para su implementación, su universalidad. El metro. Primeras determinaciones, definición actual. Experiencias diversas en el empleo del metro como unidad de medida. Estimaciones.

 

Múltiplos y submúltiplos del metro. Escritura de estas unidades, numeración decimal. Equivalencias. Sesión 3 (2 horas) Superficie y área Superficie y área.  Actividades dirigidas al encuentro de relaciones entre perímetro y área y a afirmar la conservación de la superficie. Sugerencias de actividades didácticas dirigidas a que los niños deduzcan la fórmula para el cálculo del área de algunos polígonos. Unidades de medida. Múltiplos y submúltiplos. Equivalencias. Pitágoras. Sesión 4: (3 horas) A. Volumen Noción de volumen Área y volumen. Experiencias con una y otra magnitud. Distinción entre volumen interno, volumen como espacio ocupado y volumen complementario o cantidad de agua desalojada. Relaciones entre el volumen de distintos cuerpos; ejemplo: pirámides y prismas, conos y cilindros, esferas y cilindros. Obtención de la fórmula para el cálculo del volumen de algunos cuerpos geométricos. Unidades de medida. Múltiplos. Submúltiplos. Equivalencias. B. Capacidad, Peso, Temperatura Concepto de capacidad Volumen y capacidad. Unidad de medida de capacidad. Múltiplos y submúltiplos. Equivalencias. Elaboración de distintos instrumentos de medición a partir de objetos de uso cotidiano. Cálculo del volumen de un cuerpo por desalojo de agua. Concepto de la magnitud peso. Peso y masa. Peso y fuerza de gravedad. El sentido del peso a partir del sentido muscular, ejercicios de comparación de pesos. La balanza, construcción de una balanza, las pesas.Unidades de medida de peso: el gramo o el kilogramo. Unidades de medida. Múltiplos y submúltiplos. Equivalencia. Temperatura. Concepto de temperatura. Concepto de energía térmica. La medición de la temperatura. Los grados centígrados. El termómetro. Construcción de un termómetro. Sesión 5: (2 horas) Ángulos, Tiempo. Ángulos. Noción de ángulo desde el punto de vista dinámico y estático. Comparación de ángulos, clasificación. El uso de giros y fracciones de giro para medir ángulos. El grado. El transportador. Suma de los ángulos de un triángulo y de un cuadrilátero. Tiempo. Construcción de la noción del tiempo en los niños. Apreciación de los intervalos. Medición del tiempo, formas que el hombre ha desarrollado para medir el tiempo. El reloj. Sesión 6: (3 horas) Probabilidad La probabilidad. Definición e importancia. Independencia de eventos. Probabilidad condicionada.Registro de eventos. Tablas de frecuencias. Frecuencias acumuladas. Gráficas y su interpretación. Sesión 7: (3 horas) Crecimientos Notación científica. ¿Qué tan grande? ¿Qué tan pequeño? ¿Cómo medimos las distancias dentro del Sistema Solar? ¿Cómo medimos a los microorganismos? Crecimiento y decaimiento exponencial. Sesión 8: (2 horas) Sesión de evaluación y presentación de los trabajos.

 

Sesión 1

Sesión introductoria, en la que se presentaron los objetivos generales del diplomado, los contenidos y la planeación del curso, así como las formas de evaluación.

     Posteriormente, se plantean situaciones problemáticas que deben ser resueltas empleando unidades de medida no convencionales y se realiza, a nivel grupal, una discusión sobre la historia de la medición basada en los textos Las medidas y los hombres, de Witold Kula (Siglo XXI editores) y Física, de Irwin Genzer y Philip Youngner (Publicaciones Cultural, S.A.).

     Los interesados pueden consultar un resumen de ellos en la página de internet del diplomado La ciencia en tu escuela:
http://www.amc.unam.mx/laciencia/lacienciaentuescuela2.htm.

Sesión 2: (3 horas)

Objetivos

El objetivo de la primera parte de esta sesión es hacer una propuesta de trabajo que permite introducir las nociones de cuerpo, superficie, línea y punto, gradual y paralelamente. Asimismo, se propone la aproximación a las nociones de volumen, superficie y longitud y la iniciación en su medición.

     La segunda parte de la sesión tiene por objetivo el trabajo específico en la medición de la longitud.

Primera parte

El eje de medición

Gran parte del programa de matemáticas de quinto grado de primaria está dedicado al eje de medición. El libro para el maestro especifica:

El objetivo de este eje es que los alumnos realicen mediciones y estimaciones, desarrollen destrezas en el uso de instrumentos de medición y resuelvan problemas que involucren diferentes magnitudes, utilizando las unidades de medida convencionales más comunes. La construcción y el uso de instrumentos de medición, como el metro, la regla graduada, el dinamómetro, la balanza, el termómetro y otros, favorecen la comprensión del significado de medir, es decir, la comparación del objeto con la unidad de medida elegida y las equivalencias entre las diferentes unidades.

         El programa propone el reforzamiento de la medición de perímetros y que los alumnos cuenten con un procedimiento útil para calcular el área de cualquier figura. El propósito es que adquieran la habilidad para calcular el área de diversas figuras a partir de su descomposición en triángulos, cuadrados o rectángulos, utilizando las fórmulas para calcular el área de tales figuras. De esta manera, contarán con un procedimiento general para obtener el área de figuras de lados rectos y no estarán obligados a aprender de memoria una fórmula para cada figura. En lo que se refiere al volumen, se propone que se realicen actividades para que el alumno se acerque a esta noción y a su medición. Asimismo, se sugiere que se ponga el énfasis en las equivalencias y se reflexione en la semejanza con el sistema de numeración decimal. Aparecen, pues, estrechamente entrelazados los ejes de medición, geometría y numeración, lo que nos permite avanzar de manera integrada en distintos temas del programa a la vez que nos multiplica la diversidad de actividades interrelacionadas.

La longitud es lo más sencillo

Es frecuente que al comenzar el estudio del área, los niños confundan esta noción con el perímetro. Asimismo, suele suceder que luego, al comenzar el estudio del volumen, presenten mucha dificultad en su conceptualización. De todo ello deriva que, en numerosas ocasiones, nuestros alumnos intenten aplicar fórmulas mecánicamente, haciendo caso omiso de la magnitud que se está considerando y la unidad de medida con la que se está trabajando. Al suceder esto, caemos en la cuenta de que lo que falla está en la base de estos conocimientos, esto es, en las propias nociones de estas magnitudes. Los niños llegan a 5° y 6° grados sin tener claras las nociones de longitud, superficie y volumen y, por lo mismo, su medición se confunde.

     Parte de las razones por la que esto sucede se encuentra en la lógica con la que distruibuimos los temas del programa de matemáticas en la escuela primaria: pensamos que el estudio de la longitud es más sencillo para los niños que el de la superficie y el volumen y, por lo mismo, lo enseñamos primero. Desde el punto de vista de la didáctica de la matemática esta elección –ir de lo simple a lo complejo, de lo fácil a lo difícil– parece ser lo más atinado. Sin embargo, ¿es éste realmente el camino más sencillo para el niño? Las confusiones a las que hicimos referencia parecen indicar que debemos detenernos en estas cuestiones y considerar aspectos que pudieran llevamos a matizar este enfoque.

     Por lo general, en la enseñanza de estas magnitudes partimos de que la longitud ha de ser la que más se facilita a los pequeños por diversos motivos:

.  Tomamos, en primer lugar, aquellas consideraciones que parten del niño. De las tres propiedades físicas fundamentales -longitud, masa y tiempo-, la longitud es la que el niño de 10-11 años capta con mayor facilidad por haber alcanzado a esta edad -y en la mayoría de los casos- su conservación.1

.  El aprendizaje del niño se facilita cuando para la enseñanza partimos del empleo de materiales concretos. La longitud es susceptible de ser representada con materiales manipulables. Por corresponderse con la primera dimensión, la longitud puede ser asociada a la línea y ésta, a su vez, la podemos representar mediante objetos tales como una cuerda, un estambre, un hilo, un alambre, etc., o mediante trazos de un lápiz sobre un papel, de un gis sobre el pizarrón y el piso, o mediante ligas en un geoplano.

    Es conveniente que abramos aquí un paréntesis. Es necesario que nosotros, como adultos, tengamos muy claro que tanto la línea como la superficie son abstracciones, que nunca vamos a poder sostener una de ellas, de manera aislada, en la mano. Las superficies, las líneas, los puntos, únicamente existen como construcciones teóricas y sólo podemos trabajar con sus representaciones. Sin embargo, 'podemos hacer de cuenta' que ciertos objetos son líneas o superficies, o podemos considerarlos como partes de objetos o como representaciones de ellos; así, podemos tocar las superficies de los cuerpos o 'ver' la línea donde se tocan las caras de una caja. Esta puntualización es sumamente importante, por lo que volveremos sobre ella al hacer referencia a cómo trabajar estas nociones con los niños.

.  Hay también razones matemáticas: La unidad de longitud, el metro, es la unidad básica, fundamental, del Sistema Métrico Decimal. Recordemos que ésta fue la primera unidad que los científicos abocados a la creación de este sistema determinaron y a partir de la cual definieron las demás unidades.

.  La longitud permite, mediante la utilización de material concreto, 'visualizar' la relación de 'diez en diez' de las distintas unidades -múltiplos y submúltiplos. ¿Qué queremos decir con visualizar? Que podemos construir un metro con papel, cortarlo en decímetros y ver, por superposición, a cuántos de éstos equivale el primero, y luego repetir la operación para ver la equivalencia con los centímetros. De esta manera será más sencillo comprender las famosas 'equivalencias' o 'conversiones'  que muchas veces abordamos enseñando un memorizado mecanismo de correr el punto decimal hacia la derecha o la izquierda según sea el caso.

El cuerpo es lo más cercano

Una vez establecidos algunos porqués a favor de iniciar a partir de la longitud, veamos ahora algunos argumentos que nos llevan a cuestionar este enfoque.

.  Recurrimos, en primer lugar, a la siguiente cita:

      La geometría se ocupa del espacio y de las propiedades y relaciones de los objetos en él. Separadas de sus propiedades físicas, las formas espaciales son consideradas desde un punto de vista puramente abstracto. Y es este nivel de abstracción el que distingue a la geometría de las otras ciencias que también investigan a los cuerpos y sus interrelaciones. En la astronomía, por ejemplo, las posiciones mutuas de los cuerpos celestes son estudiadas, pero éstos son en realidad objetos masivos en el Universo. En la geodesia es la forma de la Tierra lo que interesa; para la cristalografía, la forma de los cristales, en la morfología, el tamaño, estructura, estructura interna y perfil de los organismos vivos, y así sucesivamente. En otras ciencias, la forma y la posición de los objetos concretos es analizada, pero siempre en dependencia con otras propiedades evidentemente no geométricas.En la geometría no es posible hacer experimentos con puntos adimensionales, con rectas sin grosor o planos sin masa. La única posibilidad de demostración es mediante argumentos lógicos2.

      ¿Por qué hacemos referencia a estas ideas? Porque debemos tener en cuenta que al abordar el estudio de la longitud estamos haciendo referencia, de alguna manera, a la medición de líneas (rectas y curvas) y que éstas no existen en el mundo real, son abstracciones. Lo mismo sucede con las superficies. Lo único que existe son los cuerpos, los cuales constan de tres dimensiones.

.  Teniendo en cuenta esto y lo expresado respecto al aprendizaje del niño, ¿no existe entonces, al menos a primera vista, una contradicción entre lo que hacemos y lo que deberíamos hacer?

     Si nos guiáramos por los principios didácticos que indican partir de lo más cercano y concreto al niño para ir llevándolo, poco a poco, hacia las nociones más abstractas, deberíamos comenzar por los cuerpos. Ellos son lo real, lo que existe, lo que nos rodea. Tienen materia, masa, peso, densidad, volumen; podemos tocarlos, olerlos, moverlos, percibir su tamaño y su color... atributos, todos ellos, que no podemos adjudicar a los puntos, las líneas y las superficies por sí mismos. Cuando podemos hacerlo es en referencia al cuerpo del que son una parte, nunca de manera aislada

     Entonces, ¿no son los cuerpos lo más cercano al niño? ¿No son el suyo, el de su madre y los objetos que lo rodean, los primeros cuerpos que conoce? ¿Por qué no partir 'del cuerpo' y 'los cuerpos'?

.  Pero hay un aspecto más en favor de esta propuesta. En sexto grado, al comenzar a trabajar con fórmulas tales como 'área de la base por la altura' para el cálculo de volumen, muchos niños preguntan cómo es que la superficie se 'transforma' en volumen. La pregunta es, sin duda, elocuente. ¿Es posible construir un cuerpo a partir de la línea o la superficie? ¿O esto únicamente podemos hacerlo recurriendo a grandes abstracciones y tecnologías sofisticadas? ¿Qué será más sencillo para el niño?

     Estas consideraciones parecen indicar que este segundo camino puede ser muy fructífero.

Algunas actividades

Es importante tener en cuenta que, de manera conjunta, abordaremos cuerpo, superficie, línea y punto, así como posteriormente trabajaremos, paralelamente, unidades de volumen, área y longitud.

1)  En primer lugar introducimos, mediante actividades, la noción de cuerpo como lo que ocupa un lugar en el espacio sin, lógicamente, partir de la definición. Para ello podemos proponer experiencias en las que efectivamente trabajemos con objetos concretos o situaciones en las que recurrimos a la imaginación. Así, por ejemplo, podemos plantear a los niños qué ocurriría si de buenas a primeras ingresaran a nuestro grupo de 5°, veinte niños más. ¿Cómo nos sentiríamos? ¿Tendríamos el mismo espacio y el mismo tiempo para cada uno? ¿Cabríamos todos en el salón? ¿Qué sucedería? ¿Por qué al haber más personas en el grupo, el espacio libre de que disponíamos en el salón se reduce?

     Las situaciones en que esto sucede pueden ser muy variadas: en el camión de pasajeros, en una alberca, en el patio de recreo, en un salón de fiestas, etcétera. Lo importante es que nuestras preguntas conduzcan a los niños a darse cuenta de que cada uno de nosotros y de los objetos que nos rodean ocupa un lugar en el espacio. Esto lo podemos ver claramente cuando ponemos cosas dentro de una caja: llega un momento en que ésta se llena. Podemos llevar al salón una caja de cartón en la que quepa únicamente un niño 'hecho bolita'. Solicitarle a uno que se meta, que cierre la tapa y luego preguntarle: ¿Cabe algún compañero más? ¿Por qué? Esta experiencia resulta ser muy esclarecedora para los niños pues inmediatamente perciben lo que significa 'ocupar un lugar en el espacio'.

2)  Podemos proporcionar a los niños papel, tijeras y pegamento y que ellos construyan sólidos de papel. Lo importante en esta actividad es el despliegue de la imaginación y el desarrollo del ingenio que se expresa en la variedad de resultados.

3)  Una actividad que favorece el pasaje a la abstracción es plantear a los niños que no es necesario recurrir a objetos concretos para delimitar regiones espacio, podemos hacerlo con nuestra imaginación y obtener espacios invisibles. Así, podemos delimitar un espacio imaginario en el que estamos metidos y al que le imponemos ciertas restricciones. Por ejemplo: Estoy de pie sobre una base rectangular en la que puedo moverme cinco pasos hacia delante y tres hacia atrás. Si extiendo los brazos lateralmente, toco las paredes interiores con la uña del dedo mayor. Si levanto un brazo, éste golpea con el techo antes de que lo haya extendido completamente.

     Otro ejemplo: Desde el punto en el que estoy de pie, en mi espacio, en cualquier dirección que camine únicamente puedo dar diez pasos como máximo. Si extiendo un brazo hacia arriba, toco el techo con la palma de la mano. Éste es plano. Cada niño pasa al frente a describir mediante palabras, no con gestos, el espacio que ha delimitado para sí.

4) La misma caja usada anteriormente puede servir para trabajar la noción de superficie. Estando la caja cerrada podemos preguntar: ¿Es ilimitada la caja? ¿Cuál o cuáles son sus límites? Para indicarlos, podemos pasar la palma de la mano extendida sobre ellos e indicarlos. A estos límites les llamamos superficies. Vemos que en el caso de esta caja, las superficies son planas, las llamamos caras. ¿Cuántas caras tiene la caja? Podemos distinguir –siempre y cuando la caja esté cerrada–  superficies exteriores y superficies interiores. ¿Cuántas son las superficies exteriores? ¿Cuántas las interiores? Si abro la tapa de la caja y así la dejo, ¿qué sucede? ¿Puedo hacer la misma distinción que antes? ¿Cómo son ahora las superficies? ¿Cuántas son?     

     A continuación podemos examinar una de las caras y recorrer con el dedo (la palma de la mano resulta ahora muy grande) su frontera. A las fronteras de las caras le llamamos aristas. Recorremos con el dedo todas las aristas. ¿Cuántas aristas hay? ¿Dónde comienza y dónde termina una arista? Los niños no siempre llegan a decir el lugar donde se encuentran dos aristas. Si esto sucede, debemos conducirlos mediante preguntas. A los puntos donde se encuentran las aristas se llaman vértices. Recordemos que el límite de una línea es un punto.

     ¿Podemos ir de una arista a otra desplazándonos sólo por las aristas, sin atravesar ninguna cara? Esta pregunta resulta importante, porque establece una marcada diferencia con el cilindro que se analizará en otra actividad.

5) Ya que hemos trabajado con superficies, líneas y puntos de un cuerpo, podemos plantear una actividad en que los niños trabajen con distintos sólidos (tetraedros, pirámides, octaedros, etc.) fabricados por ellos mismos o de plástico, para descubrir las relaciones entre el número de caras, el número de aristas y el número de vértices.

     Se sugiere que se disponga de varios tetraedros y unirlos para obtener nuevos sólidos. En cada caso se han de contar el número de caras, de aristas y de vértices. Si luego se les sugiere a los niños que sumen el número de caras con el número de vértices y comparen el resultado con el número de aristas, podrán descubrir nuevas relaciones.

6)  Una actividad que permite la manipulación y la construcción de sólidos con material concreto es armar éstos con palillos y plastilina. Contamos caras, aristas y vértices.

7) Una actividad que es un antecedente de la medición de superficies y volúmenes es el trabajo con teselaciones. Las teselas pueden ser construidas en papel o en corcho (estas últimas quedan muy bonitas). Construimos triángulos equiláteros, cuadrados, rectángulos, pentágonos, hexágonos, heptágonos, etc., de ser posible hasta decágonos. Las distribuimos entre los niños para que, por figuras, traten de 'pavimentar' o 'enmosaicar' la mesa sin dejar huecos. Al principio los niños intentarán no dejar huecos con ninguna de las figuras y se sorprenderán de ver que con algunas de ellas no es posible lograrlo por más intentos que se hagan. Les decimos que las figuras con las que es posible cubrir un plano ‘hasta el infinito’ si pudiéramos, se llaman teselas.

     Este mismo material nos puede servir para contar caras, aristas y vértices y establecer relaciones.

8) La siguiente actividad no sólo permite insistir en el trabajo con superficies y aristas sino que, además, permite abordar un caso que resulta 'sorprendente'.

     Con una tira de papel construimos un cilindro. Vemos que el cilindro tiene una superficie curva y dos planas, una superior y una inferior. Asimismo, tiene dos aristas, la superior, donde la 'tapa' superior se une con la pared curva, y la inferior, donde se une esa pared con el 'piso'. Pasamos el dedo por una y otra aristas y observamos que para pasar de una a otra es necesario pasar por la superficie curva. También podemos colorear la pared curva interior de un color y la pared curva exterior de otro color y ver que éstas no se tocan, que están separadas por las aristas. Si solicitamos a los niños que corten el cilindro a la mitad, a lo largo del centro de la pared curva, obtendrán dos cilindros con características similares al ya descrito.

     Con otra tira de papel, construimos una banda de Moebius y les solicitamos que coloreen sus caras. ¿Cuántas caras tiene? ¿Cuántas aristas? ¿Qué sucede si la cortamos a lo largo del centro?

M. Riveros y T. Zanocco. Geometría: aprendizaje y juegos, Ed. Universidad Católica de Chile, Santiago de Chile, 1992.

9) A partir de una superficie plana como una hoja de papel podemos considerar una sola de sus caras, o las dos más grandes, y jugar a que aumentamos el número de superficies a partir del plegado de papel (origami). Un cuerpo de seis superficies podemos transformarlo en un cuerpo con muchas superficies más. Podemos colorearlas y contarlas.

10) Otra actividad es desarmar cajas. Solicitamos a los niños que lleven cajas de diversos productos tales como cereales, pasta dental, chocolate Abuelita, etc., y les pedimos que las describan según la cantidad y forma de sus caras, vértices y aristas. Luego, con mucho cuidado, desarmamos las cajas y observamos el desarrollo. En el caso del cilindro es interesante ver cómo la cara curva de un cilindro queda convertida en un rectángulo.

11) Una actividad que tiene relación con la anterior es pedirle all niño que, ante la representación de un cuerpo geométrico y diversos polígonos, coloree únicamente aquéllos que le permitan armar el cuerpo geométrico. Por ejemplo:

M. Riveros y T. Zanocco. Geometría: aprendizaje y juegos, Ed. Universidad Católica de Chile, Santiago de Chile, 1992.

12) Podemos trabajar con líneas determinando regiones abiertas y cerradas y contándolas. Vemos cuándo estamos dentro de una región, cuándo estamos fuera, cuándo estamos en la frontera. Elaboramos laberintos. Este ejercicio lo podemos hacer con material concreto como puede ser cuerdas sobre el piso, o con trazos sobre una hoja de papel.

13) Con cajas de medicamentos y cereales a las que recortamos el ‘piso’ y unimos con pegamento podemos construir maquetas de edificios. También les recortamos las puertas de entrada. Luego imaginamos que mojamos la parte inferior de la maqueta en pintura e inmediatamente imprimimos una hoja de papel. Nos queda impreso el plano del edificio. Hemos pasado a la representación en el plano.

Actividades de medición de volumen, área y longitud

Una vez que los niños pueden distinguir claramente volumen, superficie y longitud, pasamos a su medición. Para ello mediremos primero con unidades de medidas arbitrarias –lápices, gises, estambres, cuadernos, libros, cajas variadas, etc.– trabajando en una y otra magnitud, de manera de conducir a los niños a la necesidad de un patrón y, en el caso de la superficie y el volumen, también a la conveniencia de que este patrón sea una tesela.

     Una vez que hemos llegado a la conveniencia de que estos patrones sean el cuadrado y el cubo –para el caso de superficie y volumen– independientemente de lo que midan, podemos llegar a la conclusión de que el volumen se mide en unidades que llamaremos cúbicas, la superficie en unidades cuadradas y la longitud en unidades lineales.

     Ahora podemos pasar a poner ejercicios como los siguientes (ver figuras) en que el niño deba distinguir la unidad de medida que emplearía en cada caso. Por ejemplo: Si tengo que medir el largo de la falda, si quiero saber si cabrá el refrigerador en el hueco de la cocina que destiné para él, o la porción de terreno de la escuela que podemos dedicar a la parcela agrícola, ¿qué unidad empleo en cada caso?

¿Qué unidades usuarias para hacer las siguientes mediciones? ¿Lineales, cuadradasa o cúbicas?

l.El piso que quiero cubrir con mosaicos ___________________________	2.El largo de cada una de las faldas __________________________
3.La distancia entre el D.F. y Acaulco _________________________	4.El espacio interior de la caja con que jugamos ___________________________
5. El espacio en el que voy a poner el refrigerador ____________________________	6. El terreno cercado ___________________________
7. El terreno que ocupa la cancha de fútbol __________________________	8. El espacio interior de la caja del camión _____________________________
9. El espacio que tenemos al interior de la tienda de campaña__________________	10. Mi estatura________________
11. La pared que voy a empapelar ___________________________	12. La cantidad de agua que le cabe a la alberca ____________________________
13. Mi cuerda para saltar ________________________	13. Mi pie ___________________

     Una vez que los niños tienen clara esta diferenciación, podemos empezar a trabajar con las unidades de medida del Sistema Métrico Decimal, comenzando, ahora sí, por las unidades de longitud.

SEGUNDA PARTE

Medición de longitudes

Por lo general, al llegar a 5° grado los niños han tenido numerosas experiencias de medición de longitudes y no presentan dudas al respecto. Sin embargo, no es poco frecuente que tiendan a pensar que medir longitudes es medir segmentos de recta y suelen sorprenderse cuando se les invita a medir el perímetro de figuras como las que se observan, que pueden representar el contorno de un lago, un área protegida o una cancha de beisbol.

   

  Al trabajar sobre el cuaderno con este tipo de situación, los niños suelen recurrir a distintos procedimientos; por ejemplo, algunos dividen la línea curva en pequeños segmentos rectos y miden cada uno para luego sumar todos; otros colocan un hilo encima del contorno de la figura y luego lo miden estirado.

     Pero, ¿podemos recurrir a estos procedimientos de medición cuando se trata de la realidad? ¿No resultaría poco práctico y muy fatigoso medir el contorno de un lago de tal manera? ¿De qué otra forma podríamos hacerlo? En provincia es frecuente ver trabajadores midiendo carreteras y campos con una rueda. ¿Cómo podemos construir una en clase?

 

 

Citas

1 Una condición necesaria previa para la medida es que el niño entienda que un objeto sigue teniendo la misma longitud independientemente del cambio de posición. [...] Sin embargo, el hecho de comprender que la longitud se conserva, aunque el objeto sufra un cambio de posición, no indica necesariamente que se haya entendido la idea de medida. Aunque un niño sea capaz de comprender la conservación de la longitud cuando dos series de objetos se le presenten ordenados en línea recta, puede no ser capaz de comprender que la longitud se conserva si son reordenados siguiendo una línea curva o quebrada. Lovell, K; Desarrollo de los conceptos básicos matemáticos y científicos en los niños. Ed. Morata, Madrid, 1986, p.132. 2 Berlanga, R.; Bosh, C.; Rivaud, J. J.; Las matemáticas, perejil de todas las salsas. Fondo de Cultura Económica, Colección La ciencia para todos, 163, México, 1999. p.48.