Sesión 3. El concepto de área

¿Qué se pretende?

Es común que al preguntar a los alumnos qué es el área de una figura, respondan: “Base por altura”. Sorprende tal respuesta, pero esto da cuenta de lo poco trabajado que está el concepto de área. Cuando mucho, nos encontramos con definiciones memorísticas; es poco común que puedan hablar del área como la parte interior de una figura. La palabra área los lleva a asociar el concepto con una serie de fórmulas que han aprendido de memoria. El concepto de área, como tal, es poco trabajado desde el medir directamente, desde comparar superficies. Lo mismo pasa con el concepto de perímetro y, peor, es común que no logren diferenciar uno de otro. Por lo general, ambos se trabajan de manera abstracta, esto es, sin que se mida, se compare, se viva la experiencia de medir cada una de las magnitudes. Se enseñan como fórmulas. No se trabaja en el proceso que permite llegar a la abstracción y simbolización de descubrimientos tales como las fórmulas.

El presente trabajo tiene la intención de mostrar una manera de trabajar los conceptos de área y de perímetro por medio de actividades con el geoplano.

El geoplano es un instrumento de trabajo de una vasta riqueza, porque permite que el estudiante explore distintas posibilidades con mucho mayor facilidad que cuando trabaja con lápiz y papel, dado que para ‘trazar’ figuras y modificarlas basta poner y quitar ligas. Desafortunadamente, el trabajo que se conoce del geoplano es incipiente y poco ilustrativo de su potencialidad. Con estas actividades tan sólo nos proponemos mostrar algunos de sus alcances.

Se sugiere trabajar las actividades dejando el tiempo necesario para que los participantes descubran sus propias estrategias, para que puedan vivir la experiencia de descubrir por sí mismos algunas cosas.

El concepto de área

PLAN DE TRABAJO

ÁREAS TEMÁTICAS

Geometría y medición

Contenidos:

• Unidad de medida lineal y cuadrada.

• Perímetro.

• Área.

Objetivos:

Definir las unidades de medida de longitud y de área.

Descubrir y reconocer que figuras con igual área pueden tener diferente perímetro.

Encontrar el área de diferentes figuras.

Material:

Geoplano, ligas de colores y hoja punteada.

Descripción general de la actividad:

Construcción de figuras en el geoplano. Cálculo del área de las figuras.

Desarrollo de las actividades:

1. Trabajo libre.

Se deja a los niños jugar con el geoplano de forma libre durante algunos minutos para que se familiaricen con él. Se les permite construir a figura que deseen en el geoplano y se les pide que luego registren lo hecho en las hojas punteadas. El propósito de esta actividad es acercar a los niños al uso del geoplano y a la forma de registrar el trabajo en hojas donde estén representados los clavos por puntos.

2. Construir en el geoplano un cuadrado que tenga sus lados verticales y horizontales (paralelos y perpendiculares a los lados del geoplano) y con cuatro clavos por lado.

Para corroborar que la figura geométrica que se construyó en el geoplano es un cuadrado, se tiene que mostrar un argumento que justifique que los cuatro lados son iguales (que miden lo mismo). Por otra parte, se tienen que proporcionar argumentos que demuestren que los cuatro ángulos que se forman en el cuadrado que se construyó son ángulos rectos (de 90°).

La unidad de medida de longitud en el geoplano es la distancia más corta que se puede construir entre clavo y clavo.

Cada lado del cuadrado mide tres unidades lineales.

Por construcción, los ángulos que se forman de esta manera (con segmentos verticales y horizontales), son ángulos de 90°.

Calcular el área del cuadrado que se construyó.

Se elige junto con el grupo el cuadrado más pequeño que se puede construir en el geoplano como la unidad de medida del área.

Ejercicios:

Construir un cuadrado de área 16 unidades cuadradas.

Construir un rectángulo de área 24 unidades cuadradas.

Construir un rectángulo de perímetro 18 unidades lineales.

Al poner estos ejercicios se pide a un voluntario que defina el significado de ‘perímetro’ de una figura.

Se verifica que estén claros los conceptos de unidad lineal y unidad cuadrada.

Todo el trabajo se registra en las hojas de puntos.

3.

Construir la siguiente figura en el geoplano.

Si el perímetro de cualquier figura es la suma de las longitudes de sus lados, calcular el perímetro de la figura.

Encontrar el área de la figura.

A partir de mostrar a todo el grupo la figura y pedir que la construyan en el geoplano, indicar que calculen área y perímetro. Pedir que registren en las hojas punteadas la figura, su área y su perímetro.

Encontrar todas las maneras posibles de cambiar la forma de la figura sin cambiar el área. Todos los lados de cada figura deben ser horizontales y verticales.

Calcular el perímetro de cada nueva figura.

Una vez que la mayoría del grupo, habiendo trabajado individualmente, en parejas o en tercias (se deja la opción a ellos) haya terminado, pedir a un voluntario que pase al pizarrón, muestre una de las figuras que encontró de área 6 y diga su perímetro. Otros voluntarios que tengan una figura de forma diferente a esta primera, pero de igual perímetro, pasarán a registrarla. Pedir a otro alumno que muestre una figura de área 6, pero con perímetro distinto al que se acaba de mostrar. Registrar en el pizarrón. Solicitar que pasen otros voluntarios con figuras que se vean diferentes a esta última pero con igual perímetro. Ir registrando los diferentes resultados en el pizarrón. Continuar hasta haber logrado clasificar las figuras en tres grupos: las de perímetro 10, las de perímetro 12 y las de perímetro 14.

En esta actividad, a partir de investigar, los alumnos descubren que figuras de igual

área pueden tener diferentes perímetros. Buscar figuras de igual área pero diferentes perímetros favorece en mucho el entendimiento de la diferencia entre perímetro y área, conceptos que a menudo confunden a los alumnos.

¿Qué relación encuentras entre el área y el perímetro? Dar entre todos respuesta a esta pregunta.

4. Construir una figura cualquiera y calcular su área. Registrar en la hoja de puntos.

Por lo general construyen figuras como la siguiente:

Figuras compuestas de cuadrados, unidad y mitades de ésta. Cuando construyen una figura más compleja, al momento de querer calcular el área la ajustan a que quede compuesta como antes dijimos.

Pedir que un voluntario presente su figura y explique lo que hizo. Se reafirma el modo de calcular el área de este tipo de figuras.

5. Construir en el geoplano la siguiente figura. Identificar qué figura es y calcular su área.

  Hay que pedir en este caso que justifiquen su respuesta. Es común que se aproximen al área a partir de encontrar los cuadrados unidad dentro del triángulo y suponiendo que las partes que resultan de hacer este tipo de partición de la figura, además de los cuadrados unidad, son partes equivalentes unas con otras.

  La propuesta sería llevarlos a que el área del triángulo es la mitad del rectángulo que resulta de construir a partir de la línea diagonal otro triángulo congruente con el dado. Hay que dejar que descubran esta estrategia. El apoyo radica en ir dando pistas para que lleguen a la estrategia, en vez de ‘enseñársela’.

  Construir por lo menos 3 triángulos rectángulos diferentes al dado y calcular su área.

6. Construir en el geoplano por lo menos dos de las siguientes figuras y calcular su área.

Describir gráficamente cómo se calculó el área de, al menos, una de las figuras.

Hay que dejar que descubran las diferentes estrategias para calcular el área de estas figuras. Uno tiene que sugerir, mas no decir cómo. En la medida que la mayo

ría haya descubierto su propia estrategia para el cálculo del área de alguna de las figuras, se lleva a cabo una actividad conjunta en la que se muestra alguna de las estrategias seguidas para calcular el área de la figura.

Ejemplo:

Las figuras propuestas son compuestas por triángulos rectángulos. Entonces, una estrategia será identificar en cada caso los triángulos rectángulos que componen la figura.

En el ejemplo propuesto vemos que la figura está compuesta por cuatro triángulos rectángulos: a) de área 1 unidad cuadrada, ya que es la mitad de un rectángulo de área 2 unidades cuadradas; b) de área 1 1/2 unidades cuadradas, ya que es la mitad de un rectángulo de área 3 unidades cuadradas; c) de área 5 unidades cuadradas, que es la mitad de un rectángulo de área 10 unidades cuadradas; d) de área 1/2 unidad cuadrada. Luego, la figura tiene área:

1 + 1 1/2 + 5 + 1/2 = 8 unidades cuadradas.

7. Construir en el geoplano dos de las siguientes figuras y calcular su área. Describir gráficamente cómo se calculó el área de, al menos, una de las figuras.

De igual manera que en la actividad anterior, hay que dejar que descubran las diferentes estrategias para calcular el área de estas figuras. Para cerrar la actividad se pide que un voluntario o voluntaria pase a explicar su procedimiento para calcular el área de alguna de las figuras.

Ejemplo:

Obteniendo un total de 3 + 1 1/2 + 3(1) + 1/2 + 2 + 2 + 3 = 15 unidades cuadradas.

  Ahora, al área del rectángulo que usamos para acotar nuestra figura le restamos este resultado (la suma de las áreas de las partes del rectángulo que identificamos), para obtener así el área de la figura.

  El rectángulo tiene área 4 x 6 = 24, luego 24 - 15 = 9, por lo que 19 unidades cuadradas es el área de la figura.