Introducción
La secundaria
en México introduce a los alumnos al estudio de los cuerpos
geométricos utilizando diversos medios que, cada uno,
ofrece ventajas y desventajas. En el Libro para el maestro
de secundaria para Matemática se hace hincapié en la necesidad
de que este estudio de figuras tridimensionales se lleve
a cabo recurriendo a “la manipulación de los modelos
físicos de los sólidos geométricos y otros objetos del
mundo real” (pág. 291), por lo que durante algunas
sesiones, en el segundo grado de la Secundaria ‘Mariano
Matamoros’ (Querétaro), se llevaron a cabo una serie
de actividades dirigidas al estudio de algunos sólidos
geométricos y al desarrollo de habilidades de razonamiento
a través de la construcción y manipulación de estos cuerpos
utilizando la técnica de construcción conocida como origami
modular.
El llamado origami modular
se basa en la construcción de módulos o unidades (casi siempre iguales) que
se pueden ensamblar en cuerpos geométricos o, en su caso, en figuras decorativas.
Esta técnica tiene ventajas que le permiten ser considerada en una clase de
matemática: los resultados son coloridos y existe la posibilidad de producir
una sorpresa en los alumnos al saber que no tienen que usar herramientas típicas
como la regla (para trazar y medir), el compás, las tijeras y el pegamento.
Además, el costo de los materiales es mucho menor que el de otras tecnologías
y está al alcance de la mayoría de los alumnos.
Por otro lado, el origami
es considerado un arte de economía, pues los productos resultan de trozos
finitos y bien definidos de papel, por lo que se tiene que echar mano no sólo
de habilidades motrices sino también de las habilidades de razonamiento y
de la imaginación espacial para hallarle el sentido a una construcción cuando
se está ensamblando o, incluso, cuando se están haciendo los módulos.
Esta técnica también
ofrece la posibilidad de manipular al final un modelo tridimensional sin haber
tenido que hacer muchos trazos, aunque se tiene la desventaja de que a veces
es tedioso hacer muchos módulos o el ensamble resulta un poco laborioso; sin
embargo, para una persona perseverante, curiosa y paciente esta desventaja
se puede convertir en un reto, mientras que para una persona que se impaciente
le puede ayudar a desarrollar algunas actitudes como la paciencia.
Así que con el origami
modular se pensó en actividades que llevaran a los alumnos a conocer un tipo
particular de poliedros: los regulares (ver figura 1). Para ello se hizo necesaria
la recuperación de conocimientos relacionados con figuras geométricas como
el cuadrado, el rectángulo y el triángulo equilátero, así como de algunas
de sus propiedades que fueron aprovechadas para realizar su construcción utilizando
doblado de papel y, posteriormente, armar los siguientes poliedros:
Tetraedro {3,3} (4 caras)
Hexaedro o cubo {4,3}
(6 caras)
Octaedro {3,4} (8 caras)
Dodecaedro {5,3} (12
caras)
Icosaedro {3,5} (20 caras)
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Tetraedro |
Hexaedro o cubo |
Octaedro |
Dodecaedro |
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Icosaedro |
Figura
1. Poliedros regulares o sólidos platónicos |
Actividades
Las actividades de construcción, de observación y análisis,
y de discusión en el grupo que permiten la socialización
de los resultados, de las observaciones y de los procedimientos
obtenidos, pueden hacer de este recurso algo muy provechoso
para la enseñanza y el aprendizaje de la matemática en
la escuela secundaria.
Se puede decir que las
actividades que se realizaron tuvieron los siguientes propósitos, independientemente
de aquellos que se presentan en el programa correspondiente:
. Estudiar y analizar las
propiedades de algunas figuras geométricas planas, tal como el rectángulo,
el cuadrado y el triángulo equilátero. En estas propiedades se incluyeron
la identificación de sus partes y de propiedades que permitieran su construcción.
. Construir los poliedros
regulares y estudiar sus propiedades básicas, particularmente sobre la forma
y número de sus caras, así como la cantidad de vértices y de aristas.
. Iniciar un estudio introductorio
sobre las simetrías de los sólidos platónicos y sobre las relaciones que existen
entre la forma de las caras de cada uno de ellos y el número de aristas que
concurren en cada vértice.
Además, el fomento de
actitudes relacionadas con la investigación, la colaboración en equipo y el
respeto a los demás en cuanto a su trabajo y sus opiniones, fueron situaciones
que se propiciaron y se mantuvieron durante el desarrollo de las actividades
para así permitir alcanzar el desarrollo de los conocimientos y las habilidades
deseadas en un trabajo en conjunto. De esta manera, el trabajo en equipo se
convirtió en un medio para promover el intercambio de ideas y la cooperación,
así como para ahorrar tiempo en las construcciones que requerían varios módulos.
Por otro lado, vale la
pena recordar que en el caso del origami modular existen diferentes tipos
de módulos que varían entre sí no sólo por el procedimiento de construcción
ni por la forma del trozo de papel inicial, sino también por el tipo de poliedro
que se quiere obtener y por la parte de éste que cada módulo va a constituir
principalmente: un vértice, una cara o una arista. Así pues, con estas consideraciones
y algunas otras más básicas se realizaron las actividades que se describen
a continuación.
I. Preliminares.
Inicialmente se realizó una
recuperación de algunas características de las figuras geométricas que se
utilizarían en la construcción de los poliedros. Esta recuperación se hizo
a través de una investigación bibliográfica, el uso de los apuntes y la discusión
en clase de figuras como el rectángulo, el cuadrado y el triángulo equilátero.
Para el caso del rectángulo
se consideraron las siguientes:
. sus lados opuestos son
de la misma longitud, y
. sus ángulos (internos)
son rectos.
Fue interesante observar
que, en su mayoría, los alumnos establecieron como característica necesaria
para un rectángulo que tuviese dos lados largos y dos cortos, lo cual eliminaría
automáticamente al cuadrado como un caso particular de los rectángulos y resulta
ser un tema de investigación muy interesante, pero que no fue ahondado por
no formar parte de los objetivos de las actividades. Además, esta característica
se vio reforzada por el hecho de que el procedimiento para obtener un pedazo
de papel de forma rectangular es aparentemente muy diferente al procedimiento
que se sigue para obtener un cuadrado.
Para el caso del cuadrado
se recordaron las siguientes características:
. sus cuatro lados son de
la misma longitud, y
. sus cuatro ángulos (internos)
son rectos.
En el caso del triángulo
equilátero éstas son:
. sus tres lados son de
la misma longitud, y
. sus tres ángulos (internos)
son iguales y miden 60°.
Una vez que estas características
fueron recordadas se realizaron, con dobleces y sin usar
ni regla ni compás ni lápiz, la construcción de cuadrados
y triángulos equiláteros a partir de hojas rectangulares
de papel. Para el caso de los cuadrados se les pidió a
los alumnos que establecieran un procedimiento para obtener,
a partir de una hoja tamaño carta, cuatro cuadrados del
mismo tamaño, lo cual ocurrió al considerar el procedimiento
‘tradicional’ para la obtención de cuadrados,
tal como se muestra en el siguiente diagrama:1
Para
el caso del triángulo equilátero existió una mayor complejidad,
pero proporcionándoles algunas pistas (propiedades de
los triángulos) a los alumnos se obtuvo un procedimiento
que se muestra a continuación:
Simultáneamente al proceso
de construcción se fueron recordando o estableciendo los nombres de las partes
de las figuras geométricas a las que posteriormente se haría referencia al
momento de construir los poliedros: vértices, aristas, caras, etcétera; así
como de otros conceptos como: ejes de simetría, líneas perpendiculares y paralelas,
congruencia entre figuras, etcétera.
II. El cubo y el octaedro.
Los primeros poliedros que
se construyeron fueron el hexaedro (cubo)¸ cuyo símbolo
de Schläfi2 es {4,3}, y el octaedro {3,4}.
Para ello se hizo una investigación inicial sobre el número
de caras de los poliedros, el número de aristas y de vértices,
poniéndose especial interés en el número de aristas que
concurren en cada vértice y en el ángulo que forman dos
aristas adyacentes sobre un cara (hecho relacionado directamente
con la forma de tal cara). Con esta información se calculó
la cantidad de módulos y de material necesario considerando
los tipos módulos que se iban a utilizar. En ambos casos
se parte de cuadrados de papel y se siguen los siguientes
pasos para construir un cubo:
Se hizo
notar, tras la construcción de algunos módulos, que cada
uno de ellos correspondía a una cara del poliedro, así
que fueron necesarios seis que se ensamblaron como sigue:
 1 |
 2 |
|
| |
|
3. Nota: Aquí se muestran sólo tres
módulos ensamblados, por lo que habría que continuar
de manera semejante con los tres restantes. |
Para
construir los octaedros se recurrió a un tipo de módulo
que genera sólo un ‘esqueleto’ del poliedro,
y éste se inicia a partir de cuadrados. El diagrama correspondiente
es:
Al igual
que para el caso anterior, se notó que para la construcción
completa eran necesarios seis módulos que se ensamblan
como sigue:
 1 |
 2 |
Una vez
que se terminaron de construir, los módulos fueron ensamblados
y se obtuvieron los modelos de un cubo y de un octaedro,
como por ejemplo:
En este momento los alumnos
recopilaron información sobre estos dos poliedros en cuanto a la cantidad
de caras, aristas y vértices en cada caso, así como lo relativo a los ejes
de simetría aprovechando la posibilidad de la manipulación directa.
III. El dodecaedro.
Para construir el dodecaedro
{5,3} era necesario un módulo que permitiese la aparición
de caras pentagonales y que en cada vértice concurriesen
tres aristas, por lo que se recurrió al llamado módulo
triangular de una pieza, que es atribuido a Benett Arnstein
(Gurkewitz y Arnstein, 1995:37) y se inicia con un papel
en forma de triángulo equilátero, por lo cual en este
momento se recupera uno de los elementos que se trabajaron
en la primera parte. El procedimiento de construcción
se ilustra en el siguiente diagrama:
Para
la figura se requieren 20 módulos, que se ensamblan aprovechando
las puntas de cada uno y las ‘bolsas’ que
se crean bajo cada una de ellas: se insertan aquéllas
en éstas como se muestra a continuación.
Como
resultado se forma primero un anillo pentagonal y luego
se siguen uniendo módulos. Todos los lados deben quedar
formados por anillos pentagonales. La figura debe quedar
como aparece en la siguiente fotografía:
Nuevamente, después de
la construcción y de algunas observaciones, se realizó la recopilación de
la información referente a la cantidad de caras, aristas y vértices, así como
acerca de los ejes de simetría.
Otra cosa que se puede
explorar es plantear a los alumnos situaciones relacionadas con la forma de
los módulos. Por ejemplo, preguntar si un módulo en particular, cuyo procedimiento
de construcción les es proporcionado a fin de obtener un poliedro en particular,
les sirve para construir algún otro poliedro; si la respuesta es afirmativa,
entonces averiguar cuál sería dicho poliedro, pero si es negativa inquirir
si es posible modificar el módulo a fin de adaptarlo para un sólido diferente.
Por ejemplo: si se considera que este módulo triangular sirve para poliedros
en cuyos vértices concurren tres aristas, se podría preguntar si se puede
utilizar para construir un cubo (en el que también en cada una de sus vértices
concurren tres aristas), y si no se puede, entonces preguntar sobre las modificaciones
posibles que se le podrían hacer al módulo para que sirviera. También es posible
comenzar a ‘empujar’ a los alumnos a que investiguen qué otros poliedros se
pueden construir con un módulo en particular, pues, por ejemplo, este módulo
triangular sirve para construir poliedros también con caras hexagonales y
crear algo así como un futbolano o icosaedro truncado t{3,5}.
IV. El tetraedro y el icosaedro
Para el tetraedro {3,3} primero
se miraron en un dibujo en perspectiva el número de caras y de aristas que
tenía, pues el módulo que se utilizó se basa precisamente en este último dato.
Hay que recordar que en un dibujo en perspectiva algunos elementos del poliedro
quedan ocultos y es necesario que el alumno imagine el cuerpo desde diversos
puntos de vista y esté de acuerdo con sus compañeros sobre el trabajo a realizar.
El módulo al que se recurrió
fue desarrollado por Lewis Simon y Benett Arnstein, el
cual es llamado módulo triangular de arista (Gurkewitz
y Arnstein, 1995:53) y se inicia con un rectángulo cuya
longitud es el doble que su anchura (la mitad de un cuadrado
cortado longitudinalmente). Por otro lado, la cantidad
de módulos necesario es la misma que la cantidad de aristas
que tiene el poliedro. El siguiente diagrama ilustra su
construcción:
Para
el ensamble se insertan los ‘picos’ en las
‘bolsas’ de tal manera que coincidan los dobleces.
Se requieren 6 módulos, ensamblando 3 en cada uno de los
vértices. El resultado es el siguiente:
Nuevamente, la recopilación
de información referente a la cantidad de caras del poliedro, de sus aristas
y vértices, sobre la cantidad de aristas que concurren en cada uno de los
vértices (y si para todos los vértices es la misma cantidad) y sobre sus ejes
de simetría, se realizó aprovechando la posibilidad de manipular los modelos.
Igual que se comentó al final
de la subsección anterior, se plantearon interrogantes
acerca de la posibilidad de utilizar este módulo triangular
de arista para construir algún otro poliedro. Tras revisar
cuáles se habían construido y observar que sólo faltaba
el icosaedro {3,5} se aventuró la respuesta de que éste
podría ser realizado con dicho módulo. De hecho, una observación
que apareció fue que con este módulo, en cada cara, se
forma un ángulo de 60° en todos sus vértice, siendo una
pista para determinar si realmente se podría utilizar
para el icosaedro sin tener que construirlo primero. Tras
el cálculo de que serían necesarios 30 módulos, que se
ensamblan de igual manera que para el tetraedro (los picos
en las bolsas) hasta llegar a 5 piezas en cada uno de
los vértices, se realizó el modelo que se ilustra a continuación:
Finalmente, las observaciones
sobre la cantidad de caras, aristas y vértices se realizaron nuevamente, así
como la determinación de cuántas aristas concurren en un vértices y la referente
a los ejes de simetría.
Comentarios
finales
Durante
estas actividades se pudo observar que se despertó el
interés en los alumnos y su participación se vio reflejada
en la construcción de más modelos que los inicialmente
fijados, en la participación en una muestra cultural en
la escuela e, incluso, en la construcción de modelos de
diferentes tamaños. El detalle relacionado con la manipulación
manual a través de dobleces, la aparente sencillez de
las construcciones y la sorpresa consiguiente del tipo
de resultados sin el uso de cuales instrumentos llevó
a despertar el interés que se dirigió hacia el estudio
de los sólidos geométricos.
El interés y la capacidad
de razonamiento y de imaginación espacial se combinaron en los alumnos durante
las construcciones, al grado de que una proporción significativa de ellos
comenzaba a ensamblar los módulos tratando de lograr la construcción, que
en más de una ocasión fue lograda exitosamente sin ayuda externa. El trabajo
en equipo, que incluyó la comunicación y la cooperación entre los alumnos,
se vio también fortalecido porque una vez que alguien lograba ensamblar los
módulos o realizar las construcciones, generalmente existía la disposición
para ayudar a los compañeros de clase (aunque no estuviesen necesariamente
en el mismo equipo) a construir los modelos.
Con las construcciones
terminadas y la manipulación directa que se hizo, los alumnos lograron adquirir
una seguridad suficiente para el manejo de los conceptos que se abordaron
sobre simetrías y las partes de los poliedros. Hay que recordar que la manipulación
directa de los modelos permite visualizar las simetrías de una manera mucho
más accesible que por medio de dibujos o proyecciones en una pantalla.
Por otro lado, se hizo
una primera generalización de la relación existente entre la cantidad de caras,
de aristas y de vértices de estos poliedros. De esta manera se realizó un
primer acercamiento a la fórmula de Euler, la cual proporciona una herramienta
que se puede usar para el cálculo de módulos necesarios para una cierta construcción,
teniendo datos relacionados con las caras, los vértices y las aristas. Hay
que aclarar que en este caso la orientación realizada por la profesora fue
más explícita, en parte por la complejidad de manejar varias variables simultáneamente
y determinar una relación. Además, se logró que los alumnos comenzaran a establecer
la relación de dualidad entre algunos de los poliedros (entre el hexaedro
y el octaedro, entre el dodecaedro y el icosaedro, y entre el tetraedro y
sí mismo) aprovechando la información recabada sobre la cantidad de aristas
que concurren en cada uno de los vértices de los poliedros e imaginando los
poliedros que se forman al considerar como vértices los puntos centrales de
cada cara de un poliedro dado.
Con base en todo lo anterior
y en otras experiencias se puede afirmar que el origami, cuando se le considera
como un auxiliar de la enseñanza de la matemática, ofrece técnicas que no
sólo permiten la construcción de sólidos geométricos, particularmente poliedros,
sino también de figuras en el plano utilizando materiales que son de fácil
adquisición y económicos. Estas técnicas pueden ser explotadas al interior
del aula mediante actividades centradas en construcciones de la geometría
euclidiana, pero que al no utilizar la regla y el compás se permiten operaciones
que pueden considerarse más cercanas al espíritu geométrico griego relativo
al razonamiento deductivo y al uso de la regla no graduada y del compás sin
memoria. Las técnicas de origami modular ofrecen la posibilidad de construir
modelos que no se quedan en los poliedros regulares o semiregulares, sino
también incluso en poliedros sin ejes de simetría, sólo es cuestión de buscar
las técnicas y los módulos necesarios.
Es preciso señalar que
la utilización del origami en las clases de matemática no busca como objetivo
principal el que los alumnos aprendan a doblar papel y a hacer figuras, sino
que se busca propiciar el aprendizaje de conceptos matemáticos y el desarrollo
de habilidades relacionadas. Por esto se hace necesario que las actividades
diseñadas vayan dirigidas hacia tal aprendizaje a través de la construcción,
la observación, el análisis y la investigación de casos y situaciones que
podrían resultar interesantes o sorprendentes para el alumno. El origami ofrece
la posibilidad de explorar un territorio geométrico con herramientas accesibles
al alumno tanto desde un punto de vista material como cognitivo.
En resumen, podemos argumentar
que lo llamativo de los productos resultantes, que la
potencialidad que tienen las técnicas en cuanto a la capacidad
de ofrecer un medio de manipulación directa, que el hecho
de que todas las técnicas pueden ser desarrolladas o entendidas
como resultado de operaciones geométricas (que permite
pensar en las razones matemáticas que sustentan las construcciones),
que las posibilidades de investigación y observación directa
sobre los modelos construidos, y que la situación particular
de que (como consecuencia de lo anterior) las figuras
o cuerpos resultantes pueden considerarse como representaciones
de figuras o sólidos geométricos, hacen del origami un
medio propicio para el diseño de actividades que permitan
el aprendizaje del alumno sobre conceptos geométricos
y matemáticos en la escuela secundaria.
Citas
1
En todos los diagramas de este trabajo que involucren
procedimientos de origami se utiliza la simbología
que aparece en la mayoría de los libros de origami
o papiroflexia.
2
El símbolo de Schläfi de un poliedro es la forma {p,q}
para denotarlo, donde p indica el número de lados
que tiene cada cara (son p-ágonos) y q indica cuantas
caras concurren en cada vértice.
|
Bibliografía
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(coord.), Libro para el maestro. Educación secundaria.
Matemáticas. México, SEP, 2000.
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de contenidos. Matemáticas. Educación Secundaria,
México, SEP, 2000.
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GURKEWITZ, Rona; arnstein, Bennett, 3-D geometric
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2001. Última visita: 27/09/01, actualización: 21/03/01.
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MACHIUNAS, Mónica Valeria, “Origami y modelos
geométricos”, en Memorias del III Simposio de
Educación Matemática, J.E. Sagula y O.L. Isnardo,
Universidad Nacional de Luján, Argentina, 2001. |
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