Esta pregunta me pareció un poco sorprendente porque podría
entenderse que detrás de ella está el cuestionamiento: ¿Hay
que enseñar matemática en la escuela? Casi todos responderían
afirmativamente a esto último. Algunos habrán olvidado para
qué, otros quizás nunca lo supieron. Por lo tanto, la pregunta
original tiene sentido. Y tiene sentido tomarse la respuesta
en serio. O sea, no responder únicamente: porque a los 10
años el niño tiene que saber sumar y multiplicar. Ésta es
una respuesta operativa, pragmática. Soy de los que cree
que el niño debe saber operar bien, que no hay computadora
que elimine la necesidad de manipular los números, adquirir
una imagen cuantitiva de los objetos de este mundo. Pero
no basta.
Estas notas
estarán carentes de ejemplificaciones detalladas, de la
experiencia de tratar con niños de cerca de 10 años, pero
pueden tener la validez de quien trata y le gusta tratar
con jóvenes en quienes las dificultades de aprendizaje de
dos lustros antes se reflejan en dolorosos traumas de estudio.
Y de quien ha hecho de la enseñanza y de la investigación
matemática su profesión.
1. Contar
El niño
pequeño aprende rápidamente a contar. Luego a distinguir.
De individualizar los objetos que le rodean pasa a ‘saber’
sus nombres y a distinguir que algunas cosas pueden clasificarse
en las mismas categorías. El ejemplo mejor estudiado es
el de los pares, quizás porque tenemos varias partes del
cuerpo que vienen de a dos. Después de distinguir que mis
dos manos y las suyas tienen algo en común, reconoce que
la misma propiedad es común a sus dos pies y, después, cuando
pide un juguete y luego otro, el niño dice dos juguetes.
Y ha empezado a contar.
Los sucesivos
números naturales1 hasta alrededor
de diez vienen después, y en general antes que el uno. Para
un adulto esto puede resultar extraño, pero parece ser que
inicialmente es tan evidente la individualización de los
objetos aislados que es innecesario ‘contarlos’,
y por tanto darle un número (el uno) a su cantidad. La creación
de un nombre y un símbolo para expresar la inexistencia
de objetos es un asunto definitivamente más complicado.
Los niños no adquieren rápidamente la idea del cero, que
es la negación de la existencia. La misma humanidad necesitó
del símbolo muy tardíamente en su desarrollo y su introducción
en nuestro mundo occidental significó un inmenso avance
en el desarrollo de la matemática.
Los niños
más interesados pronto se preguntan cuál es el número más
grande, los mejores alumnos llegan a una idea puramente
matemática de infinito. Estos niños habrán dado un gran
salto en el aprendizaje de la matemática y en desmitificar
la disciplina.
He comentado,
de esta manera un tanto atípica, para responder a la pregunta
por dos razones: Que la aplicación de las leyes formales
de las operaciones con los números naturales es uno de los
mejores ejemplos del proceso matemático de generalización.
Que creo —con muchos otros— que el buen conocimiento
de los sistemas numéricos (no sólo de los números naturales)
es parte necesaria del bagaje básico de quien se dedique
a la enseñanza de la disciplina.
2. Aprovechar
todas las facetas
Necesitamos
un verdadero entendimiento generalizado del papel que la
matemática ha jugado y juega en la sociedad en que vivimos.
Tratamos de reivindicar el contenido cultural de la matemática
y la presentación de la matemática como la profunda historia
y creación humana que en realidad es. Los profesores deberían
saber cómo se han formado las ideas matemáticas para:
•comprender
las dificultades que la humanidad tuvo para elaborarlas;
•relacionar
unas ideas con otras, relaciones que muchas veces aparecen
oscurecidas o incomprensibles en su formulación actual;
•utilizar
estos conocimientos como referencia en sus formas de enseñar.
Por otra
parte, los profesores de todos los niveles deberíamos saber
aprovechar las muchas facetas de la disciplina, no sólo
para entusiasmar a nuestros alumnos sino para darle sus
auténticas dimensiones. Recapitularemos a continuación algunas
de esas facetas que se agregan y complementan con los aspectos
históricos y culturales antes anotados.
1.Es como
un arte en que el enlace entre sus distintas partes y teorías,
o entre proposiciones aparentemente desligadas, así como
la elegancia y limpidez de sus razonamientos, la brevedad
y elocuencia y, a veces, la sorpresa de sus resultados,
son gratos al espíritu, a nuestro modo de pensar. Incluso
estos aspectos muchas veces satisfacen nuestro sentido estético.
2.Es un
lenguaje preciso y eficaz. En realidad una de las razones
principales para la existencia y uso de la matemática es
la elaboración de un lenguaje que permita resumir la presentación
de otras ciencias y disciplinas. Más aún, el análisis sistemático
u ordenado de muchos problemas técnicos o prácticos es frecuentemente
imposible sin una buena presentación matemática, sin hacer
un modelo formal.
3.Es un
eficaz instrumento para resolver cuestiones de la vida cotidiana
o de la más sofisticada tecnología. Debidamente formalizado
un problema es resoluble utilizando herramientas matemáticas
que van de la simple suma, si se trata de saber las deudas
que tenemos, hasta difíciles procesos del cálculo numérico
si se quiere saber cuán cerca pasará un cometa (hacemos
referencia a estos asuntos de cálculo por no poder explicar
aquí cuestiones relacionadas con consecuencias derivadas
directamente de teorías matemáticas: mecánica cuántica,
teoría de la relatividad, etcétera).
4.Por último,
relacionados directamente con el primer aspecto tratado
en esta enumeración, están los temas vinculados con la investigación
matemática. En la enseñanza primaria y secundaria esto lleva
a destacar los aspectos lúdicos, a ver los objetos matemáticos
en juegos, que son tan importantes en la formación general
de los individuos y su intelecto. En la enseñanza más avanzada
se trata de expliar los desafíos abiertos en algunas ramas
o de sacar partido de cuestiones relacionadas con los grandes
problemas y conjeturas y hasta con la vida personal de los
matemáticos (¿sabe usted por qué el señor Nobel no estableció
uno de sus premios para la matemática?).
Los profesores
debemos impregnar la didáctica de la matemática de estos
contenidos culturales, destacar la influencia de la matemática
en la formación de los valores más ricos de la humanidad,
de su profundo carácter histórico y evolutivo. No quepan
dudas de que si ese espíritu caracteriza la enseñanza, su
aprendizaje se verá facilitado.
La matemática
es difícil (y prestigiosa)
La enseñanza
de la matemática en todos los niveles se presenta como un
problema no resuelto. El número de estudiantes que no avanza
en el ciclo escolar debido a sus fracasos con la matemática
y el número de reprobados en la disciplina en los demás
ciclos de aprendizaje son las manifestaciones inmediatas
de esa situación. Ella está tan extendida que los profesores
de matemática son vistos como los grandes verdugos del sistema
educativo, como la verdadera traba para el avance en los
estudios secundarios o universitarios. Muchas veces el estudiante
opta por ciclos o carreras que no tienen la disciplina,
aunque no tengan particular vocación por el resultado final
de ellos.
El problema
tiene causas y manifestaciones diferenciadas en distintas
épocas y países con diversos grados de desarrollo económico
y cultural. No me referiré aquí a estos aspectos.
El objeto
de la matemática es un tanto imperceptible. La abstracción
de las propiedades cuantitativas o geométricas que caracterizan
a las primeras nociones estudiadas en los cursos de matemática
constituye un proceso de complicada asimilación. Pequeños
errores en este proceso hacen muy difícil la asimilación
de nuevos conceptos y procedimientos, lo que genera grandes
traumas futuros. Por otra parte la memorización de una nomenclatura
diferente y muy precisa introduce componentes que no son
usuales en la vida diaria.
Sin embargo,
esas mismas dificultades hacen que los que tienen ‘facilidad’
para su aprendizaje gocen de un respeto un tanto extraño
y contradictorio. Se les (nos) ve como seres con algún privilegio
sobre los demás, y a la vez como ‘bichos raros’.
Esto lleva algunas veces a situaciones desagradables o dolorosas
del siguiente tipo: tener que responder con los hombros
levantados a la pregunta: ¿por qué si tu inteligencia te
da para ser matemático no te dedicas a algo que dé más dinero?
Las dificultades
para la enseñanza y el aprendizaje de la disciplina no son
de hoy. Desde los primeros documentos escritos que se refieren
a la enseñanza se destaca la de la matemática como un modelo
a imitar. En el pórtico de la Academia de Platón estaba
escrito: “No entre quien no sepa geometría”.
Durante
la Edad Media diversos teoremas de la misma rama eran denominados
‘puente de burros’ (pons asinorum), como
una muestra de que eran pocos los que, habiéndose iniciado
en la disciplina, lograban salir adelante. La propia organización
del conocimiento y sus estudios durante la Edad Media rendía
culto a la importancia de la matemática. Se dividían en
trivium y quadrivium, tres y cuatro vías.
La primera incluía las tres artes liberales relativas a
la elocuencia: gramática, retórica y dialéctica. La segunda
al conjunto de las cuatro artes matemáticas: aritmética,
geometría, astronomía (¿astrología?) y música. De trivium,
que era la parte fácil de los estudios, procede la expresión
‘trivial’, que los matemáticos gustamos tanto
de usar —y algunos dicen que es ¡lo que no recordamos
cómo probar!
Incluso,
hace unos cien años se creía que en el receptáculo de la
inteligencia (digamos el cerebro) había una ‘bolsa
de la matemática’, ¡de cuyo desarrollo dependía la
facilidad para la disciplina!
Las dificultades
anotadas, que son socialmente percibidas y reconocidas,
provocan una grave consecuencia en los alumnos de los ciclos
iniciales. El buen desempeño en matemática es considerado,
en general, como una muestra de sabiduría e inteligencia.
Se ve a quienes tienen facilidad para la matemática como
gente especial, con alguna dote extraordinaria: el saber
matemático goza de prestigio. Esto se debe, por una parte,
a que las dificultades de la disciplina hacen que quien
la sabe o la aprende con facilidad sea visto distinto, especialmente
dotado; por otra parte, los muchachos con particular facilidad
para la matemática también tienen, por lo general, facilidad
para conceptualizar en otras disciplinas, para continuar
la concatenación lógica de razonamientos, hasta para encontrar
similitudes en geografía, física...
Este ‘prestigio’
a su vez genera en quienes tienen dificultades un rechazo
a la matemática. Se sienten apabullados, pasan a ignorar
la belleza, la coherencia y el ordenamiento de la disciplina,
y a rechazar todo tipo de formalización por su semejanza
con la formalización matemática. No es infrecuente que estos
estudiantes con dificultades sean más retraídos, sientan
que no podrán ocupar sitios importantes en su actividad
u obtener ocupaciones destacadas y modernas. Se considerarán
humillados ante sus profesores de matemática y, más adelante,
muchos de ellos serán incapaces de tener el sustento mínimo
para incorporar conocimientos matemáticos o meramente cuantitativos
que les permitan avanzar normalmente en sus estudios.
Los profesores
universitarios tenemos experiencias variadas que muestran
que la dificultad natural de los conocimientos tratados
en nuestros cursos son frecuentemente un detalle en relación
con las barreras psicológicas y el desinterés de nuestros
alumnos. Elementos estos que tienen su origen en las observaciones
anteriores sobre el prestigio y los temores por el saber
matemático.
Ingredientes
básicos
Querría
insistir un poco más en los aspectos de categorizar y generalizar,
porque me parecen los fundamentales desde el punto de vista
de la maduración y avance intelectual del niño.
Lo que estoy
llamando ‘categorización’ es una de las maneras
en que se forman los conceptos. Éste es un paso claramente
posterior a la percepción de los objetos. Por esa razón
se debe hacer del aprendizaje de la matemática una actividad
constructiva y de razonamiento, de modo que el alumno reconozca
objetos concretos, y logre luego que los objetos matemáticos
adquieran su significado. Esto contradice la idea de que
los niños simplemente absorben.
En estos
procesos de elaboración de conceptos (matemáticos) el niño
debe abstraer (sacar de, retirar, separar lo particular),
debe discriminar (separar, distinguir), priorizar (determinar
lo que es primero o más importante) y, como consecuencia,
generalizar. Sin esta generalización no habrá formación
de conceptos. La abstracción (discriminación, priorización)
y generalización que forman parte de estas etapas iniciales
(en realidad de todas las etapas de aprendizaje matemático)
son esencialmente procesos psíquicos, por lo que el niño
debe pasar por sí mismo de la percepción a la conceptualización.
Todos estos
procesos no son exclusivos de la matemática, pero se dan
particularmente puros, diáfanos, en esta disciplina. Por
lo mismo es que adquieren particular relevancia en la buena
educación general. Por ello mucho de lo que sigue se puede
leer sustituyendo la palabra matemática por la denominación
de otra disciplina o concepto.
El aprendizaje
se da en el momento en que la matemática informal del niño
(basada en nociones intuitivas y procedimientos inventados
para operar con aquellas nociones) se transforma en algunas
reglas formales que el maestro debe captar y resumir. Estos
cambios se dan, en general, de modo súbito y crean discontinuidades
en el proceso de aprendizaje. Estas discontinuidades son
naturales e inevitables; los profesores deben estar preparados
para ellas pues constituyen el aprendizaje mismo de la disciplina.
Pero, además, para conseguir reales avances, los alumnos
deben disponer de herramientas que les permitan dar el salto,
o sea, establecer vínculos entre la matemática informal
y formal. Se propenderá a crear modelos de situaciones o
fenómenos conocidos que permitan simultáneamente analizar
lo intuitivo y experimentar con el correlativo formal.
Deben abrirse
etapas de reflexión sobre asuntos que los alumnos hayan
pensado por sí mismos. El niño debe hacer una confrantación
activa de los puntos de semejanza entre los datos y las
ideas, entre lo intuitivo y lo formal. En esa confrontación
podrá discriminar qué es lo esencial y qué es lo accesorio
del concepto sobre el que está avanzando: las concordancias
se harán compatibles con las diferencias. Esas similitudes
serán integradas a un sistema y podrán ser reconocidas en
cualquier otro ejemplo.
Los conocimientos
matemáticos disponibles para el niño están sujetos a constantes
mejoras. Hay asimilación de nuevos conocimientos y acomodamiento
de los existentes. Por ello se debe aprender como un todo
coherente y no como partes separadas. Esta capacidad de
conexión funciona en dos sentidos: cubriendo tanto relaciones
entre ideas matemáticas como la relación entre matemática
y mundo real. Hay que dar estructura a lo que se está aprendiendo.
Se ha llamado a esto ‘entretejer los hilos del aprendizaje’.
Pero este entretejido no puede llevar a la dispersión de
los distintos componentes y la mezcla de conocimientos que
responden a necesidades diversas. Por ejemplo, considero
equivocado fraccionar en unidades demasiado pequeñas la
exposición y discusión de aspectos de la geometría. Si se
quiere estudiar el triángulo no deberían darse un día la
definición, varias semanas después las relaciones entre
sus ángulos, luego los distintos tipos, la importancia del
concepto de altura o de baricentro. Creo mucho más productivo
y superior desde el punto de vista de la disciplina (donde
la memorización de conceptos abstractos no es fácil) tratar
los temas en bloques, aunque las experiencias del niño circunstancialmente
no los motiven directamente.
Como corolario
de la observación inmediatamente anterior, surge que las
ideas matemáticas mismas pueden —y deben a cierta altura—
constituir tema de estudio, aun en la escuela. No sé por
qué a esto se le llama ‘matematización vertical’.
La disciplina debe pasar a tener su vida propia. Además
del ejemplo geométrico ya dado, anoto la posibilidad de
hacer el estudio de las proporciones en forma de fracciones
cuando se introduce la idea de porcentajes.
Fin
Sé que me
he ido por diversas ramas de la respuesta a la pregunta
original. He preferido no cortarlas. Me ha parecido mejor
responder no sólo para qué enseñar matemática en la escuela.
Escribí también algo sobre qué enseñar y cómo enseñar. Me
parece fundamental que los niños se impregnen de matemática
en la escuela, que se interioricen con sus aspectos formales
y abstractos. Ésta es la única manera que les será útil,
en el sentido más aplicado de la palabra. Y los profesores
debemos asumir el desafío y el compromiso de colaborar para
que esa impregnación se haga bien.
| 1Se
admite generalmente que los números que más usamos en
nuestra vida diaria: 1, 2, 3..., tienen existencia natural
enteramente independiente del hombre. No caben dudas
de que estos números, relacionados con el conteo, son
los primeros que la especie humana en su conjunto, y
cada humano en particular, hemos aprendido a usar. “Dios
creó los números naturales; todo lo demás es obra del
hombre.” |
