El caso de función lineal bajo
un modelo integrador1
En memoria de una gran amiga:
la profesora María del Rocio Tello Reus;
descanse en paz.
| Este artículo reporta
resultados sobre el aprendizaje del concepto de función
lineal en alumnos de 13
a 16 años de edad, bajo un modelo integrador a través
de la calculadora TI-92. Esencialmente, es el resultado
de una propuesta didáctica para adquirir la noción de
función lineal basada en la manipulación de las representaciones
gráfica y algebraica por medio de la calculadora TI-92
en un contexto de escuela telesecundaria, donde la discriminación
de las unidades significativas lleve a los estudiantes
a mejorar su aprendizaje. |
Introducción
En todos
los niveles del sistema educativo nacional se hace presente
la educación matemática. Los planes y programas de esa asignatura
tienen el propósito de desarrollar el pensamiento matemático
acorde con la madurez cognitiva del alumno.
La investigación
que realizamos, de corte cualitativo, trata de medir el
impacto de la calculadora algebraica en el aprendizaje del
concepto de función lineal en alumnos de 13 a 16 años. La
propuesta busca mejorar la aprehensión del concepto de función
lineal de acuerdo con la exigencia oficial para alumnos
egresados de educación secundaria, donde las actividades
están fundamentadas en el marco de los sistemas semióticos
de representación y de instrumentos de mediación, para establecer
el uso apropiado de la calculadora algebraica como instrumento
que hace posible la manipulación de representaciones.
Las causas
que dan origen al problema del aprendizaje de función lineal
están estrechamente relacionados con las representaciones
algebraica, tabular, gráfica, y con el lenguaje natural,
razón por la que los sistemas semióticos de representación
proporcionan alternativas de aprendizaje bajo un modelo
integrador, en vías de mejorar la aprehensión del concepto
en cuestión. Así, Hitt (1996) hace referencia a los obstáculos
didácticos y epistemológicos del concepto de función y en
De la Rosa (2000) se reporta la falta de visualización en
el registro gráfico de alumnos egresados de secundaria.
De acuerdo
con Duval (1988, 1998, 1999), el aprendizaje integrador
es resultado de tener actividad con las diferentes representaciones
de un concepto y Moreno y Rojano (1999) señalan que, debido
a su potencial como mediador, la calculadora algebraica
da posibilidad de usar las representaciones.
Marco
teórico. Un aprendizaje basado en las representaciones
Algunos
autores han mencionado la importancia de las diferentes
representaciones semióticas en la adquisición de un concepto
matemático y cómo es que forman parte de un repertorio útil
en la resolución de problemas; entre otros: Duval (1999),
Hitt (1998), Zimmermann & Cunningham (1991), Eisenberg
& Dreyfus (1991). La premisa de este artículo parte
de la necesidad de contar con varios sistemas semióticos
de representación (SSR) para el pensamiento matemático,
ya que cada sistema proporciona medios específicos de representación
y procesamiento para éste.
Primero
debemos reconocer que la aprehensión del objeto matemático
es por medio de las representaciones semióticas; esto se
basa en la ley fundamental del funcionamiento cognitivo:
“...no hay noesis sin semiosis”, Duval (1998,
p. 176). Podríamos decir que la adquisición de los conceptos
matemáticos es una aprehensión conceptual y la actividad
con los conceptos matemáticos sólo se da a través de las
representaciones semióticas. Es decir, un concepto matemático
visto en sus diferentes representaciones proporcionará información
específica, dando solidez al concepto. Al respecto, Duval
(1998, p. 186) dice:
La comprensión (integradora) de
un contenido
conceptual reposa en la coordinación de al menos
dos registros de representación, y esta coordinación
se manifiesta por la rapidez y la espontaneidad de
la actividad cognitiva de conversión. |
Cabe destacar
dos ideas importantes del párrafo anterior: coordinación
y conversión. En otras palabras, la aprehensión conceptual
de un objeto matemático sólo se logrará si existe actividad
(cognitiva) con registros de representación, la cual deberá
realizarse con la coordinación de al menos dos de ellos.
Una forma
de medir la aptitud del alumno para realizar la conversión,
particularmente del registro gráfico al algebraico, es la
capacidad de visualización; de aquí la importancia de implementar
actividades para fortalecer esta habilidad, sin dejar de
lado la formación y el tratamiento de los registros.
La visualización
es la capacidad cognitiva de reconocer en un registro de
representación las reglas con las cuales fue construido,
de tal manera que la información le permita realizar la
conversión a otro registro. En nuestro caso, se trata de
desarrollar el grado de visualización para realizar la conversión
del registro gráfico al algebraico en forma rápida y espontánea,
por lo que el alumno deberá reconocer las variables visuales
(ver tabla 1.1) en el registro gráfico de la función lineal,
de acuerdo con Duval (1988, p. 182). En la otra dirección
(del registro algebraico al gráfico) el alumno deberá reconocer
las oposiciones paradigmáticas (unidades simbólicas) que
dan significado a los símbolos utilizados en la expresión
y = mx + b.
 |
Ahora bien,
para lograr una coordinación adecuada por la que el alumno
tenga la habilidad de visualizar las unidades significativas
de los registros, a base de realizar actividades centradas
en la conversión entre registros como lo señala Duval (1995,
p. 74):
es necesario poder explorar todas
las variantes po-
sibles de una representación
en un registro, haciendo
la previsión o la observación de las variantes concomi-
tantes de la representaciones en el otro registro...
|
Ésa es una
tarea por desarrollar en algunas de las sesiones de aprendizaje
de nuestra propuesta.
La noción
de función que resulta de las actividades de la propuesta
será base necesaria para profundizar en el concepto de
acuerdo con el programa de estudios del nivel medio superior.
Podríamos decir que un alumno tiene integrado un concepto
matemático cuando cuenta con las imágenes conceptuales de
los diferentes registros de representación y es capaz de
utilizarlos o seleccionar el más pertinente cuando se enfrenta
a la resolución de problemas. Al respecto, Hitt (1997, p.
195) menciona:
...que el conocimiento de un concepto
es estable en
el alumno si éste es capaz de articular sin con-
tradicciones diferentes representaciones del mismo,
así como recurrir a ellas en forma espontánea
durante la resolución de problemas. |
La calculadora
De inicio
reconocemos a la calculadora algebraica como un instrumento
mediador, basado en el llamado principio de mediación
instrumental, (Moreno, 1999b; 1999e): Todo acto cognitivo
está mediado por un instrumento que puede ser material o
simbólico, principio que permite ver a la calculadora
como un instrumento que no es ajeno al proceso educativo
y a la adquisición de las nociones matemáticas.
Debido a
sus potencialidades, basadas en las características de hardware
y software (CAS) de las calculadoras, se utilizarán
con los alumnos en las actividades propuestas. Se podría
resumir que la calculadora :
a)Suministra
representaciones, (Moreno, 1999a) para las sesiones de aprendizaje
(SA): algebraicas, tabulares y gráficas, lo que permite
la conversión bidireccional, ver los cambios concomitantes
y el comportamiento tabular.
b)Permite
la exploración en las representaciones: por ejemplo, cuando
se trabaja con la pantalla (Graph), es posible percibir
el sentido del trazo, el ángulo respecto del eje-x
y el corte en el eje-y (variables visuales).
c)Economiza
el tiempo, ya que ejecuta las conversiones sin demora y
descarga al alumno de ese trabajo; en realidad lo hace la
calculadora. Esto hace que el alumno se concentre en el
verdadero sentido de la sesión de aprendizaje; además, en
algunas ocasiones supera las limitaciones en las habilidades
algebraicas. Por ejemplo, cuando el alumno necesita elaborar
un tabla a partir de una expresión, su atención se encuentra
en los patrones que genera la tabla y no en el proceso del
cálculo para la construcción de ésta. Así también, si el
propósito es observar los cambios en la gráfica cuando variamos
la expresión algebraica, la calculadora disminuye en gran
cantidad el tiempo para realizar la conversión, en este
caso el alumno emplearía gran cantidad de tiempo en cálculos
algorítmicos para trazar la gráfica con lápiz y papel y
se perdería la intención didáctica (por ejemplo, la SA 28,
29 y 30).
El tiempo
que gana el alumno puede emplearse de maneras distintas:
algunos los emplean para asegurar las etapas de la resolución
de problemas y/o para concentrar la atención en las unidades
significativas de las representaciones gráfica y algebraica.
Actividades
de aprendizaje con la calculadora TI-92
El diseño
de las actividades de aprendizaje de la propuesta se basa
en lo que se exige al alumno de acuerdo con los materiales
oficiales (programas de estudio y libro para el maestro
de secundaria), y bajo el modelo establecido en materiales
de telesecundaria, así como los SSR, las SA son ocho (ver
cuadro 1).
La estructura
de cada una de ellas incluye un principio llamado equilibrio
computacional (Demana & Waits, 1999), ya que
no se puede incidir en un programa como el actual de forma
total [reorganizador cognitivo, Moreno (1999)] de modo que
se desprecien las técnicas algorítmicas que se exigen al
alumno como parte de su formación en el desarrollo de ciertas
habilidades aritméticas y algebraicas. Por lo tanto, se
emplea este sentido del uso de la tecnología en cada una
de las SA; es decir, la propuesta incide sólo en dos de
las nueve 2 partes de la estructura de la SA
establecida.
A continuación
mencionaré en forma sumamente breve el tipo de actividades
en las SA propuestas:
a)SA 25.
Reconocimiento de la necesidad de un plano.
b)SA 26
y 27. Resolución de un problema que implique la manipulación
de la representación tabular y gráfica, tal que explore
patrones y comportamientos (relación entre variables); en
el problema de la SA 26 se deberá emplear la fórmula V=
3.1416 · r2h; el alumno podría tener lo siguiente
(pantallas 1 y 2):
 |
| Pantalla 1 |
 |
| Pantalla 2 |
c)SA 28
y 29. El alumno desarrollará la capacidad de visualización,
es decir, manipulando los registros algebraico y gráfico,
al mantener constantes dos de las unidades significativas
y variar la tercera, podrá discriminar dichas unidades.
Por ejemplo, para la SA 28, los resultados pueden ser como
las pantallas 1 y 3 .
 |
| Pantalla 3 |
 |
| Pantalla 4 |
d)SA 30
y 31. Reconocer la familia de gráficas, concurrentes en
un punto y paralelas, en el plano cartesiano; por ejemplo
las paralelas (pantalla 4).
e)SA 34.
El alumno manipulará el registro tabular y numérico; implica
acercamientos locales, para posteriormente hacerlo con el
registro gráfico (pantallas 5 y 6).
Es importante
señalar que en la evaluación, parte de la estructura de
la SA, se exigen al alumno las técnicas algorítmicas con
papel y lápiz, en todas ellas.
 |
| Pantalla 5 |
 |
| Pantalla 6 |
Fase
experimental y resultados
Los alumnos
son egresados de secundaria de 13 a 17 años de edad, lo
cual implica que cuentan con nociones desarrollas en su
antecedente escolar (específicamente en tercer grado). Fueron
invitados a tomar sesiones de repaso de matemática para
poder realizar este estudio y asistieron a un total de 13
sesiones, tres de reconocimiento, ocho sesiones de aprendizaje
y dos de diagnóstico. A cada uno se le proporcionó un paquete
escrito de las actividades diseñadas para desarrollarse
y una calculadora TI-92 (ésta solo se les prestó en las
sesiones de aprendizaje). La fase piloto tiene dos etapas
de diagnóstico, una inicial y otra final; la inicial permite
reconocer las inconsistencias del concepto en ese momento,
y la final, conocer el impacto de la calculadora en la adquisición
del concepto; ambas, sin el uso de la calculadora.
Cabe mencionar
la importancia que tiene una etapa de adaptación a la tecnología.
Los alumnos participantes nunca habían trabajado con una
calculadora algebraica y muy poco con la científica, por
lo que esta etapa constó de cinco sesiones de tres horas
para el reconocimiento de la calculadora TI-92.
Resultados
y análisis
El aprovechamiento
de las actividades desarrolladas en las sesiones de aprendizaje
fue analizado a partir de un “cuestionario de diagnóstico”
que contiene las exigencias establecidas en programas de
estudios ya mencionados. Es así como el cuestionario permite
medir el grado de avance cuando es usada la calculadora.
Los resultados son alentadores; sin embrago, también suceden
fenómenos que debemos prever cuando se emplea la tecnología.
Un punto
de partida es la comparación del aprovechamiento antes y
después de las sesiones de aprendizaje (gráfica 1).
Notemos
las condiciones en que se encuentra un alumno egresado del
nivel medio básico. El diagnóstico inicial arroja una aprovechamiento
promedio general del 38% de un total de 126 aciertos que
representan el 100%. Una vez realizadas las sesiones se
obtiene un aprovecha-miento del 57.93%; el incremento es
de 19.93% (aproximadamente el 20%).
Aprovechamiento
del alumno en las sesiones de aprendizaje
Con esta
información nos damos cuenta de que algunos alumnos tuvieron
mayor éxito en el aprovechamiento, es decir, lograron tener
mayor avance en el desarrollo de las SA. Por ejemplo, para
los alumnos A1, A5, A6, y A7 el aprovechamiento es aceptable,
A2, A3 y A4 lo lograron entre 50 y 60% y sólo A8 obtuvo
el 30%, (gráfica 2).
Podemos
percibir la relación del desempeño en las sesiones de aprendizaje
con el uso de la calculadora. Al revisar las sesiones y
las calculadoras (en las pantallas correspondientes) se
tiene lo siguiente: Primero, los alumnos que se desempeñaron
con mayor eficiencia en las SA fueron los que tuvieron mayor
aprovechamiento en el cuestionario de diagnóstico (gráfica
1),
 |
| Gráfica l. Aprovechamiento
de los alumnos |
que también
son los que emplearon mejor la calculadora; así lo refleja
la información obtenida de las calculadoras. Por ejemplo,
A5, A6 y A7 la emplearon correctamente en todas las sesiones
y A1 sólo la empleó inadecuadamente en dos sesiones (realizó
intentos que no lo llevaron a ningún aprendizaje). Segundo,
los alumnos que tuvieron un desempeño del 50 al 60% (gráfica
2) en las SA y un incremento en el diagnóstico de aproximadamente
entre el 40 y 50% (gráfica 1) emplearon la calculadora adecuadamente
en dos de ocho SA. Por último, A8 logró un aprovechamiento
de un 30%, lo que se vio reflejado en el diagnóstico final
con un 50% (este alumno no presentó el diagnóstico inicial
por inasistencia); utilizó correctamente la calculadora
en dos sesiones. En todas las sesiones de aprendizaje se
promovió el trabajo por equipos, la discusión entre ellos,
también se compartieron algunos resultados de las actividades
y, por lo tanto, el llenado escrito del material.
|
|
| Gráfica 2. Aprovechamiento
por alumno de las sesiones de aprendizaje |
Avance
de las sesiones de aprendizaje (intención didáctica)
Esta información
permite establecer en porcentaje qué sesión de aprendizaje
tuvo mayor o menor dificultad para realizarse; así también
nos permite conocer los avances del concepto de función
de acuerdo con lo establecido.
De la gráfica
3 tenemos que las SA 25 y 26 se desarrollaron casi en su
totalidad; sin embargo, en la SA 26 cuatro alumnos no la
emplearon, es decir, no aparece evidencia de la calculadora:
Home y y = editor; podría considerarse
que borraron la información, ya que en algunas ocasiones
así lo hicieron, aunque se había recomendado lo contrario.
Para el resto de los alumnos sí aparece trabajo en las pantallas
y = editor (Table y Graph), y en la
pantalla Home. Por ejemplo, para la pantalla y
= editor, los alumnos emplearon y = ‘3.1416(1)(x)’
en Home. Todos presentan la gráfica que se pide como
resultado de la actividad, así como la tabla; excepto dos
de ellos (A1 y A4) que al parecer la copiaron de la calculadora,
aunque en su calculadora no existe evidencia alguna. Seis
de ellos desarrollaron el subconcepto de dominio de la función
en el problema propuesto.
Las SA
27, 28, 29 y 30 fueron desarrolladas en un 60% a 70%; el
empleo de la calculadora por sesión fue de la siguiente
manera: SA 27, 4 de 8 alumnos; SA 28, 5 de 8; SA 29, 5 de
8, SA 30, 6 de 8. En general, utilizaron la calculadora
en la mayoría de las sesiones; quizá vale la pena mencionar
que existe un avance sobre el reconocimiento de las variables
visuales: SA 28 y SA 29 (figura 1), así como el reconocimiento
de familia de rectas SA 30; la calculadora es un instrumento
que provee la oportunidad de realizar la conversión entre
las representaciones algebraica y gráfica cuando el objetivo
de la sesión no es la utilización de las técnicas algorítmicas
del álgebra. Lo que se ve claro es que la utilización deficiente
de la calculadora repercute directamente en el desarrollo
de las sesiones de aprendizaje y en la aprehensión de la
noción de función, como lo reflejan las gráficas 2 y 3.
Entonces, si el aprovechamiento de las actividades es bajo,
no se tendrá un aprendizaje integrador como se espera. Para
la SA 3 los alumnos utilizaron y = editor de la
siguiente forma:
 |
y y =
880x, que les permite explorar valores en la tabla (Table)
en la pantalla: Home; realizaron algunos intentos
con errores en las cantidades, así como insertar variables
no definidas:
en otras
no consideraban la variable independiente,
|
|
|
| Figura l. De esta gráfica,¿cuál
sería la regla de funcionalidad? |
Conclusiones
Las observaciones
del desarrollo, tanto de las sesiones de aprendizaje como
de los resultados del diagnóstico, confirman la potencialidad
de las calculadoras para la adquisición de conceptos matemáticos;
sin embargo, existen evidencias dignas de tomarse en cuenta.
La calculadora
exige implícitamente algunas nociones, ya que para comunicarse
con ella y
 |
| Gráfica 3. Avance de las sesiones
de aprendizaje. |
lograr
ejecutar tareas, tales como insertar alguna fórmula, es
necesario haber identificado las variables y constantes
en términos reconocibles para la TI-92 y de esa manera
insertar en y = editor o en Home; es decir,
en términos de x y y. Puede suceder, como
en este trabajo, que pocos utilicen correctamente la calculadora,
aun cuando el aprovechamiento promedio indica el 85%. Podría
decirse que existen algunos obstáculos para el empleo de
la calculadora; uno de ellos es la falta de tiempo para
adaptarse a su uso. Comparto la consideración de que con
una adecuada adaptación, el alumno logrará adquirir la habilidad
para emplearla correctamente (Waits y Demana, 1999).
Un hecho
de gran importancia es la presencia de la no congruencia
entre registros, de acuerdo con Duval (1988), característica
natural de algunos registros de representación, que inevitablemente
ocasionan dificultad en el aprendizaje y, por ende, un aprendizaje
inestable; de ahí que los resultados proporcionan pocos
avances, como se muestra en el estudio experimental.
Los resultados
reflejan obstáculos para reconocer variables y constantes
y, en consecuencia, hacer la transformación para insertarla
en la calculadora, así como la dificultad para adquirir
la habilidad de visualización.
Algunas
observaciones para reflexionar:
•Todo
alumno que emplea adecuadamente la calculadora en sus actividades
llega a cumplir la intención didáctica planeada; así lo
muestran las actividades resueltas en su hoja de trabajo
y los indicios del uso de la calculadora.
•Cuando
se intenta el equilibrio entre la calculadora y las técnicas
algorítmicas de papel y lápiz, como se hizo en este trabajo,
se pone en evidencia la falta de esta habilidad, lo que
confirma que la calculadora suple deficiencias cuando se
quiere adquirir un nuevo concepto; sin embrago, también
se confirma que se debe dedicar tiempo al desarrollo de
esas habilidades. En relación con esto último, se deben
promover actividades del programa con este instrumento,
para que el alumno logre emplear lo que han llamado caja-negra/caja-blanca
en relación con el cálculo aritmético y algebraico.
•La
calculadora proporciona elementos para aclarar nociones,
como las gráficas discretas de los alumnos; sin embargo,
puede crear obstáculos, como inconsistencias en el dominio
de una función (SA 26 y 27).
•Es
necesaria una etapa de adaptación que permita al alumno
conocer la potencialidad de las instrucciones y, con ello,
saber cuándo y cómo debe emplear la calculadora. La promoción
del uso de la calculadora deberá ser continua, para lograr
un empleo adecuado y no recurrir a técnicas con papel y
lápiz.
Citas
|
1Este
trabajo se presentó en una preversión en el XXXIV
Congreso Nacional de la SMM, con el apoyo de la Secretaría
de Investigaciones Educativas de la sección 36 del
snte, tomado de De la Rosa (2001).
2La
SA contiene nueve partes en su estructura: Título,
Subtítulo, Intención didáctica, Recuerda, Lectura
del libro de conceptos básicos, Análisis y síntesis
de la información, Aplicación de lo aprendido y Sugerencias
de evaluación.
|
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