Se propone un enfoque o esquema integral
de cuatro ejes para la enseñanza de la matemática en secundaria.
La metodología actual de su enseñanza privilegia la solución
de problemas. Se considera que la solución de problemas
es la etapa más alta del quehacer matemático (Gagné, 1985),
tanto en el aula como fuera de ella; sin embargo, son diversas
las circunstancias que no permiten llegar a tales niveles.
Hay ciertas exigencias cognitivas en el aprendizaje (Anthony
Orton, 1996) de la matemática, que quizá se hallan descuidadas,
tales como la memorización y la retención, el aprendizaje
de algoritmos, el aprendizaje de conceptos del lenguaje
matemático y la propia solución de problemas matemáticos.
En la presente disertación no se hace una crítica a los
contenidos actuales de los planes y programas de matemática,
más bien a una forma de abordar o enseñar dichos contenidos.
Situación
actual
La enseñanza
de la matemática en secundaria se enfoca en los estudios
que realizó George Polya en 1945 sobre los procesos de resolución,
que derivan en cuatro pasos generales para resolver los
problemas: comprender el problema, concebir un plan, ejecutar
el plan y visión retrospectiva.
La solución
de un problema de matemática se debería entender como el
generador de un procedimiento mediante el cual el alumno
combina sus conocimientos previos, reglas, algoritmos y
conceptos para llegar a la solución de una situación nueva.
En
los enfoques propuestos por el Libro del Maestro de Matemáticas
de Secundaria (1996) se pretende que el alumno adquiera
seguridad en el empleo de técnicas y procedimientos básicos
mediante la solución de problemas, que reconozca los aspectos
que componen dicho problema, que identifique situaciones
análogas y que adopte una estrategia adecuada para llegar
a la solución.
La
estrategia didáctica que subyace en la solución de problemas
en secundaria, aparte de las distintas fases expuestas por
Polya, es de corte constructivista y cognitivista pues los
textos oficiales suponen que el sujeto que aprende pone
en marcha ciertas estructuras mentales o esquemas cognitivos
en la solución, a la vez que intervienen experiencias previas
y nociones conocidas que al ser utilizadas permiten la asimilación.
La
pregunta es: ¿Cómo llega un alumno a resolver un problema
matemático y asimilarlo (en términos piagetianos) si carece
de ciertos esquemas cognitivos y de experiencias previas?
La respuesta
pudiera ser que "la solución de problemas no es un enfoque"
(Eduardo Mancera, 1996) de enseñanza de la matemática. Es
el centro de la actividad matemática. Pero una mala estrategia
didáctica parece pretender que mediante la insistente solución
se aprenden nuevos conocimientos, nuevas reglas, algoritmos
y conceptos del lenguaje matemático. Parece que dicha estrategia
de enseñanza está 'al revés', primero se resuelve y luego
se aprende, de esta manera lo que más se logra es que el
alumno memorice la metodología que le ayude a resolver problemas,
sin que se le enseñe que esa metodología es general y aplicable
a otros problemas.
Por
su parte, Mayer (citado por Echeverría, 1998) menciona que
los pasos descritos por George Polya se reducen a dos grandes
procesos: la traducción y la solución, donde no sólo es
necesaria la puesta en marcha de reglas y pasos más o menos
ordenados, sino que el proceso de solución exige que una
persona comprenda y traduzca la situación problemática a
una serie de expresiones y símbolos matemáticos; es decir,
la solución de un problema exige "la utilización de un lenguaje
matemático que permita interpretar la realidad circundante"
(Mayer, 1986) para posteriormente hacer uso de hechos, técnicas
y destrezas.
Luego,
entonces, se proponen tres ejes de enseñanza concretos y
objetivos previos a la solución de problemas de matemática,
que incluyen este último como un eje más, formando así cuatro
ejes para la enseñanza de la matemática en secundaria.
Las
actividades como la memorización, el aprendizaje de algoritmos
y el aprendizaje de conceptos son comúnmente desarrolladas
con los alumnos desde el nivel de educación primaria y quizá,
incluso, desde el preescolar, mas no se cae en la cuenta
de que también son útiles e importantes en niveles superiores
de enseñanza y, sobre todo, son necesarios para alcanzar
los propósitos planteados por los planes y programas oficiales.
Situación
deseable
Son diversos
tanto los autores como los intentos por clasificar las conductas
y las actividades mentales inmersas en el aprendizaje de
la matemática. Por ejemplo, Richard Skemp (1993) examina
los procesos que hay que adoptar al operar con matemática,
tales como: la formación de conceptos matemáticos, la idea
de un esquema, el comportamiento inteligente, el uso de
símbolos y los factores emocionales e interpersonales.
George
Polya (1945), por su parte, examina los proceso heurísticos
y no axiomáticos de resolución de problemas e influye en
el diseño de un esquema general de resolución de cuatro
pasos y aplicable a diversas áreas.
M.
L. Brown (1979) cita cuatro tipos de aprendizaje matemático,
a saber: la memorización simple, el aprendizaje algorítmico,
la formación del lenguaje y la resolución de problemas.
Este
último esquema es motivo de atención pues señala con toda
prontitud las estrategias de enseñanza que bien se pueden
aplicar por razones que se exponen a continuación.
Es
oportuno señalar que actualmente se adoptan cuatro ejes
para la enseñanza de las asignaturas de español y lengua
extranjera en secundaria, lo que representa un enfoque integral
y equilibrado, pues en experiencias anteriores se privilegiaba
el análisis estructural y se descuidaban otros aspectos
que fomentan el uso de la lengua. Por esta razón se proponen
cuatro ejes en los nuevos planes y programas de educación
secundaria (sep, 1993) para la enseñanza de dichas asignaturas.
Paradójicamente,
en la enseñanza de la matemática se han descuidado tres
ejes muy importantes: la memorización, el aprendizaje de
algoritmos y la formación de conceptos del lenguaje matemático,
y se estimula únicamente la solución de situaciones problemáticas.
No
necesariamente se deben establecer cuatro ejes para la enseñanza
(al igual que en español y lengua extranjera). Por eso se
han señalado las conductas y las actividades mentales propuestas
por Skemp y Polya; simple y sencillamente se proponen cuatro
ejes porque se hallan fuertemente ligados en el proceso
de aprendizaje (Orton, 1996) de la matemática.
Retención
y memoria
Se pretende
que los alumnos desde edades muy tempranas sean capaces
de memorizar distintas cualidades y características que
le son propias a la matemática, por ejemplo:
. Palabras (cateto, isósceles, factor, longitud, etcétera).
. Símbolos (+, %, <, _, √, etcétera).
. Fórmulas.
. Reglas (uso de los símbolos de agrupación, jerarquía
de las operaciones, etcétera).
La
memorización no se debe entender como poderes que son mejorados
con la simple ejercitación de hechos, conceptos o algún
material de manera arbitraria y sin sentido. Ahora el valor
del ejercicio estriba en la significatividad (Ausubel, citado
por Ontoria y Cols., 2000) y relevancia del material por
memorizar.
Las
investigaciones de varios psicólogos han concluido que poseemos
memoria a corto plazo y memoria a largo plazo. Ciertamente,
los profesores de matemática necesitamos que nuestros alumnos
hagan memorización a largo plazo junto con una inmediata
memorización. La dificultad radica en cómo conseguirlo.
La
retención y la memorización son más fáciles si lo que se
ha aprendido es significativo en relación con la estructura
de conocimientos ya existentes en la mente (Orton, 1996)
del que aprende. La pregunta que subyace en esta proposición
es: ¿Qué se puede hacer por los alumnos que no tienen ciertas
estructuras de conocimiento? Quizá la clave en este cuestionamiento
pudiera radicar en la memorización de símbolos y palabras
de matemática, en una primera fase.
El
caso de las relaciones de orden de los números y la ley
tricotómica es interesante pues los símbolos y las palabras
-propios del lenguaje matemático- son en cierta forma arbitrarios
y por eso deben aprenderse memorísticamente. De igual forma,
las demostraciones geométricas de los teoremas contienen
muchos signos y palabras que también deben memorizarse.
El
significado de las palabras por memorizar se halla en las
relaciones del contenido y el objetivo de una unidad temática.
Por ejemplo, la relación de orden y las demostraciones geométricas
con las palabras y signos que estos temas conlleva. En resumen,
la enseñanza de la matemática frecuentemente requiere del
lenguaje especial que para ella se ha estructurado y, en
ocasiones, se tiene que recurrir a la memorización.
No
todo el aprendizaje de los conceptos debe ser por memorización,
más bien hay un conjunto de símbolos y palabras que requieren
este tratamiento. Otras palabras y expresiones del lenguaje
matemático requerirán diverso tratamiento; pero esto se
apuntará más adelante.
Otra
de las circunstancias del uso de una palabra es que en ocasiones
se precisa memorizar, con anterioridad, otra; por ejemplo,
la palabra triángulo y la importancia de su significado
en las propiedades del mismo requiere de la memorización
previa de la palabra ángulo.
Los
símbolos matemáticos requieren todavía más del aprendizaje
memorístico. Éste se logra por discriminación o mediante
contraejemplos (Skemp, 1993).
En
general, son diversas las formas de promover el aprendizaje
memorístico. Existen recursos iconográficos, como estilos
de caracteres, colores distintos, la colocación resaltada
de ciertos elementos y las notas resumidas. Además, la frecuencia
de los ejercicios, por ejemplo las operaciones aritméticas
y la repetición tanto escrita como oral son muy importantes
en la memorización.
Durante
el aprendizaje de la matemática -y sobre todo en primer
año de secundaria- pa-rece inevitable el aprendizaje memorístico
(Brown, 1979) o por simple asociación.
Aprendizaje
de algoritmos
Los profesores
interesados en el aprendizaje de la matemática se abocan
a enseñar por el empleo de algoritmos; para ejemplificar
lo anterior se citan algunos casos:
. Multiplicación
de enteros con decimales.
. Raíz cuadrada
(método tradicional).
. Adición
y sustracción de fracciones.
. Ecuaciones
lineales.
Ciertamente,
el empleo de algoritmos requiere de la memoria, pero aquí
los alumnos deben recordar un procedimiento paso a paso
(Orton, 1996). Algo preocupante en el empleo de algoritmos
es que lo que los profesores esperan que sus alumnos recuerden
y usen carece de significado para éstos y a veces resulta
sumamente irrelevante.
Otro
problema importante con el uso de algoritmos es que se enseñan
demasiado pronto, antes de percatarse de su necesidad. Por
ejemplo, enseñamos a resolver una ecuación mediante un algoritmo
cuando bien pudo ser resuelta por tanteo.
Como
en muchos aspectos del aprendizaje de la matemática, resulta
difícil hallar un término medio entre la importancia o no
de enseñar algoritmos, pues por un lado se han citado las
dificultades que esto trae consigo pero por otro se destaca
su importancia, por ejemplo, en la simple resolución de
problemas en la escuela y fuera de ella. Podemos ver esto
en los casos de la adición (mecánicamente si se quiere señalar
así) de los artículos de una tienda, de la resta de los
gastos de los ingresos de una familia, del cálculo de una
superficie, etc.; y tantos otros casos donde finalmente
se emplean algoritmos.
Aprendizaje
de conceptos
Resulta
amplia la investigación que se ha desarrollado recientemente
entre los aspectos de la enseñanza y el aprendizaje de la
matemática y su relación con el manejo del lenguaje propio
de esta ciencia.
Los
casos de semejanza, simplificación y operaciones de fracciones
y su relación con el concepto de fracción común, así como
la dificultad de aprender estos temas si no se ha aprendido
este concepto, han sido descritos brillantemente por Beyer
(1998) en sus estudios con jóvenes de secundaria en Venezuela.
Otra
investigación que recientemente se hizo sobre temas de álgebra
es la descrita por Sonia Ursini (1994) que demuestra con
toda certeza la importancia del concepto de variable para
tratar ecuaciones y funciones.
Los
conceptos describen una regularidad o relación dentro de
un grupo de hechos y son designados por un signo o símbolo
(Novak, citado por Orton, 1996). Esta definición pudiera
entenderse retrospectivamente, es decir, reflexionando sobre
el concepto y su empleo implícito. Por ejemplo, para el
concepto de paralelismo como dos líneas rectas que no tienen
un punto en común o que nunca se cortan, se emplea el símbolo
y.
Skemp
(1993) ilustra el modo en que aprendemos conceptos con el
ejemplo de un adulto nacido ciego y que mediante una operación
logra el sentido de la vista; el autor dice que no existe
modo alguno de enseñar (y aprender) el concepto de rectángulo
por medio de una definición; solamente señalando objetos
con esa forma el sujeto aprenderá por sí mismo la propiedad
que es común a todos esos objetos.
En
esa misma obra Skemp dice que el aprendizaje de conceptos
también se logra (citando el mismo ejemplo del hombre ciego)
con no-ejemplos o contraejemplos; así, los objetos, las
formas y las figuras que no contrastan con la idea de rectángulo
ayudarían a aclarar el concepto.
Como se
ha intentado decir, los alumnos no siempre aprenden los
conceptos por definiciones, pero es útil hacerse de un buen
diccionario de matemática o una enciclopedia de matemática
(que por cierto no hay muchas en español), principalmente
el profesor, y si es posible también los estudiantes, para
entrenar el repertorio de conceptos propios del lenguaje
matemático.
Los
conceptos de función, variable e identidad en trigonometría
son difíciles de aprender y quizá la mejor forma de enseñarlos
es por el empleo de funciones (por ejemplo), sin tratar
de definir su significado de un modo abstracto (Orton, 1996).
Así, mediante la manipulación constante de éste y otros
conceptos, se puede llegar a una definición más formal o
abstracta en los casos que mejor ejemplifiquen tal o cual
concepto matemático.
Algunas
ideas o conceptos pueden ser más abstractos que otros y
por lo tanto más difíciles; Skemp (1993) indica al respecto
que el concepto de fracción (corrientemente llamada quebrado)
es mucho más difícil de lo que se ha creído y el concepto
de conjunto es mucho más fácil. Por ello, es importante
tener cuidado al tratar sobre ideas matemáticas abstractas.
El
principal responsable de una definición en matemática es
el profesor, porque él comunica el conocimiento matemático.
Por su parte, la investigación va precisando ciertas ideas.
Por ejemplo, el número uno se incluía como número primo
y hoy se excluye de tal definición.
Resolución
de problemas
Este eje
se propone como la consecución de los tres anteriores y
como un eje en sí mismo durante la enseñanza, pero nunca
ajeno a los tres ejes vistos con anterioridad (de otro modo
no se hubieran escrito estas ideas).
Una
situación que implique la resolución de un problema no es
la lista de ejercicios que se propone a final de un capítulo
o al concluir un tema en algunos de los textos de matemática.
Sí son importantes los ejercicios en términos de repetición
y como forma de promover la memorización, pero aún no alcanzan
ese carácter de problemas.
Las
situaciones que requieren que los alumnos apliquen sus conocimientos
matemáticos a situaciones reales o que surgen en la vida
cotidiana y que por ende conllevan a la solución de problemas,
podrían llamarse así: problemas de matemática.
Puede
afirmarse que el objetivo de la memorización, del aprendizaje
de algoritmos y el aprendizaje de conceptos es permitir
al alumno operar con la matemática y por lo tanto resolver
problemas (Orton, 1996).
Los
problemas no son rutinarios; cada uno conforma en mayor
o menor grado algo novedoso para el alumno.
La
solución eficaz depende de los conocimientos (memoria, algoritmos
y conceptos) que posea un alumno y de las redes que pueda
establecer entre estos conocimientos, las destrezas de las
que nos habló Polya y su utilización.
Se
sabe que 'dar vueltas al problema' en la mente, probar líneas
de investigación y utilizar así toda una gama de herramientas
y métodos pueden resultar apropiados para el alumno.
Orton
(1996) sostiene que la solución de un problema puede llegar
después de un tiempo o de cierto alejamiento de éste, "como
si el subconsciente, libre ya de los apremios de los intentos
conscientes por resolverlo, siguiera experimentando con
combinaciones de elementos" de esa base de conocimientos
que tanto se ha dicho y que en definitiva se deben atender
antes de enfrentar una situación problemática.
Bibliografía
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