Conceptos que han probado su utilidad para ordenar las cosas fácilmente han adquirido tanta autoridad sobre nosotros que olvidamos su origen terrestre y los aceptamos como hechos inalterables. Entonces pasan a estar etiquetados como 'necesidades conceptuales', 'situaciones a priori', etc. Tales errores obstruyen frecuentemente y por largos periodos, el camino del progreso científico. Por tanto no es un juego ocioso ejercer nuestras habilidades analizando conceptos familiares y mostrando las condiciones que los justifican y hacen útiles, y el modo como ellos se desarrollaron, poco a poco. Albert Einstein, 1916

Esta cita puede parecer exagerada para comenzar un artículo que tiene un objetivo muy sencillo: explicar con un ejemplo de uso diario, y sin mayores complicaciones técnicas, cómo la matemática, sus conceptos y resultados han sido creados por la humanidad, igual que cualquier objeto científico, y cómo evolucionan estos conceptos y resultados de acuerdo con las necesidades de cada sociedad y con los intercambios culturales.

El concepto al que me refiero es el de los sistemas de representación de los números. Obsérvese que no hablo del concepto de número, cuyo surgimiento en la especie humana es muy anterior: seguramente los 'primeros seres humanos' venían dotados de algunas formas del pensar cuantitativo directamente relacionable con el concepto de número.

Sin embargo, la cita no es exagerada, porque las formas de escribir los números "han adquirido tanta autoridad sobre nosotros que olvidamos su origen terrestre y los aceptamos como hechos inalterables". Por lo menos ésa es la actitud que se puede transmitir a los alumnos si no se sabe con alguna precisión que el sistema de numeración que usamos es de reciente data en la parte del mundo en que vivimos y de cuyas tradiciones científicas nos nutrimos.

Permítanme comenzar con algunas consideraciones generales que me han servido de motivación para escribir esta nota.

En muchos sectores de la sociedad, en particular del cuerpo docente e intelectual, existe la opinión de que nada hay por inventar en matemática y que, por tanto, ésta es una ciencia consolidada que no ha tenido nuevos avances (¿invenciones o descubrimientos?) en los últimos tiempos. El fin de los avances matemáticos es fijado en diferentes épocas dependiendo del grado de desconocimiento de quien eso piensa: puede ir desde los griegos en el siglo v antes de nuestra era hasta fines del siglo xix (recordándose el nombre de algún matemático alemán: Weierstrass, Cantor). En todo caso, no hay matemática reciente que valga la pena saber ni enseñar. Hay también quienes exageran en esa tesitura y opinan que no sólo no hubo nuevos avances sino que la matemática no merece tenerlos. ¿Para qué?

¿Qué aporta la matemática al bienestar humano que justifique el esfuerzo de algunos señores, que obligue a dedicar alguna cantidad de dinero para comprar libros y equipamientos y pagar los salarios de esos señores dedicados a realizar imposibles nuevos descubrimientos en la disciplina? En todo caso, algunas veces los avances de la matemática saltan al conocimiento de la opinión pública porque algún enigma de la antigüedad es resuelto. Éste es el caso de la reciente resolución del problema de Fermat, planteado por este matemático francés hace ya más de tres siglos.[1]

Contrariamente a lo dicho en los párrafos anteriores, todo parece indicar que la matemática está en medio de una revolución. Gran parte de los resultados en física, ingeniería y computación que están entre los avances más importantes de los últimos 100 años (teorías de la relatividad, del campo unificado, vuelos espaciales, criptografía -para la transmisión secreta de información-, códigos de corrección de errores, invención y desarrollo de discos compactos, nuevas generaciones de programas y de software, inteligencia artificial, etc.) se basan en progresos de la matemática. Incluso muchos de los avances en biología y biotecnología se refieren a buenas formalizaciones matemáticas de sus problemas. La matemática tiene la forma de un lenguaje y se puede decir que sin ese lenguaje los grandes avances de la física o la biología de este siglo hubieran sido inconcebibles. A pesar de que muchas veces parece que las hazañas de la matemática son la solución de algún problema famoso, en realidad, la historia de la matemática muestra que son su lenguaje, sus métodos y conceptos, los que le dan valor y uso diario.

Este artículo se refiere, precisamente, al lenguaje más sencillo de la matemática que es la representación de los números naturales, los que permiten contar.

Parece ser que la denominación de los números está asociada con las primeras manifestaciones del lenguaje humano. La uniformidad de las denominaciones y su estabilidad a lo largo de los tiempos es la muestra del esfuerzo de los hombres por expresar la diversidad cuantitativa de la naturaleza, de organizar su vínculo con ella expresando las cantidades de objetos equivalentes, objetos que cumplían alguna función semejante en su vida diaria: animales cazados, días transcurridos, árboles, etc. Expresamente estoy evitando aquí el uso de la palabra 'iguales', porque es claro que en general lo que se cuentan no son objetos iguales; por ejemplo, los árboles no son nunca iguales entre sí. Para no extenderme mucho con este asunto de los nombres de los números, destaco solamente que la denominación del número nueve está relacionada en varias lenguas con la palabra nuevo: novem-novus (latín), nine-new (inglés), neun-eu (alemán), nava-navas (sánscrito).

En verdad la enumeración es una de las primeras formas de organización, de descripción de la realidad. Ésta es una manifestación sencilla de que el modo abstracto de definir sus conceptos, organizarlos y relacionarlos no es una invención diabólica de los matemáticos y los profesores de la disciplina sino resultado de necesidades humanas tan valederas como las que dan origen a los conceptos de la física, la astronomía o la historia. Este carácter primitivo de la enumeración también se manifiesta de otra manera. Trate usted mismo de recordar la similitud que existe en diversas lenguas entre las palabras que designan las siguientes acciones: a) pasar dándoles números un objeto tras otro ("numerar o computar las cosas como los diccionarios); y b) describir situaciones y acontecimientos, relatar ("referir un suceso, sea verdadero o fabuloso"). En español hay una misma palabra para ambos actos: contar. Por estar muy lejos de las lenguas que habitualmente hablamos, por aquí les recuerdo que en árabe 'cálculo' se dice hishab, que está construido a partir de las tres consonantes h, s, b; el verbo contar se dice hasaba; y del cambio de alguna vocal de esta palabra resulta hasiba que significa imaginar, creer.

La aparición de la escritura trajo, entre otras muchas consecuencias, un inmenso avance en todas las cuestiones de numeración y conteo. En muchas culturas, en particular la maya (y quizás antes la Olmeca), el origen de la representación de los números está asociada con la medición del tiempo. En el caso de la civilización maya de la época de las grandes ciudades parece que no se conservan restos arqueológicos que indiquen el uso de los números para representaciones diferentes a la evolución del tiempo, para la datación de acontecimientos, reinados, etc. y para uso adivinatorio o cabalístico al producirse coincidencias relacionadas con las diferentes formas de medir los ciclos (año de 260 = 20 por 13, o de 365 = 360 + 5 días).[2] Todas las representaciones numéricas mayas están referidas en las inscripciones y textos a fechas o determinaciones calendáricas, al cómputo del tiempo.

Sin embargo, se conocen tablas de arcilla con símbolos numéricos de origen sumerio (Mesopotamia, actual Irak) que datan de antes del año 3000 antes de nuestra era y en las que se escribían de manera diversa las cifras según se contaran volúmenes (diferentes para los distintos tipos de granos), áreas, longitudes y... ¡el tiempo! Éstas parecen ser las evidencias más antiguas que se conservan de la representación de números. Aquí, como en casi todas partes, el origen de la numeración y la escritura está relacionado con la actividad de los sectores dominantes, la de los templos en particular.

Hacia 3200 a.C. se había desarrollado un sistema de escritura de unos 30 signos numéricos y 800 signos no numéricos que se utilizaban para designar objetos numerados, nombres de lugares y títulos oficiales.[3]

El sistema de representación sumerio era aditivo, al igual que el de los números romanos que todos conocemos. Eso significa que se utilizan diversos símbolos para algunas cantidades claves y se van colocando de modo que se suman al colocarlas en un orden preestablecido: de derecha a izquierda en la numeración sumeria, de izquierda a derecha en el sistema romano (obsérvese que en este caso, cuando un número menor está colocado antes que uno mayor, se resta. Ejemplos: 9 = IX, 40 =XL).

Recordemos cómo escribimos ahora los números prácticamente en todas partes del mundo. El sistema es posicional de base 10. Esto quiere decir lo siguiente: hay 10 símbolos que llamaremos dígitos que representan la unidad hasta nueve veces. Esos símbolos son 1, 2, ..., 9, y luego está el símbolo de ninguna unidad, que es el cero, 0. Cualquier número se escribe poniendo esos símbolos unos detrás de otros, de modo que el número representado es la suma del último (el que está más a la derecha) dígito, más 10 por el anterior, más 100 por el que está antes de ése, etcétera. Así:

3027 = 7 + 2 por 10 + 0 por 100 + 3 por 1000.

Se dice que es posicional porque el valor de cada símbolo depende de dónde esté ubicado en la sucesión, y de base 10 porque se multiplica por las potencias de 10: 1, 10, 100 = 10 por 10, 1000 = 10 por 10 por 10, etcétera.

Y ya que el cero aparece explícitamente, les trasmito una observación que me ha causado sorpresa. Quienes han descifrado la escritura y sistema de numeración mayas (la fecha de culminación del proceso de interpretación fue alrededor de 1970) consideran que el símbolo interpretado como el del cero tiene un significado diferente al nuestro. No es el símbolo de la nada, sino que sirve para indicar que un ciclo o periodo de tiempo ha culminado; en ese sentido fue interpretado como el cero del periodo siguiente, aunque parecía usarse como fin del anterior, por lo que los arqueólogos lo llaman glifo de cabalidad o de completamiento. Se puede decir que indica un periodo de tiempo acabado, completo o 'ajustado a la medida'.

En este sentido, admitido que el símbolo de cabalidad oficia como cero, el sistema llamado maya era posicional mixto (vertical) de base 20, pues un mismo símbolo tenía diferente valor según la posición en que estuviera colocado, pero para escribir cada número 'simple' usaban un sistema aditivo. El número 6, por ejemplo, se representaba con una raya y un punto (5 + 1) y significaba eso si estaba solo, y 6 por 20 si estaba seguido, en posición vertical descendente, por otro número. Por ejemplo, nuestro actual número 66 se representaba poniendo tres puntos, y debajo, separándolo de alguna manera, un punto y una raya. El sistema podía mover a confusión si la separación no era clara, por no tener símbolos diferentes para cada uno de los números 'simples'. En el ejemplo, también se podía leer como 4 por 20 y 5, o sea nuestro 85. Eric E. Thomson escribió:

El sistema maya se asemeja al que usamos nosotros, y sólo se diferencia de él en algunos aspectos: los números se colocan en sucesión vertical y no horizontal; los signos ocupan los vacíos en los distintos órdenes de unidades y los que vienen a ser nuestros ceros sirven para indicar la cabalidad de las cantidades: normalmente no significan cero, es decir, no son símbolos de la nada; el sistema es vigesimal (la unidad básica de progresión es el veinte), no decimal.[4]

Puede ser interesante anotar aquí que entre los antiguos aztecas, cuya lengua es el náhuatl, los números base del sistema (1, 20, 400 = 20 por 20; 8000 = 400 por 20) tenían representaciones diferentes (pequeño círculo o punto, bandera, pluma, bolsa de maíz) lo cual podría ser tomado como un retroceso en relación con el sistema puramente posicional de los mayas, donde sólo hay necesidad de representar los 20 primeros números del 0 al 19.

Los sistemas posicionales tienen la gran ventaja de que utilizan pocos símbolos (la cantidad máxima es el número de la base). Si los símbolos son todos distintos no hay lugar a confusión y, lo que quizás sea más importante, simplifican mucho los cálculos con las operaciones más elementales: la suma y la multiplicación. Como ejercicio difícil, le sugiero al lector que trate de hacer sumas y multiplicaciones con los números romanos y que analice con cuidado cómo se hacen esas operaciones con nuestro actual sistema; en el último ejercicio verá que se usa de manera crucial el carácter posicional del sistema.

Pero, mantengamos el curso principal de este artículo que trata de mostrar cómo el progreso de la matemática está íntimamente vinculado a las etapas del desarrollo cultural de la humanidad, usando como ejemplo el de la representación de los números que es el objeto matemático más sencillo. ¿Desde cuándo nuestra cultura, que se da en llamar occidental, representa los números como ahora lo hacemos? O sea, partiendo de que nuestro sistema es terrestre y humano, ¿cuándo surgió?, ¿cómo se extendió? Les recuerdo el epígrafe del artículo:

Conceptos que han probado su utilidad para ordenar las cosas fácilmente han adquirido tanta autoridad sobre nosotros que olvidamos su origen terrestre y los aceptamos como hechos inalterables. Entonces pasan a estar etiquetados como 'necesidades conceptuales', 'situaciones a priori', etcétera.

Mohammed Ibn Musa Al-Jwarizmi (783-850), conocido como padre del álgebra

Empecemos por lo último, y para no marear mucho las cosas, restrinjámonos a preguntar ¿cuándo se instauró en Europa el sistema que ahora usamos? La respuesta es sorprendente. Europa generalizó la escritura y el cálculo con los actuales números en el siglo XIII.[5] Leonardo de Pisa (Fibonacci) escribió en ese siglo una obra crucial (Libro del ábaco), de contenido muy extenso, que indujo, casi de inmediato, el uso generalizado del sistema en la actual Italia. La divulgación se generalizó también a través del poema Carmen de algorismo del franciscano francés Alexandre de Villedieu y de la obra Algorismus vulgaris de Juan de Halifax, también conocido como de Sacrobosco. El empleo de muchas de las nuevas palabras (algoritmo, álgebra) indicaba de dónde provenía el nuevo método: el mundo árabe. Es por ello que se dio en llamar números arábigos a los que usamos. Pero esta denominación es confusa, como veremos de inmediato. Para evitar errores que casi cometo yo mismo, recuérdese que no todas las palabras que comienzan con letra 'a' son de origen árabe: ábaco y aritmética provienen del latín y el griego. La aritmética es la vieja 'ciencia griega de los números', que poco tiene que ver con lo que estamos analizando. El cero, que era el nuevo símbolo, a veces era llamado zephirum, 'cifra' en latín (de sifr, que quiere decir 'vacío' en árabe) y otras, circulus, 'pequeño círculo'.

Pues bien, los matemáticos que ahora llamaríamos italianos, franceses, ingleses, bebían del mundo árabe para aprender la nueva ciencia de esa numeración y sus operaciones. Las obras originariamente escritas en árabe eran traducidas al latín especialmente en España (y aún más especialmente en Toledo), donde los árabes que habían cruzado el Mediterráneo dominaban desde antes del año 1000 (fueron -desgraciadamente- expulsados el mismo año que Colón llegó a nuestras tierras: 1492).

Cuadro que muestra las correspondencias entre las letras y los números, una vez establecidas en Grecia las minúsculas.

Por tanto, los nombres de muchas de las palabras usadas en este ámbito vienen naturalmente del árabe. Álgebra viene de al- ^yabr, el restablecimiento o la restauración del orden,[6] y se refiere a la reducción, al pasaje de un miembro a otro de una igualdad. Algoritmo, procedimiento de cálculo, proviene de al-Jwarizmi, nombre de un célebre matemático de Bagdad que en siglo IX escribió tres obras, una especie de compendio de la matemática árabe: Libro del álgebra y de al-muqabala, Libro sobre la suma y la resta y Libro del cálculo indio.

El título de esta última obra marca el origen de toda la historia. En la época de esplendor del mundo árabe centrado en Bagdad, el califa Al-Ma'mun fundó la Casa de la Sabiduría, verdadera universidad en que se favorecía el intercambio cultural con la India y la traducción de manuscritos. Y de allí provenía el sistema que salvo detalles de los símbolos era el que ahora usamos.

Este artículo ya está demasiado largo, por lo que nos restringiremos ahora a expresar que la formulación actual de la escritura de los números se ha podido rastrear hasta el siglo VII de nuestra era. En documentos de esos tiempos ya está toda la estructura tal cual: posicional, decimal, con un símbolo para el cero. Y yendo más atrás, se remontan al siglo III antes de nuestra era las primeras constancias arqueológicas de escrituras en la India en las que aparecen símbolos para las nueve unidades, un símbolo completamente distinto para cada decena, otro para el 100 y otro para el 1000: el sistema decimal estaba en gestación. En esa época, y quizás antes, el lugar que luego vino a ocupar el símbolo del cero se dejaba vacío. Gûnya, que significa 'vacío', era utilizado para indicar el valor nulo en alguna posición. Y más atrás en el tiempo, la escritura bràhmì (siglo III antes de nuestra era) contenía los gérmenes que luego derivarían hacia nuestra notación actual.

Una pregunta puede quedar flotando ¿cómo escribía los números nuestro mundo occidental y cristiano antes de que aprendiéramos los actuales, de los árabes e hindúes? La pregunta tiene respuesta; es interesante, pero escapa al objeto de este artículo.

Existe hoy una generalizada pérdida de apreciación de lo que los matemáticos y la matemática pueden lograr y de la importancia de la disciplina. Una parte de la culpa la llevan los matemáticos y los profesores de matemática, al no explicar su disciplina en un sentido general a sus estudiantes, al público y a los gobiernos. Otra parte la lleva la confianza ciega en que las computadoras son una caja negra que puede dar respuesta a todos los problemas matemáticos, sin comprender los procesos involucrados ni los conceptos que se trata de manipular. Así, tanto los alcances como las limitaciones de las computadoras dejan de ser entendidos; la base matemática es olvidada (y quizás deja de ser desarrollada) y las computadoras podrían ser usadas de modo inapropiado, o simplemente limitar el diseño de software. Y hay otros 'culpables'; sobre esto escribí en otro artículo de esta misma revista ("La Matemática en la escuela", número 18, noviembre de 1997).

Necesitamos un verdadero entendimiento generalizado de las formas en que la matemática ha jugado y juega un papel en la sociedad en que vivimos. Este trabajo trata de reivindicar el contenido cultural de la matemática y la presentación de ésta como la profunda historia y creación humana que en realidad es. El profesor debería saber cómo se han formado las ideas matemáticas para:

. Comprender las dificultades que tuvo la humanidad para elaborarlas.

. Relacionar unas ideas con otras, relaciones que muchas veces aparecen oscurecidas o incomprensibles en su formulación actual.

. Utilizar estos conocimientos como referencia en sus formas de enseñar.

El papel de los maestros para lograr impregnar su didáctica de la matemática de este contenido cultural, de la influencia de la matemática en la formación de los valores más ricos de la humanidad, de su profundo carácter histórico y evolutivo, es fundamental. No quepan dudas de que si ese espíritu caracteriza la enseñanza, su aprendizaje se facilitará.

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