Análisis
de algunas lecciones
En este
artículo, perteneciente a la serie El texto gratuito
de matemáticas en la educación primaria. Un método de análisis
para optimizar su uso se dará una breve descripción
del libro de texto gratuito de matemáticas de cuarto grado
[2]
y se analizarán algunas lecciones seleccionadas para ejemplificar
el uso de la metodología propuesta.
El libro
de texto gratuito de matemáticas de cuarto grado tiene una
estructura semejante a la del libro de tercero. Está formado
por cinco bloques de entre quince y veintiuna lecciones
de una o dos páginas cada una. Los primeros dos vienen precedidos
por una página en la que se presenta a los personajes que
protagonizarán las lecciones de dichos bloques y los otros
tres vienen precedidos por una página en la que vuelven
a aparecer, sin mencionar los nombres, los personajes que
se han presentado en los primeros bloques. La penúltima
lección de cada bloque es una lección de repaso de algunos
de los contenidos vistos en él, y la última no es propiamente
una lección sino una página en la que se presentan juegos
y actividades. En cada una de las lecciones hay un margen
de color que identifica al bloque al que pertenece la lección.
En el índice aparecen las lecciones numeradas dentro de
cada bloque con su nombre y el contenido o contenidos principales.
Al final del libro viene un anexo con material recortable
que se utiliza en algunas lecciones. El diseño gráfico,
en general, es sencillo y agradable. Cabe señalar que en
algunas lecciones aparecen recuadros en los que se recuerda
algún concepto o definición. Estos recuadros casi siempre
son de color amarillo aunque en una de ellas es de color
morado que es el color que se usa para algunos ejercicios
de mecanizaciones, aunque a su vez uno de éstos aparece
en un recuadro de color amarillo.
En general,
cada lección abarca uno o dos contenidos principales y algunos
pocos contenidos integrados, lo que tiene la ventaja de
no hacer tedioso ni confuso el material para el alumno,
pero por otro lado algunas de las lecciones parecen quedar
truncadas ya que, por no utilizar más espacio que el de
dos páginas, no se puede profundizar en los contenidos y
dan la impresión de estar inconclusas.
En este
trabajo se analizarán las siguientes lecciones:
La ONU,
que es la tercera lección del bloque 2, se eligió porque
su contexto puede motivar e interesar al niño en el manejo
de los contenidos que aborda. Además se puede relacionar
con otras asignaturas como historia.
La lección
Galletas redondas es la número 18 del bloque 2. Ésta
corresponde a un ejemplo de lección en la que se presenta
un solo contenido principal: las fracciones como reparto;
la manera de presentarlo permite, al visualizar la forma
de realizar los repartos, favorecer la comprensión del concepto.
La lección
17 del bloque 3, Hacemos recetas, se eligió debido
a que, de manera sencilla -que también resulta útil y agradable-
se manejan conceptos de variación proporcional.
La lección
El lugar del tesoro es la octava del bloque 4. Ésta
es un ejemplo de una lección malograda debido principalmente
al diseño gráfico ya que éste es impreciso. Por otro lado,
los trazos que hay que realizar no quedan suficientemente
explicitados y las instrucciones tampoco son claras.
A continuación
se analiza con más detalle cada una de las lecciones seleccionadas.
La ONU
Esta lección
(pág. 52 y 53) inicia presentando al niño un texto pequeño
sobre la fundación de la onu y planteándole preguntas acerca
de lo que dice dicho texto. Después se le da información
sobre unidades de tiempo como el lustro y la década y se
le pide responder algunas preguntas utilizando estos conceptos.
En la siguiente actividad se informa sobre algunas fechas
históricas importantes y nuevamente se hacen preguntas acerca
del tiempo transcurrido a partir de estas fechas y de su
ubicación en la línea del tiempo. Por último se pide al
alumno que mencione acontecimientos que hayan ocurrido hace
una semana, un mes, un año, un lustro y una década. Las
fechas entonces conforman el contexto unificador alrededor
del contenido de unidades de tiempo a partir del cual se
plantean y se resuelven los problemas.
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Como se
ha mencionado, los contenidos principales de esta lección
se refieren a unidades de tiempo mayores que el día (semana,
mes, año, lustro y década), referentes al eje de medición.
También se trabajan, aunque con menor énfasis, contenidos
referentes a resolución de problemas a partir de enunciados
con datos numéricos, lo que corresponde al eje de tratamiento
de la información y a ubicación de años en la línea
del tiempo, contenido relacionado con el orden numérico,
que junto con la operatividad entre los números pertenecen
al eje de aritmética. Como contenido implícito se
puede señalar la transformación de unidades (años, lustros,
décadas).
Es pertinente
hacer una observación en el sentido de que, al pedir al
niño que se ordenen los años en la línea del tiempo, se
advierte que las unidades no se han respetado, así el intervalo
correspondiente al tiempo transcurrido entre 1910 y 1919
no es proporcional al tiempo transcurrido entre 1919 y 1938
ni a los otros periodos. Aunque esto no impide que el niño
pueda realizar la actividad de ordenar las fechas, sí puede
crear conflictos posteriores. A pesar de lo anterior se
puede mencionar que en general el diseño es sencillo y agradable.
Por otra
parte, en esta lección se propicia en el niño el desarrollo
de habilidades como son las estrategias de acomodamiento
de la información al tener que extraer del texto aquella
que sea necesaria; la expresión escrita al tener que redactar
los acontecimientos ocurridos; el hacer analogías como relacionar
década con decena; y hacer generalizaciones al tener que
calcular tiempos transcurridos, cumpleaños, aniversarios,
etcétera. Además, el niño debe realizar diversas acciones
como ordenar fechas y números y ubicarlos en una línea del
tiempo, registrar información escrita en una tabla y hacer
operaciones. Aunque todos los problemas planteados se refieren
a fechas, hay variedad en el sentido de que algunas vienen
incluidas en pequeños textos y el alumno debe distinguir
la información relevante. Algunos problemas consisten en
responder a preguntas acerca del tiempo transcurrido entre
dos fechas determinadas, para lo cual debe buscarse una
estrategia; otra actividad consiste en ordenar cronológicamente
los acontecimientos y ubicar las fechas correspondientes
en una línea del tiempo; por último el alumno debe escribir
algunos hechos ocurridos hace determinado tiempo. Por lo
anterior, la lección puede interesar al alumno, por ejemplo,
para calcular el tiempo transcurrido a partir de fechas
que le sean de interés y le plantea un reto al inducirlo
a desarrollar la estrategia para llevar a cabo estos cálculos.
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Al tener
que operar con las fechas y saber en determinado tiempo
cuántos lustros o décadas han pasado, se está propiciando
la búsqueda de un procedimiento y poniendo verdaderamente
en juego el contenido; se da pie para que el maestro pueda
explotar los problemas y a partir de ellos plantear otros
similares: puede, por ejemplo, trabajar fechas relacionando
el tema con la asignatura de historia, o se pueden trabajar
más problemas de conversión de unidades y aprovechar las
situaciones en las que aparezcan decimales.
El contexto
de la onu ya se manejó previamente en el mismo bloque refiriéndose
a otros contenidos, sin embargo, sólo en una lección anterior
se han tratado unidades de tiempo pero principalmente menores
que el año, y no se vuelven a tratar, a pesar de que en
el libro del maestro[3]
(pág. 42) se menciona que el tiempo es una de las nociones
más difíciles de adquirir. Es la única vez que se utiliza
la línea del tiempo en este libro y, aunque sí se trabaja
la recta numérica, no se maneja como línea del tiempo.
Galletas
redondas
En la lección
Galletas redondas (págs. 82 y 83) se presentan unos
dibujos que muestran diferentes cantidades de galletas y
de niños. La idea es que el alumno realice los repartos
de galletas en la forma que considere más conveniente. Suponiendo
que el reparto se hace de manera equitativa, a cada niño
le tocan fracciones de galleta. Primero, la idea es tratar
de "adivinar" en qué caso le tocarán más galletas a cada
niño y después, verificar la respuesta, para lo cual es
necesario diseñar de qué manera se hacen los repartos, ordenar
las fracciones y poder contestar las preguntas que se plantean
a continuación. Posteriormente, se presentan otros dibujos
en los que nuevamente el alumno debe hacer tres repartos
y responder preguntas similares a las anteriores. Finalmente,
se le informa en qué caso toca más de una galleta, menos
de una galleta o exactamente una galleta a cada niño y se
le pide que ilustre cada una de estas situaciones. El diseño
de esta lección es sencillo y los dibujos son agradables,
además de que permiten visualizar fácilmente la situación.
Contextos familiares como éste propician que la lección
le interese al niño, además de que la diversidad de acciones
que tiene que realizar hacen que mantenga la atención. Para
hacer los repartos el alumno tiene que relacionar a cada
niño con la galleta o las fracciones de galleta; anticipar
para determinar si a cada uno le tocará menos de una galleta,
una galleta o más de una; diseñar la estrategia; verificar
si su reparto ha sido correcto; explicar lo que hace; ordenar
las fracciones y dibujar.
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Aquí se
observa que a partir de un contexto conductor y unificador,
los repartos de galletas, se trabajan de manera explícita
los contenidos del eje de aritmética: fracciones
como reparto y orden entre fracciones, además del uso del
símbolo "<". Estos contenidos, salvo porque debiera aclararse
que los repartos se tienen que hacer de manera equitativa,
están tratados en forma correcta. A lo largo del libro hay
varias lecciones en las que se trabajan estos mismos contenidos.
En el primer bloque se han trabajado previamente pero en
fraccionamiento de longitudes y en este mismo bloque hay
otras lecciones que tratan el contenido de fracciones, una
de ellas, la número 9, también en situación de reparto pero
sin hacer comparaciones. En el siguiente bloque vuelve a
aparecer el mismo contexto con los mismos contenidos.
La forma
en que inicia la lección permite la búsqueda de una estrategia
para la repartición y comparación de fracciones, poniendo
el contenido en juego y al mismo tiempo favoreciendo el
desarrollo de habilidades en el niño que abarcan en cada
actividad, el diseño de la estrategia para efectuar los
repartos y poder responder a las preguntas, plantear hipótesis
sobre sus resultados y explicar el porqué de sus respuestas.
Además permite desarrollar las habilidades de hacer analogías
con otro tipo de repartos y situaciones, y generalizar al
observar qué fracción de galleta(s) toca para cierto número
de niños. Aunque los problemas son todos del mismo tipo,
algunos repartos son más sencillos; el maestro puede explotarlos
y construir otros similares haciendo repartos en los que
los objetos no puedan partirse y otros en los que sí se
pueda, aunque aquí se recomienda el reparto de materiales
que, a diferencia de las galletas, no se desmoronen fácilmente.
Hacemos
recetas
En la lección
Hacemos recetas, (pág. 122 y 123) como su nombre
lo indica, el contexto conductor son recetas de cocina.
Esta lección inicia dando las instrucciones de un paquete
para elaborar gelatina para 6 personas; aquí se trabaja
el análisis de información contenida en ilustraciones que
corresponde al eje tratamiento de la información.
A partir de estos datos se le pide al alumno que responda
a ciertas preguntas y después que encuentre la cantidad
de paquetes que se necesitan para hacer gelatina para un
mayor número de personas, abordando el contenido de variación
proporcional que corresponde al eje procesos de cambio.
A continuación se le piden las cantidades necesarias de
ingredientes para hacer más gelatinas.
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En las
siguientes actividades se dan los ingredientes para preparar
tortas y se pide al alumno que encuentre las cantidades
necesarias de cada ingrediente para preparar un mayor número
de tortas. Finalmente, a partir de los ingredientes que
lleva un pan de naranja para 4 personas, el alumno debe
proporcionar la cantidad necesaria de éstos para elaborar
un pan para un número más reducido de personas. El principal
desafío se presenta al niño en esta última parte, pues varios
de los ingredientes se manejan en fracciones y debe encontrar
cuánto se reducen éstas en cada caso.
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La multiplicación
y división con enteros o de una fracción por un entero,
contenidos que corresponden al eje de aritmética,
están en juego a lo largo de toda la lección exigiendo al
alumno buscar los procedimientos para resolver los problemas.
Aunque éstos son todos del mismo tipo, en el sentido de
que tratan de modificar cantidades en las recetas, en algunos
casos hay que aumentar dichas cantidades con respecto a
la receta original y en otros hay que reducirlas; además
se trabaja con fracciones, lo que da a la lección riqueza
y potencial de interés.
En la segunda
lección del libro se empieza a trabajar con tablas sencillas
de variación proporcional; no es sino hasta el último bloque
que se vuelven a trabajar tanto con números naturales como
con fracciones y pidiendo que se aumenten o se disminuyan
las cantidades.
El diseño
gráfico es adecuado, sin embargo, hay que marcar que a la
palabra "kermés" no se le puso el acento. Por otra parte,
se eliminaron las unidades: cucharadas, rebanadas, gramos,
etcétera, en las recetas que se tienen que completar para
determinado número de personas. Esta situación puede ser
aprovechada por el maestro para trabajar el contenido de
unidades de medición convencionales y no convencionales,
puesto que los problemas son explotables e incluso se pueden
realizar experimentos relacionados con ciencias naturales
o con alguna otra asignatura.
El contexto
y la diversidad de acciones que el alumno debe realizar
ayudan a mantener su interés. Estas acciones abarcan: interpretar
la información contenida en ilustraciones, diseñar la estrategia
para adecuar la receta a un número mayor o menor de personas,
operar con las cantidades de ingredientes de las recetas
y comparar cantidades; también se propicia en el niño el
desarrollo de habilidades como las de hacer analogías y
generalizaciones y la reversibilidad de procesos para poder
aumentar y disminuir las cantidades en las recetas.
El lugar
del tesoro
El lugar
del tesoro (págs. 142 y 143) es la lección elegida como
ejemplo de una lección malograda. Inicia proponiéndole al
alumno una actividad que consiste en localizar el lugar
en donde está enterrado un tesoro, para lo cual tiene que
trazar círculos con el compás a cierta distancia de una
fuente, un monumento, un pozo y un árbol, los cuales de
acuerdo con su correspondiente escala en centímetros, tienen
alturas de: la fuente 4.4 metros, el monumento 5.2 metros,
el pozo 3.3 metros y el árbol 3.6 metros. Esto plantea algo
irreal pues, por ejemplo, un pozo de ese tamaño no es común,
y por otra parte hay errores de proporcionalidad en estos
dibujos, como el de que el monumento es demasiado alto para
el diámetro de la base que lo sostiene. Por otra parte,
la perspectiva de los dibujos sugiere que al trazar un círculo
alrededor de esas figuras, éste debería verse como una elipse.
Después se pide al alumno que dibuje una fuente con ciertas
características, pero no se aclara, al igual que en la actividad
anterior, que la perspectiva que se quiere es desde arriba.
En el siguiente problema se pide que se tracen círculos
sobre una línea y en otra hay que reproducir una figura.
Por último se pide a los alumnos que tracen círculos en
el patio como se muestra en el dibujo.
Uno de
los problemas principales de esta lección es su diseño gráfico.
Además de que hay errores en las escalas de los dibujos
de la primera actividad, en cada uno de ellos se marca una
cruz que prácticamente no se distingue y que supuestamente
es el centro de los círculos a trazar. En la actividad 3,
por la forma en que están dispuestos los círculos sobre
la línea, no se puede saber cómo deben trazarse los círculos
subsecuentes y el trazo de la figura de la actividad 4 es
bastante complicado. Por otro lado, los espacios son incómodos
para el trazo pues son los interiores de las páginas. Otro
de los problemas es la poca claridad en las instrucciones
a seguir.
Aunque
supuestamente hay un contexto conductor y unificador -los
documentos del rey-que podría ser interesante para el niño,
éste resulta forzado y es un mero pretexto para el trazado
de círculos, además de que es absurdo que en un documento
"muy antiguo" se hable de metros.
Los contenidos
corresponden al eje de geometría (concepto y trazo
de círculos con procedimientos informales y usando el compás,
reproducción de figuras y elaboración de figuras a escala);
sin embargo hay dificultades en su tratamiento pues se pide
que se tracen círculos con una perspectiva que no corresponde
y a cierta escala que, como se mencionó anteriormente, no
se respeta en los dibujos que apoyan la actividad. Es difícil
saber cómo reproducir las figuras de las actividades 3 y
4, aunque esto podría verse como una ventaja si el niño
lo toma como un reto. Es la única lección del libro en la
que se utiliza el compás y se trazan circunferencias, aunque
ya se ha pedido la reproducción de figuras y el trazo de
figuras sencillas a escala.
Las acciones
que supuestamente debería realizar el alumno son diseñar
la estrategia, medir, trazar, localizar y discutir los procedimientos
seguidos, y las habilidades que se pretende desarrollar
son la coordinación motriz, el seguimiento de instrucciones
para la ubicación del lugar donde deben trazarse los círculos,
la estimación de resultados de disposición espacial, la
percepción de formas, posiciones relativas y perspectivas.
A pesar de la variedad de acciones, y de que se pretende
desarrollar diversas habilidades, no se logran los propósitos
de la lección y el niño puede perder el interés al sentir
que no puede entender o realizar las actividades propuestas.
Aunque
puede establecerse que el alumno debe buscar un procedimiento,
éste no es para el trazo de los círculos en sí, sino para
determinar el lugar en el que deben trazarse. Por lo anterior
el contenido no se pone verdaderamente en juego. Como todos
los problemas se refieren al trazo de círculos, ya sea que
tengan su centro en un punto dado o que el alumno tenga
que decidir en qué lugar reproducir la figura, el maestro
no puede explotar los problemas.
| Como ya se mencionó, salvo en la primera actividad
en que se plantea la búsqueda de un tesoro, las demás
actividades no parece que puedan despertar mayor interés
en el alumno. Tal vez el trazo de la figura que debe
reproducirse en la actividad 4 puede plantear un reto
pero no así las demás actividades. Por otra parte, el
salir al patio a trazar círculos con los procedimientos
ejemplificados en el dibujo puede no tener sentido si
no se han logrado los propósitos planteados con las
actividades del aula. |
Conclusiones
Esperamos
que el ejemplo de metodología de análisis le sea de utilidad
y pueda servirle de apoyo en sus clases. Asimismo, lo invitamos
a leer, en el siguiente número de esta revista, los artículos
correspondientes a quinto y sexto grados con los que concluimos
la serie.
_____________________________
*
Las páginas de las lecciones analizadas en este artículo
aparecen a color las páginas 51 y 52
[1]
Profesora de la Universidad Pedagógica Nacional,
Unidad Ajusco. Participante en el proyecto "Estudios
sobre los procesos implicados en la enseñanza de
matemáticas y estadísticas".
[2]
AVILA, Alicia et. al. Matemáticas. Cuarto grado,
SEP, México, primera edición, 1994, segunda
reimpresión revisada 1995, 189 págs. Tiraje
2 665 000ej.
[3]
Libro del Maestro. Matemáticas. Cuarto Grado, SEP,
México, primera edición, 1994.
