Análisis
de algunas lecciones
Este artículo
es el tercero de la serie que inició en el número anterior
de esta revista. La serie de artículos ha sido precedida
por otro más titulado El texto gratuito de matemáticas
en la educacion primaria. Un método de análisis para optimizar
su uso, el cual apareció en ese mismo número de Correo
del Maestro, y en el que se presentaba una metodología
de análisis para los libros de texto gratuitos de matemáticas.
Los primeros dos artículos se centraban en los libros de
primero y segundo grados, el presente artículo está dedicado
al texto del tercero.
El libro
de texto gratuito de matemáticas del tercer grado [2]
consta de 88 lecciones agrupadas en cinco bloques. Aparentemente,
la intención de dividir así el libro es únicamente la de
facilitar su uso, ya que en cada bloque aparecen lecciones
que corresponden a todos los ejes temáticos de los programas
de estudio. Cada grupo de lecciones tiene una portada; las
del primero y segundo bloques son aprovechadas para presentar
a los personajes protagonistas de las lecciones. La inclusión
de estos protagonistas es un recurso en el que se apoyan
los autores para dar estructura a las lecciones que forman
el libro y es un elemento que no se presentaba en el libro
de los grados anteriores. Las últimas páginas de cada uno
de los bloques del primero al cuarto se titulan Juegos
y Actividades y se utilizan para incluir tareas recreativas
relacionadas con los diferentes ejes temáticos, no necesariamente
tratados en el bloque respectivo. Al final del quinto bloque
aparecen los personajes de las lecciones participando en
una fiesta en un salón de clases. En el pizarrón puede leerse
: "¡Felices vacaciones!"
El libro
inicia con un comentario general acerca de la versión actual
de los textos gratuitos. En la siguiente página está el
índice que señala el número y título de las lecciones separadas
por bloques. En la mayoría de los casos, el título no da
información acerca de los contenidos que se tratarán sino
del contexto en el que se situarán.
Las
últimas páginas del libro son hojas de material recortable
que se requiere para trabajar algunas de las lecciones.
Cada
lección se presenta en dos páginas encontradas y, por lo
general, los contenidos abordados corresponden a un solo
eje temático aunque existen algunas excepciones. Los dibujos
y gráficas se insertan adecuadamente en el texto, esto es,
no dificultan la lectura. Por el contrario, en su mayoría
sirven para apoyar o sustituir al texto además de cumplir
una función decorativa lo que resulta en una presentación
agradable y atractiva para los niños. De cualquier manera,
existen casos en que los dibujos causan confusiones o no
son adecuados para las actividades planteadas.
En los
siguientes párrafos se usará la metodología descrita en
el artículo ya mencionado para analizar algunas de las lecciones
del libro de texto gratuito de matemáticas de tercer grado.
La elección de las lecciones para ser analizadas con la
metodología propuesta obedeció a la intención de presentar
ejemplos que globalmente puedan considerarse como bien logrados,
esto es, que responden a las preguntas planteadas para llevar
a cabo el análisis de manera positiva. Esto es satisfecho
por la mayoría de las lecciones con excepción de algunos
detalles. También se trató de incluir el caso opuesto, esto
es, de introducir algunas de las escasas lecciones que se
pueden considerar como no bien logradas.
La lección
La mariposa monarca, que es la sexta del segundo
bloque, se eligió por ser una que pudo ser bien lograda
de no ser por el aspecto gráfico que, aunque muy agradable
por tratarse de cientos de mariposas, no es adecuado para
realizar las actividades propuestas.
La decimocuarta
lección del bloque 2, A formar números, se eligió
por ser un buen ejemplo de cómo abordar diferentes contenidos
de un mismo eje temático en un contexto que motiva a los
niños, ya que se trata de un juego.
Los
animales de la granja, que es la quinta lección del
bloque 3, es un ejemplo de una lección que integra contenidos
de diferentes ejes temáticos en un contexto atractivo para
los niños.
Por
último se incluye El aeropuerto, que es la décimo
primera lección del bloque 1 y que es un ejemplo de una
lección malograda por un tratamiento incorrecto de conceptos
complejos y otras razones que se discuten en los siguientes
párrafos en los que se hace el análisis detallado de las
lecciones que se han mencionado.
La mariposa
monarca
En esta
lección (pág. 54) se trabaja con agrupamientos de 10 en
10 y de 100 en 100 para repasar el significado de los vocablos
"decena", "centena", para introducir el "millar" y para
que el niño los aplique a la estimación y al conteo de una
colección de objetos.
La lección
inicia situando a los niños en un contexto que da unidad
a la lección: los protagonistas del libro han ido al santuario
de la mariposa monarca y han traído unos dibujos llenos
de mariposas. En seguida plantea preguntas que permiten
al niño recordar las definiciones de decena y centena, así
como la relación entre estas nociones. El resto de la lección
consiste en que los niños hagan agrupamientos con las mariposas
en decenas y centenas, que ejerciten el conteo de 10 en
10 y de 100 en 100 y que lo relacionen con el millar.
La situación
problemática inicial, que es la presentación de las ilustraciones
con las mariposas, sería muy adecuada de no ser porque el
diseño gráfico echa a perder cualquier posibilidad de trabajo.
Es cierto que los dibujos que se presentan son muy agradables
y atractivos, pero pierden su encanto cuando se empiezan
a hacer los agrupamientos. En principio es deseable que
los niños busquen una estrategia eficiaz para hacer los
agrupamientos, pero las mariposas son tan pequeñas y están
tan amontonadas que ello resulta demasiado laborioso. Casi
de cualquier manera que se empiece o se planee la tarea,
al estar un rato trabajando sobre el dibujo, la vista se
cansa y se incurrirá en errores de conteo. El maestro podría
remediar esta situación utilizando ampliaciones de los dibujos
de la lección y poniendo a los niños a trabajar en equipos
desde el inicio. De esta manera se podría aprovechar la
lección y explotarla proponiendo a los niños otras actividades
similares.
Los
contenidos matemáticos no tienen errores de concepto y su
uso está correctamente planteado. Tal como se dijo, el problema
es el diseño gráfico, totalmente inadecuado para las actividades
que se proponen, ya que acciones simples como observar y
agrupar pueden resultar pesadas.
Ésta
es una lección que intenta poner en juego y desarrollar
ciertas habilidades en el niño como el conteo por agrupamientos,
la estimación de la cantidad de elementos que forman una
colección, y la búsqueda de un patrón para completar una
serie. Éstas son algunas de las que podrían trabajarse,
a pesar del dibujo. Lo que no es posible es diseñar una
buena estrategia de conteo.
Dentro
del libro, la lección tiene como antecedentes otras dos
en las que se ha trabajado con las decenas, las centenas
como agrupamientos de decenas y el millar como agrupamiento
de centenas. Sin embargo, es la primera vez que este concepto
se va a usar para estimar y contar una colección grande
de objetos. Posteriormente, hay otras dos lecciones en las
que se hacen agrupamientos, y todas ellas son un antecedente
para el trabajo con el valor posicional.
Los
ejercicios planteados son siempre del mismo tipo: realizar
conteos con distintos agrupamientos. El problema es hacerlo
en el dibujo para poder verificar su estimación, responder
a las preguntas planteadas, y completar la serie que ya
no es de 10 en 10, ni de 100 en 100 sino de 500 en 500.
El hacer una buena estimación y verificarla es un reto para
los niños, sin embargo éste se verá frustrado cuando los
pequeños traten de comprobar su hipótesis debido a los problemas
en el diseño gráfico que ya se han mencionado.
Otro
error que tiene esta lección es la pregunta 3, en la que
se plantea: ¿cuántas mariposas hay en los 5 libros? Sin
especificar a cuáles libros se refiere. Este error es particular
de la edición que se revisó ya que en la primera impresión
no aparece, pues antes de preguntar por las mariposas de
los 5 libros, se le pide al niño que se reúna con 4 compañeros.
Lo que
aporta el tratamiento de la lección a la propuesta didáctica
es el poner énfasis en los agrupamientos que preparan el
terreno para posteriores actividades relacionadas con el
valor posicional como la comparación de números de varias
cifras y la presentación de los algoritmos de las operaciones
elementales de una forma razonada y no mecánica o memorística.
¡A formar
números!
En la lección
¡A formar números! (pág. 70) se trabaja con un solo
contenido: el valor posicional y su aplicación en la comparación
de números naturales. La realización de un juego que consiste
en formar el número más grande posible con los dígitos escritos
en cuatro tarjetas que se toman al azar de un montón de
ellas, es el contexto unificador con el que se pretende
motivar a los niños.
Los
contenidos están tratados con corrección y son puestos en
juego por la situación problemática que consiste en el planteamiento
de la actividad con las tarjetas que contienen los dígitos.
Esta situación permite la búsqueda de estrategias ya que
no se indica cómo hacer para ganar -por lo que el maestro
puede plantear algunas modificaciones a las reglas del juego
lo que hace explotable a la lección. Un caso interesante
puede ser el de tratar de lograr un acuerdo acerca del uso
del cero en la primera cifra. Aunque nunca se indica cuántas
cifras debe tener el número formado es importante llegar
a un acuerdo acerca de si se vale formar un número con el
0 al principio, en tal caso, conviene tener presente que
el natural formado sería, en realidad, un número de tres
cifras, no de cuatro.
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Las
habilidades que se desarrollan tienen que ver con encontrar
la estrategia para formar el número más grande. Es posible
que algunos alumnos utilicen en un principio el camino de
ensayo y error; más adelante la búsqueda de la estrategia
ganadora los llevará a utilizar el valor posicional y así
avanzar en la comprensión de éste.
La lección
tiene como antecedentes otras en las que se ha trabajado
con agrupamientos hasta el orden de los millares y una lección
en la que se usa el contador de cuatro cifras. Por otro
lado, es un antecedente para lecciones posteriores en las
que se trabaja el valor posicional de diferentes maneras,
por ejemplo descomponiendo un número como suma de sus unidades,
decenas, centenas y millares.
Los
aspectos gráficos están bien utilizados y son un soporte
para el trabajo que se propone en la lección. En primer
lugar apoyan la explicación para entender el juego y sirven
para presentar los ejemplos en un contexto de tipo afectivo.
Sin embargo, se debe tener cuidado con otros aspectos gráficos,
ya que por ejemplo, en una de las viñetas aparece un acento
de más, ya que dice: "cuatrocíentos".
Al jugar
con las tarjetas e intentar ganar, el niño realiza diferentes
acciones que van desde la manipulación de las tarjetas -que
debe de seguir algún orden para poder encontrar todas las
combinaciones válidas- hasta la búsqueda de relaciones entre
el dígito y su valor al cambiarlo de posición y la comparación
para decidir cuál número es más grande.
La lección
propone sólo un tipo de problema: formar el número más grande
posible. Sin embargo, el profesor puede enriquecerla, por
ejemplo, pidiendo a los niños que formen números de más
cifras, que busquen el menor número posible de cuatro cifras
o el menor número posible sin importar el número de cifras
y muchas otras. También puede resultar muy enriquecedor
pedir a los niños que expliquen sus estrategias. El hecho
de presentar un juego es una buena alternativa para interesar
a los niños y ofrecerles un reto.
El tratamiento
de la lección es una aportación importante hacia una propuesta
que pretende presentar los algoritmos de las operaciones
elementales de una manera razonada, no mecánica, en la que
las acciones como "pedir prestado" y "llevar" tengan sentido
gracias al valor posicional.
Los
animales de la granja
La lección
Los animales de la granja (pág. 90) es una de las
pocas del libro de tercero que integra varios ejes temáticos:
aritmética, medición y tratamiento de la información.
El niño debe observar un dibujo que conjuga información
gráfica y escrita para identificarla, interpretarla y usarla.
Además, el niño debe hacer estimaciones de longitudes, usar
la regla graduada en centímetros y registrar el resultado.
Debe resolver problemas en los que la dificultad radica
en que los datos deben identificarse en un dibujo en el
que hay información que no se ve pero está dada en el texto,
aunque se resuelven con sumas y restas muy sencillas. Un
detalle que sería importante señalar es que a veces, en
las escuelas urbanas, es posible que los niños no tengan
a su alcance animales de granja para medir, por lo que es
necesario preparar el trabajo de la lección con anterioridad.
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Los
animales de la granja son el contexto integrador de los
distintos contenidos pertenecientes a los tres ejes que
aborda la lección. Los contenidos de aritmética son
la resolución de problemas con suma y resta de naturales,
en uno de los cuales se debe plantear una suma en la que
se desconoce un sumando; los contenidos de medición
proponen medir longitudes con un intermediario y con regla
graduada en centímetros, además de que se requiere hacer
una estimación de longitud; en los de manejo y tratamiento
de la información se pide obtener información de un
dibujo, levantar una pequeña encuesta y registrar la información.
En el
tratamiento de los contenidos no hay errores de concepto,
los problemas están bien planteados y la lección está bien
estructurada para integrarlos. Además, existe una riqueza
de habilidades que se desarrollan al trabajar esta lección.
Por ejemplo, el niño debe ser capaz de obtener información,
parte de la cual está en el texto y otra en el dibujo, lo
que evita resolver los problemas por conteo. Así mismo,
deberá realizar una estimación de longitud y usar para medir
un instrumento de medición convencional como es la regla
graduada.
Obtener
información de un dibujo es un contenido que sólo se tocará
en dos o tres lecciones más del texto. El registro de información,
en cambio, se irá presentando con más frecuencia en lecciones
posteriores. La medición de longitudes con regla graduada
en centímetros se ha tratado en 3 lecciones anteriores y
se seguirá trabajando hasta usarla para construir algunos
modelos para armar. Otro aspecto importante es que se introduce
la simbología para representar los centímetros, esto es,
la abreviatura "cm".
El manejo
de los aspectos gráficos es adecuado para las actividades
propuestas, aunque hay que cuidar los colores ya que los
pollos cafés y los amarillos no se distinguen con claridad.
La situación
problemática, que consiste en presentar la granja a través
del texto y el dibujo, permite la búsqueda de estrategias
para resolver los problemas de aritmética. La segunda parte
inicia pidiendo una estimación y se permite al niño que
busque el procedimiento que quiera para realizarla, lo mismo
sucede cuando se le pide medir los animales. Además, esta
situación realmente pone en juego los contenidos, se requiere
resolver problemas usando sumas y restas, usar la regla
para medir y crear una tabla para registrar su información.
Por otro lado, la presentación de la granja y sus animales
es fácilmente explotable ya que con el mismo dibujo se pueden
proponer más problemas. La medición y el tratamiento de
la información pueden seguirse trabajando de manera integrada
midiendo otros objetos.
Las
acciones que debe realizar el niño al trabajar esta lección
son variadas, ya que debe efectuar las operaciones para
resolver un problema, plantear una hipótesis al estimar
una longitud y posteriormente medir para verificarla, además
debe registar información en una tabla.
Para
el niño es un problema plantear la operación adecuada para
resolver los problemas propuestos, particularmente el de
los conejos. Es un reto hacer una buena estimación para
el pollito y medir los animales que se requieren, aunque
ya se les ha dado la idea de hacerlo con un hilo; si esta
parte se trabaja con anterioridad resultará más interesante.
El aeropuerto
En la lección
El aeropuerto (pág. 26) se pretende trabajar las
posiciones relativas de los objetos así como los conceptos
horizontal, vertical e inclinado. Sin embargo, el contexto
puede resultar poco familiar a algunos niños y se plantean
preguntas abiertas cuyas respuestas parecen no haberse planeado
con cuidado ya que, por ejemplo, los niños pueden responder
que no han visto nunca aviones despegando, o bien, es posible
que no puedan imaginar cómo se ve lo que está en la tierra
si se viaja en un avión. Estos aspectos hacen que esta lección
no se logre.
El aeropuerto
es el contexto conductor que puede resultar muy lejano a
algunos niños, es posible que quienes vivan en el campo
hayan visto un avión a lo lejos pero difícilmente lo han
visto despegando.
Si bien
los contenidos son pocos, el problema está en que éstos
no son claros. En la segunda parte de la lección es evidente
que se trata de trabajar con rectas verticales, horizontales
e inclinadas, pero en la primera sólo existe la sospecha
de que se trata de posiciones relativas.
El tratamiento
de los contenidos horizontal y vertical es correcto, pero
se tocan conceptos complejos como el campo visual y los
efectos ópticos de manera simplista. La pregunta 3 de la
actividad 1 está mal planteada, podría referirse a la parte
superior del avión, que puede verse desde algunos aeropuertos
o edificios altos cuando el avión despega y no es visible
cuando vuela más alto. Tal vez sólo se pretende que los
niños piensen en las ruedas que se esconden o en el interior
del avión. De cualquier forma, no todos los niños habrán
visto un avión y los de juguete, a menudo, no son reproducciones
fieles, por lo que no es conveniente que las preguntas con
las que inicia la lección, y que pretenden abrir una discusión,
sean contestadas con un "no". Si bien el niño requiere imaginar
cómo se ve desde arriba la tierra, no se está desarrollando
ninguna otra habilidad.
Se trata
de una de las primeras lecciones del libro y sólo tiene
un antecedente que es la lección Mi casa es así,
donde se trabaja la ubicación espacial. Los contenidos vertical
y horizontal no se volverán a tratar, al menos explícitamente,
en el resto del libro a pesar de ser un contenido importante
y difícil de adquirir.
El aspecto
gráfico se podría mejorar si realmente se usara una fotografía
de aviones en un aeropuerto ya que al dibujo le falta perspectiva.
Aunque
las preguntas de la primera parte son abiertas, esta lección
no permite la búsqueda de procedimientos, no hay ningún
problema que resolver ni retos planteados. Quizás se pretenda
que los niños observen que los objetos se ven más pequeños
al alejarse, pero como las primeras preguntas están mal
diseñadas, el texto tiene que expresar esto de manera explícita.
La segunda parte es limitada y pone en juego los contenidos
pero muy poco. A pesar de todo, el maestro puede sacarle
provecho a la lección y profundizar en las nociones de horizontal,
vertical e inclinado.
Las
acciones que el niño debe realizar son poco variadas: dibujar
tres aviones en posiciones indicadas, dibujar tres líneas,
dibujar objetos a su alrededor que estén en diferentes posiciones.
El tratamiento de la lección no aporta mucho a la propuesta
didáctica ya que, como se ha mencionado, se trata de una
lección aislada cuyos contenidos no se vuelven a abordar
en este grado.
Conclusiones
De esta
manera terminamos los ejemplos para aplicar el método de
análisis mencionado al principio de este artículo para el
caso del libro de tercer grado. El análisis de lecciones
de cuarto grado aparece en este mismo número de la revista
y los correspondientes al quinto y sexto grado aparecerán
en el siguiente número de Correo del Maestro, te
invitamos a leerlos.
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Las páginas de las lecciones analizadas en este artículo
aparecen a color en las páginas 9 y 10.
[1]Profesora
de la Universidad Pedagógica Nacional, Unidad Ajusco. Participante
en el proyecto
"Estudios sobre los procesos implicados en la enseñanza
de matemáticas y estadística".
[2]AVILA
STORER, Alicia, et al. Matemáticas. Tercer grado.
sep. México, primera edición 1993, tercera reimpresión 1996.
191 pp. Tiraje 3 138 000 ej.
