Los
estudiantes de los últimos años de primaria y de secundaria
tienen la edad idónea para aprender a pensar en forma
sofisticada, abstracta, formal. Pero no todos llegan a
dominar esta forma de pensamiento. Evidentemente, es deseable
llegar a pensar con la mayor sofisticación posible en
este mundo contemporáneo tan competitivo, globalizado
y enfocado a la información, su comprensión y su procesamiento.
En este artículo presentamos una metodología para que
el maestro de matemáticas de los últimos años de primaria
y de secundaria ayude al estudiante a acostumbrarse a
pensar formalmente.
Jean Piaget (1896 -1980), el famoso investigador suizo del
aprendizaje y el desarrollo y fundador de la epistemología
genética, planteó que el desarrollo cognoscitivo tiene cuatro
etapas: la sensorio-motriz (0-2 años), la pre-operatoria
(2-6 años), la de operaciones concretas (7-11) y la de operaciones
formales o abstractas.
En sus primeras obras postuló que la etapa de pensamiento
formal o abstracto empieza, aproximadamente, a los 11 años
y se consolida hacia los 15. En esa época Piaget consideraba
inevitable llegar a esta etapa que se caracteriza por el
pensamiento hipotético deductivo (método científico), la
combinatoria, la lógica proposicional, la reversibilidad
y las proporciones. El tipo de pensamiento característico
en este estadio es el lógico, matemático y científico que
los adultos manejan cotidianamente y que nuestros estudiantes
deberían de poder consolidar hacia la edad mencionada.
Sin embargo, en obras posteriores, Piaget llegó a reconocer
que tal vez no todas las personas llegan a la etapa de operaciones
formales. Considerando las edades de los estudiantes de
los lectores de esta revista, es de suma importancia comprender
qué constituye el pensamiento formal y cómo fomentarlo en
los últimos años de primaria y en secundaria. En este artículo
abordaremos una porción pequeña del problema global de cómo
ayudar al estudiante a pensar formalmente.
Una característica fundamental de este tipo de pensamiento
es que se examina el problema cuidadosamente con el fin
de determinar todas las posibles soluciones y posteriormente
se intenta descubrir de modo sistemático cuál de ellas es
la adecuada. En otras palabras, el sujeto que piensa en
forma abstracta parte de lo posible hacia lo real; en los
estadios anteriores, el sujeto necesita apoyarse en lo real
para llegar a la solución. Por ejemplo, al preguntársele
cuántas permutaciones (arreglos) diferentes se pueden lograr
apilando bloques de cuatro colores diferentes, el niño con
pensamiento concreto atacará el problema apilando los bloques,
mientras que el sujeto con pensamiento abstracto probablemente
simbolice los cuatro colores por números y vea cuántas combinaciones
son posibles, de forma sistemática y sin referirse a los
bloques, logrando algo similar a esto:
|
1234
|
2134
|
3124
|
4123
|
|
1243
|
2143
|
3142
|
4132
|
|
1324
|
2314
|
3214
|
4213
|
|
1342
|
2341
|
3241
|
4231
|
|
1423
|
2413
|
3412
|
4312
|
|
1432
|
2431
|
3421
|
4321
|
De hecho, algunos sujetos serán capaces de deducir que hay
24 permutaciones posibles después de haber enlistado los
arreglos de la primera columna, que son seis, y percatarse
que así como hay seis arreglos posibles empezando con el
uno, habrá seis arreglos posibles empezando con el dos,
seis empezando con el tres y seis con el cuatro. Se entiende
que los sujetos no conocen el cálculo de probabilidad ni
la fórmula para encontrar el número de permutaciones de
n objetos, n! (n factorial).
Examinar cuidadosamente el problema no es sólo no equivocarse
al copiarlo de la tarea. Es definir qué es lo que se pide,
encontrar la estrategia adecuada para atacar el problema
y estimar el resultado. Yo he encontrado en mis estudiantes
de primero de secundaria que son capaces de resolver mecánicamente
el problema:
Pero que no tienen idea de qué significa el resultado 13/25.
¿Qué número es 13/25?, les pregunto. Generalmente me contestan:
0.2, 2, ó 0.02, pero nadie dice: "Aproximadamente un medio,
o sea, 0.5". ¿De qué sirve saber hacer la operación si no
se entiende el resultado? Y, ¿cómo se va a entender el resultado
si no se ha examinado el problema?.
Las ideas concretas que propongo a continuación inducen
al estudiante a examinar el problema detalladamente antes
de empezar a resolverlo. La primera sugerencia es plantear
el problema y pedir una respuesta aproximada sin dar tiempo
a que ejecuten la operación. Por ejemplo:
¿Cuál es el promedio de los siguientes números: 13, 14,
14, 14, 14, 15?
Si se examina el problema antes de empezar a sumar los números,
se notará que todos los números se acercan al 14, por lo
que el promedio debe ser "alrededor de 14". Con un examen
más cuidadoso, se puede notar que los dos números que no
son 14 (13 y 15), se promedian a 14, por lo que el promedio
será exactamente 14.
La segunda sugerencia es plantear dos problemas, aparentemente
muy parecidos, y pedir la solución a cualquiera de ellos.
Uno es mucho más fácil de resolver que el otro, pero sólo
el cuidadoso examen determinará cuál. Por ejemplo:
Resuelve uno de los dos siguientes problemas:
Obviamente, la opción B es muy fácil de resolver si se detecta
que 7/21 es 1/3. Muchos estudiantes de secundaria, confrontados
con este problema, se ponen a elevar 7 al cubo, y luego
21 o 22 al cubo. Claro que se puede llegar a la respuesta
correcta por esta vía pero es más tardado y más difícil
(simplificar 343/9261 es casi imposible).
La tercera sugerencia es la de poner problemas largos pero
que se pueden simplificar, como:
|
Si
x=2, entonces; ¿cuánto es:
(2x-13)
(x+3)(x-2)(x+8)?
|
En vez de sustituir el valor de x, basta darse cuenta
de que uno de los términos, (x-2), es igual a 0 por
lo que todo equivale a 0.
La cuarta sugerencia es poner problemas cuya respuesta no
se puede determinar con la información proporcionada. Por
ejemplo:
Las casas de Juan, María y Pedro están sobre la misma calle,
la cual es recta. Si Juan vive a 5 km de María y María a
6 km de Pedro ¿a cuántos km de distancia vive Juan de Pedro?
Para este problema hay dos soluciones posibles, ilustradas
a continuación:
a)
JM P - Juan vive a 11 km de Pedro.
b)
M JP - Juan vive a 1 km de Pedro.
No se propone cambiar el enfoque del curriculum de matemáticas
de la sep, ni los contenidos; sólo se propone que el formato
de algunas preguntas o ejercicios utilizados para reforzar
los temas oficiales obliguen al cuidadoso examen del problema.
Se pueden formular ejercicios como los anteriores lo mismo
para álgebra que para geometría, logaritmos, operaciones
o cualquier otro tema de matemáticas.
El hábito de examinar cuidadosamente un problema antes de
abordarlo no sólo les servirá a nuestros alumnos en la asignatura
de matemáticas. En nuestra vida cotidiana somos bombardeados
por peticiones de información. Si podemos definir la esencia
de lo que se nos pregunta, seremos compañía más agradable,
empleados más eficientes o jefes más efectivos. ¿Quién no
se ha desesperado con personas que, al preguntarles si les
gustó la película de estreno, contestan con la historia
de cómo fue que la grúa se llevó su coche al corralón por
estacionarlo frente al cine? Evidentemente, la habilidad
de comunicarse efectivamente ayuda en cualquier trabajo,
y la posibilidad de tansmitir información eficientemente
parte de la comprensión correcta de la pregunta.
Por otro lado, muchas pruebas de admisión a diferentes instituciones
educativas piden que se lea cuidadosamente la pregunta,
y que se escudriñen las respuestas de opción múltiple, para
ver el grado de exactitud de la respuesta. Si en una prueba
de este tipo las respuestas posibles que se ofrecen a la
pregunta:
¿A qué equivale 13/25?, son las siguientes:
|
a)
0.02
|
c)
0.52
|
|
b)
0.2
|
d)
2
|
No es necesario hacer la división, sólo percatarse de que
13/25 es aproximadamente un medio, por lo que la respuesta
c debe ser la correcta.
El poner problemas que necesitan examinarse cuidadosamente
previo a su resolución se puede hacer en cualquier tema
de matemáticas, ayuda a pensar y comunicarse en forma más
precisa y contribuye a llegar al estadio de las operaciones
formales, etapa culminante del desarrollo cognoscitivo.
