Análisis
de algunas lecciones
Con
este artículo cerramos una serie que inició con la presentación
de una metodología general para el análisis de lecciones
de los libros de texto de matemáticas en el número de febrero
de esta revista, y continuó con un artículo destinado a
cada grado: primero y segundo en ese mismo número, tercero
y cuarto en el número de marzo, y quinto y sexto en este
número.
El libro de texto gratuito de matemáticas para 6º grado
de primaria[2] tiene una estructura similar a la del libro de
5º grado, y diferente a las de los libros de 1º a 4º. Las
lecciones que contiene son largas e incluyen en general
muchos contenidos distintos de varios ejes temáticos, integrados
en torno a un contexto real o imaginario que sirve de tema
conductor para la mayor parte de la lección y al que se
refiere su título; frecuentemente la lección se ve complementada
con ejercicios colaterales que no tienen directamente que
ver con el tema conductor.
Las lecciones están aglutinadas por grupos de entre seis
y ocho en cinco bloques, que no tienen una unidad temática
o de contenidos sino que pueden servir de apoyo para la
calendarización del trabajo. Las últimas dos lecciones del
libro presentan un repaso general de diversos contenidos
abordados en las anteriores.
Cada una de las treinta y cinco lecciones que conforman
el libro ocupa entre tres y nueve páginas completas (la
gran mayoría ocupa entre cinco y siete): están diseñadas
para trabajarse a lo largo de varios días. Contienen en
general mucho texto, lo cual puede verse de dos maneras:
o bien como una doble ventaja, ya que refuerza la lectura
y permite plantear en texto informaciones que el alumno
debe interpretar, o bien como una desventaja, consistente
en que el alumno con problemas en la lectura del español
encuentra dificultades ajenas a los contenidos matemáticos.
Otra característica del libro es que el diseño gráfico de
disposición del texto es muy complicado, lo que frecuentemente
redunda en que la lectura se dificulta mucho; un problema
adicional del diseño gráfico es que se utilizan recuadros
azules de una manera no consistente: al principio del libro
se utilizan para recordar o institucionalizar contenidos,
y posteriormente en algunos casos se utilizan también para
hacer observaciones referentes a los contextos específicos.
Sin embargo, los dibujos son en general claros y agradables.
El libro inicia con una página de presentación y después
cuenta con un índice de lecciones; éste es el único sitio
donde se mencionan los bloques. Las lecciones no están numeradas
en el índice ni en el cuerpo del libro; los números de las
páginas que ocupa cada una están en pequeños cuadros de
distinto color para cada lección. En el índice, cada lección
viene acompañada por los contenidos programáticos que se
pretende abordar en ella.
Cabe señalar que este libro se caracteriza por mantener
constantes algunas líneas de trabajo que no constituyen
en sí un contenido específico, pero que por la recurrencia
con la que son abordadas permiten sentar bases firmes para
la adquisición de ciertos conceptos. Tales son, por ejemplo,
el uso frecuente de números grandes, el planteamiento frecuente
de problemas en los que se deben utilizar varias operaciones
distintas, los trabajos sobre proporcionalidad en diversas
formas y contextos, y la presentación de ejercicios con
varias soluciones que permiten comparación de resultados
y discusiones al respecto.
Las lecciones de este libro que se han elegido para aplicar
la metodología expuesta previamente[3]
son las siguientes. La lección A contar cubos, que
es la primera del segundo bloque, se seleccionó por ser
un buen ejemplo de integración de contenidos de los ejes
de aritmética y de medición: trabaja en paralelo
los conceptos de múltiplo y de volumen. La lección La
parcela, que es la segunda del tercer bloque, fue escogida
por ser un buen ejemplo de integración de diversos contenidos
sobre un contexto real. La lección Los espejos sorprendentes,
que es la quinta del quinto bloque, fue seleccionada por
ser una de las pocas lecciones centradas en torno a un contenido
principal, que son los polígonos regulares, y porque aborda
el tema de una manera novedosa. Por último, la lección Los
tapetes de doña Hortensia, que es la octava del tercer
bloque, se eligió porque se considera una lección malograda
en varios aspectos que merecen un análisis detallado. A
continuación se expone el análisis de estas lecciones.
A
contar cubos[4]
En
la lección A contar cubos (Págs. 42 a 46) el alumno
trabaja con dibujos de cuerpos formados por cubos pequeños
y, en algunos casos, por medios cubos formados por pirámides
triangulares; esto constituye un contexto conductor y unificador.
El alumno principia con la observación del volumen de cada
uno mediante el conteo de los cubos pequeños que lo forman
o mediante la aplicación de fórmulas en el caso de los paralelepípedos,
y luego debe dibujar prismas con volumen igual al de uno
que se le da, pero con distinta forma. Después se le proponen
otros dibujos de cuerpos, pero parcialmente tapados; al
calcular cuántos niveles de cubos pequeños debe tener cada
uno para igualar el volumen de otro, el alumno empieza a
manejar múltiplos sin necesidad siquiera de darse cuenta
de que eso es lo que está haciendo. La institucionalización
(presentación formal del contenido) acerca de los múltiplos
viene después, incluyendo el mínimo común múltiplo, que
con las listas que ya ha elaborado el alumno cae, por así
decirlo, por su propio peso. La lección finaliza con ejercicios
de afianzamiento que incluyen el uso de la calculadora.
 |
 |
Los principales contenidos de esta lección pertenecen a
los ejes de aritmética (descomposición de un número
en factores, múltiplos y mínimo común múltiplo) y de medición
(medición del volumen por conteo de unidades). Sin embargo,
también se abordan contenidos de los ejes de procesos
de cambio (tablas de variación proporcional) y de geometría
(identificación de cuerpos geométricos y de sus caras, así
como clasificación de cuerpos). Todos ellos son tratados
correctamente, a pesar de la dificultad que representa pasar
de un eje de contenidos a otro. Esta lección es la primera
del libro en la que se trabaja explícitamente con cuerpos
geométricos y también la única en la que se trabaja con
múltiplos, pero tiene una secuela, en la lección sexta del
mismo bloque (Manualidades con cubos y prismas),
donde se manejan, ahora de bulto, prismas formados con unidades
cúbicas, en un trabajo integrado con otro contenido aritmético:
los divisores.
La principal riqueza de la situación problemática elegida
para esta lección, los cuerpos geométricos formados por
cubos pequeños, radica en que permite la integración de
temas aparentemente disímiles como son el volumen y los
múltiplos. El planteamiento permite la búsqueda de procedimientos,
sobre todo cuando los cuerpos están parcialmente tapados
y cuando incluyen medios cubos (siempre en número par),
puesto que el alumno debe pensar cómo resolver la situación,
y el dibujo no le da claves sino retos. Además, la situación
permite que el maestro proponga nuevos cuerpos (o simplemente
los datos de ellos) para la realización de ejercicios similares,
y que promueva discusiones acerca de la posible forma de
los cuerpos en sus partes posteriores u ocultas.
Varias habilidades del alumno entran en juego: debe pensar
qué estrategia utilizar para resolver los problemas que
se le plantean, y debe poder expresar el procedimiento utilizado;
hay también involucrado algo de cálculo mental. Por otra
parte, el alumno debe realizar acciones de diversas índoles:
plantear hipótesis y verificarlas, operar con y sin calculadora,
reflexionar y analizar, y expresar sus soluciones verbalmente.
Tanto las habilidades que debe poner en juego el alumno
como las acciones que debe realizar ocurren a través de
una amplia variedad de problemas y ejercicios planteados:
hay desde ejercicios simples de afianzamiento (como los
de la última página), pasando por problemas no triviales
(como el conteo de los cubos pequeños que conforman el primer
cuerpo planteado, que por ser un prisma triangular incluye
medios cubos), hasta problemas con varias soluciones distintas
(como la última actividad de la página 44). Tal vez hubiera
convenido agregar, como hace el libro en casos similares,
una instrucción al alumno para que compare su solución con
las de sus compañeros.
En cuanto a los aspectos gráficos, los dibujos de los prismas
son claros, aunque en algunos la perspectiva no está bien
lograda. La disposición espacial de contenidos y figuras,
como ocurre en general en este libro, es complicada.
A pesar de este último detalle, la lección puede resultarle
interesante al alumno. El hecho de que los cuerpos estén
parcialmente tapados y de que algunos incluyan medios cubos
le plantea retos. Por otra parte, la situación problemática
permite que el alumno construya el concepto de mínimo común
múltiplo, lo que es una aportación valiosa a la propuesta
didáctica.
La
parcela[5]
La
lección La parcela (Págs. 84 a 88) está estructurada
en torno a una parcela de cultivo, que aporta un contexto
unificador. Buena parte del mérito de la lección radica
en la forma de la parcela: es un trapecio rectángulo en
el que los lados que forman ángulos rectos miden 120, 100
y 100 m (y cuya área es once décimos de hectárea), y está
dibujado en la lección con una escala de 1:1 000. Lo primero
que se le pide a los alumnos es que, en equipos, caminen
180 pasos y midan el trayecto caminado; luego deben calcular
cuántos pasos darían para caminar el lado de 100 m de la
parcela: esto le da al alumno una idea clara (aunque sea
aproximada) de cuánto es 100 metros. Sigue un trabajo sobre
la escala utilizada y sobre las medidas de longitud del
Sistema Métrico Decimal (smd). Después se repite el croquis
del terreno, ahora con la distribución de cuatro cultivos,
cada uno en porciones de distinta forma y dimensiones. Ahora
el alumno debe trazar, con ayuda de unas marcas puestas
en el croquis, líneas paralelas a dos de los lados del trapecio
original, con lo que el terreno queda dividido en once triángulos
rectángulos; esto permite un trabajo simultáneo sobre áreas
y fracciones. Posteriormente los alumnos deben construir
a la misma escala un kilómetro cuadrado, lo que ahora lleva
a un trabajo sobre las medidas de área del smd. La lección
finaliza con un telegrama mandado desde eua por el propietario
de la parcela, al que acompaña un trabajo sobre la lectura
de números decimales y la variación proporcional del cambio
de dólar. Aquí debe observarse que el texto del telegrama
es parcialmente incongruente en el contexto, ya que el dueño
anuncia que regresará en noviembre pero previamente se dice
que cuando eso ocurra la temporada de lluvias estará por
llegar.
En la lección se trabajan contenidos de cinco de los seis
ejes programáticos: aritmética (uso de las fracciones
en la resolución de problemas, lecto-escritura de números
decimales), medición (unidades de longitud y de área
del smd, medición con cinta métrica), geometría (trapecios
rectángulos, rectángulos), procesos de cambio (escalas,
tablas de variación proporcional), y tratamiento de la
información (interpretación del croquis y del telegrama).
Todos los contenidos están correctamente tratados desde
el punto de vista matemático.
 |
 |
Esta lección es parte de una de las líneas de trabajo que
configuran una constante en el libro: la proporcionalidad,
que se trabaja en más de la mitad de las lecciones. Asimismo,
es la cuarta de doce lecciones en que se trabajan los números
fraccionarios y la tercera de seis en que se trabajan explícitamente
los decimales. También es la segunda de seis lecciones en
que se trabajan las unidades de longitud del smd y la cuarta
de cinco en que se trabajan las de área; es la primera de
dos lecciones en que se trabajan las equivalencias del smd
en longitud y área. Así, esta lección se inserta en varios
procesos de construcción y uso de conceptos diversos.
La situación problemática principal, dada por la forma de
la parcela, permite que el alumno busque el procedimiento
que utilizará, sobre todo en la parte de áreas, que se pueden
encontrar por congruencia de triángulos o por descomposición.
Además pone en juego los contenidos de medición, aritmética
y proporcionalidad, y permite que el maestro haga un trabajo
similar con otras escalas u otras figuras, así como con
las equivalencias del smd.
Los problemas y ejercicios son muy variados, sobre todo
en cuanto a los contenidos que abordan, lo que puede resultarle
interesante al alumno. A través de ellos debe poner en juego
distintas habilidades y realizar acciones diversas. Entre
las habilidades están la expresión de procesos (como cuando
debe discutir las estrategias que se aplican para el cálculo
de las fracciones de terreno utilizadas para cada cultivo)
y el planteamiento de analogías (como al caminar 100 m o
hacer el modelo de km2) y generalizaciones (como
en la tabla de equivalencias del smd); muchos de los ejercicios
se pueden también resolver con cálculo mental. Entre las
acciones están salir y caminar, manipular un pliego de cartulina
y el juego de geometría, operar y analizar las situaciones.
Además de la realización de actividades de muy diversa índole
en torno a un mismo contexto, puede resultarle interesante
al alumno la observación de lo que son 100 m y el ejercicio
de imaginación implicado en el modelo de km2;
también puede resultarle interesante el contexto social
en que está planteada la situación (el dueño se ha ido de
bracero a eua). Por otra parte, la lección lo enfrenta a
varios retos, como el cálculo del área y sus fracciones,
o como las tablas de variación en las que el número faltante
al principio es un decimal.
La disposición espacial es en este caso sencilla y fácil
de seguir; los croquis están también muy claros, y a la
escala correcta; incluso el dibujo que acompaña a la actividad
del km2, que parece puramente decorativo, le
sugiere al alumno de qué tamaño debe quedar la cartulina
que construya.
Los
espejos sorprendentes
En
la lección Los espejos sorprendentes (Págs. 188 a
194) se le pide al alumno que trabaje con dos espejos unidos
en bisagra con cinta adhesiva. En la primera parte se le
pide que los abra a distintos ángulos sobre una plantilla
dibujada en el libro, que consiste en un par de líneas paralelas:
puede observar entonces líneas paralelas y perpendiculares
pero también una gran variedad de polígonos regulares. Los
espejos permiten posteriormente un trabajo sobre ejes de
simetría de diversos polígonos. Finalmente aparece una nueva
plantilla, consistente en dos segmentos perpendiculares
que están graduados en centímetros y milímetros, lo que
permite un trabajo sobre longitudes y perímetros de algunos
polígonos regulares. La disposición espacial es relativamente
sencilla, las plantillas son fáciles de utilizar y las fotografías
son muy claras y muestran algunos de los polígonos que se
pueden observar. El análisis de esta lección revela que,
aunque no hay variedad de contenidos, éstos están abordados
de manera por demás interesante y novedosa.
Toda la lección gira en torno a un contexto, los espejos,
y en torno a un solo contenido del eje de geometría,
los polígonos regulares, en el que se enfatizan en particular
los ejes de simetría y las longitudes y perímetros. Otros
contenidos, de carácter secundario en la lección, son la
triangulación de polígonos regulares, el uso del transportador,
el área de los polígonos y las tablas de variación no proporcional.
Ésta es la tercera de cuatro lecciones en que se trabaja
simetría y la tercera de tres en que se trabaja con la identificación
y clasificación de figuras geométricas. Es la única lección
en que se trabajan polígonos regulares, lo que la hace imprescindible;
esto sería un punto en su contra si no fuera porque la lección
está muy bien construida.
La riqueza de la lección radica en la situación problemática:
el uso de los espejos con bisagra. Efectivamente, ésta permite
que el alumno investigue, pone en juego el contenido y permite
que el maestro la explote profusamente. Para el alumno puede
resultar sumamente interesante ya que es sorpresivo ver
en los espejos todos los polígonos que se pueden formar
con sólo moverlos un poco. La parte de medición representa
un reto mayor, ya que el alumno debe relacionar varios datos
cada vez.
Sobre un mismo tipo de actividad, consistente en la colocación
de los espejos de diversas maneras, la lección propone ejercicios
sencillos y problemas más complicados. Se ponen en juego
varias habilidades del alumno: la coordinación motriz fina
en el manejo de los espejos, la percepción de formas en
la observación de los polígonos, el reconocimiento de patrones
geométricos desde las paralelas y perpendiculares hasta
los ejes de simetría de los polígonos, y el planteamiento
de analogías y generalizaciones con la relación entre el
número de lados de los polígonos y la medida del ángulo
entre los espejos. Asimismo, el alumno debe realizar una
gran cantidad de acciones diversas: manipular los espejos,
trabajar en equipo, jugar, relacionar datos, realizar mediciones,
analizar y operar.
Por todas estas razones, la lección constituye una gran
aportación a la propuesta didáctica, ya que permite que
el alumno, a través de la acción y el juego, construya a
través del uso conceptos geométricos importantes y se apropie
de ellos. Sólo le hacemos una pequeña crítica: a la palabra
"ángulo" de la página 190 le falta el acento.
Los
tapetes de doña Hortensia
La
lección Los tapetes de doña Hortensia (Págs. 119
a 123) comienza con dos tapetes bicolores elaborados por
una tejedora (presentada en una lección anterior del mismo
bloque, Hilados y tejidos) y presenta como fracción
mixta y como fracción impropia la parte tejida en un color.
Sigue una sucesión de presentación de algoritmos y ejercicios:
para la transformación de una fracción impropia en mixta,
para la transformación contraria, para la suma de fracciones
mixtas y para la resta de fracciones mixtas. La lección
termina con un pequeño problema acerca de resta de fracciones
mixtas y de precios de distintas prendas tejidas.
La lección está estructurada en torno a dos contenidos del
eje de aritmética (fracciones impropias y mixtas,
y suma y resta de fracciones mixtas). Otro contenido, que
aparece sólo colateralmente y en el último ejercicio de
la lección, pertenece al eje de procesos de cambio;
este contenido está anunciado en el índice del libro como
valor unitario como procedimiento para resolver problemas
de proporcionalidad, pero no es necesario pasar por el valor
unitario para resolver los problemas planteados. Los contenidos
están correctamente tratados, en el sentido de que no hay
errores matemáticos. Sin embargo, los ejemplos y ejercicios
de resta de fracciones mixtas son todos del mismo tipo:
la parte fraccionaria del minuendo siempre es mayor que
la del sustraendo, lo que puede provocar que el alumno no
sepa cómo resolver problemas en los que la fracción del
minuendo sea menor que la fracción del sustraendo; digamos,
problemas del estilo de 4 1/2 - 2 3/4
.
El tratamiento del contexto en el que está planteada esta
lección tiene varios absurdos e incongruencias. Unas cuantas
páginas atrás, cuando se presenta a Doña Hortensia, ésta
aparece tejiendo en telar de cintura con la lana de sus
propias ovejas, pero en esta lección los textiles ilustrados
parecen ser unos de telar de cintura, otros de telar de
pedales y otros más de telar de marco; en general, los artesanos
utilizan sólo uno de estos métodos, rara vez combinan dos.
El tapete de pasillo ilustrado en la página 122 aparenta
ser de telar de cintura, y se dice que en un solo día la
tejedora avanzó 2 3/5 m: esto es nuevamente un
absurdo puesto que una longitud así sería tejida en telar
de cintura en mucho más tiempo. El mantel de la página 123
contiene otro absurdo, puesto que no se teje dejando faltantes
de tejido a lo ancho y lo largo más que si se tejen varios
tramos por separado, pero esto no se indica. En la última
actividad se mencionan tres objetos que no son de lana:
dos "servilletas" que sí pueden ser tejidas en telar de
cintura (aunque la mayor no es una servilleta), a la par
con playeras de tejido de punto que sólo suele hacerse en
telar eléctrico. Los precios marcados en esta actividad
son también absurdos: la playera, que es un producto industrial,
es lo más caro, y la diferencia de precios entre ambas servilletas
es de $1.25, lo que no da cuenta ni de la diferencia del
material que llevan. Por lo demás, el contexto de los tejidos
en esta lección es un mero pretexto, no un eje conductor
del tratamiento. Por la forma descuidada en que está planteado
el contexto, es contradictorio con la realidad que conocen
los niños en todas las regiones del país donde se usan telares;
debería buscarse que cuando se presenten contextos supuestamente
reales se verifique su verosimilitud.
La manera en que se aborda la situación problemática de
fracciones de textiles tejidos no permite que el alumno
busque sus propios procedimientos. Aunque pone en juego
el contenido, lo hace de manera mecánica y repetitiva. Asimismo,
salvo de manera muy breve al principio y al final, no se
plantean problemas sino ejercicios mecánicos. El alumno
debe expresar algunos de los procesos que sigue, pero por
lo demás la única habilidad que está puesta en juego es
la de seguir instrucciones, y la única acción que debe ejecutar
es la de operar: debe seguir la estrategia que se le plantea
para encontrar soluciones numéricas a ejercicios descontextuados
de suma y resta de fracciones mixtas.
A nuestro modo de ver, esta lección no plantea interés ni
reto alguno para el alumno. Esto puede ser grave, ya que
ocupa un lugar importante: por un lado, es la última de
tres lecciones en que se aborda la conversión de fracciones
mixtas a impropias y viceversa, lo que debería implicar
una consolidación e institucionalización de este contenido.
Por otro lado, aunque es la segunda de tres lecciones en
que se aborda la suma de fracciones mixtas y la primera
de tres en que se aborda la resta, es la lección en que
estos contenidos son más explícitos. Si este trabajo no
se aborda de otra manera en el aula, se corre el riesgo
de dejarlos desprotegidos o de dejar una gran confusión
sobre estos conceptos en los alumnos.
Conclusiones
Con
estas cuatro lecciones del libro de texto gratuito de sexto
grado, y con las que se abordaron en los artículos correspondientes
a los otros cinco grados, hemos intentado ilustrar la metodología
de análisis de lecciones que proponemos a los maestros para
apoyar su trabajo de preparación de las clases de matemáticas.
Esperamos que a usted le sirva nuestra propuesta, y que
si tiene comentarios a ella nos los comunique a nuestra
dirección postal:
Apdo.
Postal 86053,Villa
Coapa, Tlalpan, C.P.14391, México, D.F. o a la dirección
electrónica: bengoech@ajusco.upn.mx
|
|
Artículos
que forman ésta serie:
Alatorre,
Silvia; de bengoechea, Natalia; lópez, Lydia; mendiola,
Elsa; y sáiz, Mariana.
"El
texto gratuito de matemáticas en la educación primaria.
Un método de análisis para optimizar su uso". Correo
del Maestro, No. 33, febrero, 1999.
De
Bengoechea Olguín, Natalia. "El libro de texto gratuito
de matemáticas de primer grado.
Análisis
de algunas lecciones". Correo del Maestro, No. 33,
febrero, 1999.
Mendiola
Sanz, Elsa. "El libro de texto gratuito de matemáticas
de segundo grado. Análisis de algunas lecciones".
Correo del Maestro, No. 33, febrero, 1999.
Sáiz,
Mariana. "El libro de texto gratuito de matemáticas
de tercer grado. Análisis de algunas lecciones". Correo
del Maestro, No. 34, marzo, 1999.
López
Amador, Lydia. "El libro de texto gratuito de matemáticas
de cuarto grado. Análisis de algunas lecciones". Correo
del Maestro, No. 34, marzo, 1999.
López
Amador, Lydia. "El libro de texto gratuito de matemáticas
de quinto grado. Análisis de algunas lecciones". Correo
del Maestro, No. 35, abril, 1999.
Alatorre,
Silvia. "El libro de texto gratuito de matemáticas
de sexto grado. Análisis de algunas lecciones". Correo
del Maestro, No. 35, abril, 1999.
|
