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Quien no se
detiene a ver,
estar dentro, estar
fuera,
qué fácil es.
Saltar del interior
al exterior,
también lo es.
Quien se detiene
a ver,
que no hay adentro,
afuera,
ni exterior, ni
interior,
un mundo ha de ver.
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Desde pequeños
hemos aprendido intuitivamente lo que es adentro y afuera,
esto lo podemos ver en figuras planas y cerradas, como por
ejemplo: cuadrados, triángulos o figuras que no sean regulares,
tales como las que se muestran en la figura número 1.
Esto
también lo vemos en la vida cotidiana; estamos fuera de
casa, dentro del autobús, fuera de la escuela, dentro de
la camisa, en el interior del cine, etc. (ver figura número
2).
La rama
de la matemática que estudia este tipo de propiedades se
llama topología y fue establecida por el matemático
Leonhard Euler (1707-1783) en el año de 1735.
Dicho
de una manera sencilla, la topología estudia aquellas
propiedades que no cambian cuando deformamos una figura
sin romperla.
Imaginemos
que dibujamos un cuadro sobre una banda de hule; al deformarla
quedaría algo semejante a lo que se muestra en la figura
número 3.
¿Cuáles
propiedades del cuadro cambiaron y cuáles son?
Cambiaron
el área, el perímetro, los ángulos internos y externos.
Estos cambiaron porque son propiedades geométricas, sin
embargo, no cambió el hecho de que la figura resultante
sigue siendo una curva cerrada que determina un interior
y un exterior.
Así,
en topología nunca nos preguntamos: "¿qué longitud?", "¿a
qué distancia?", "¿de qué tamaño?" sino que preguntamos
"¿dónde?", "¿entre qué?", "¿interior o exterior?" Es decir,
la topología se distingue de las otras geometrías que tratan
con ángulos, áreas, volumenes, distancias, perímetros, etcétera.
Banda
normal
Sabemos
que si tenemos un rectángulo como el que se muestra en la
figura número 4, si unimos A con C y B con D se forma una
banda que nos es familiar y en la que podemos distinguir
las siguientes características:
- posee adentro y afuera,
- si caminamos por la parte interior o exterior llegaremos
al mismo lugar,
- tiene dos superficies o caras las cuales son distinguibles
si se pintan de diferente color,
- tiene dos orillas,
- si hacemos un corte a la mitad de lo ancho como se
muestra en la figura número 5, se obtendrán 2 bandas con
las mismas propiedades des-critas anteriormente.
Banda
de Moebius
¿Existirán
bandas de una sola cara y que no tengan adentro y afuera?.
¡Sí!, los topólogos la llaman Cinta de Moebius —en
honor al matemático alemán, August F. Moebius (1790-1868),
que la descubrió en 1858- y tiene características muy particulares.
Pero antes, veamos cómo se construye esta cinta: se toma
el rectángulo de la figura número 4, pero ahora giramos
la cinta 180°, es decir media vuelta,
para unir A con D y B con C, como se muestra en la
figura número 6
Las características
de la Banda de Moebius son:
1.
Si nos ponemos a caminar sobre ella, veremos que algunas
veces estaremos caminando por el interior y otras por el
exterior, ya que tiene una sola cara. ¡qué sorpresa!
2.
Tiene una sola orilla.
3.
Si cortamos la cinta a la mitad (como en la figura número
7a) obtenemos una banda con el doble del tamaño. Esto se
debe a que, dado que se tiene una orilla, al hacer el corte
por la mitad hacemos la otra orilla y, por lo tanto, obtenemos
una sola banda.
4.
Si nuevamente cortamos a la mitad la banda resultante, se
forman dos bandas, las cuales no son de Moebius y están
entrelazadas como muestra la figura 7b.
Si observamos
cuidadosamente, la media vuelta eliminó uno de los lados...
¿sorprendente? Una forma de ver esto, es trazando una línea
recta a lo largo de la Cinta de Moebius y continuándola
hasta el punto de partida. Al separar los bordes de donde
estaba unida la cinta se verá que ambos lados han sido recorridos
por la línea recta, aun cuando al trazarla, no se cruzó
ninguno de los bordes (orillas). En una banda normal habría
tenido que cruzar una de las orillas para poder pasar del
otro lado.
Algo sobre sucesiones
En matemática,
la palabra "sucesión" se emplea casi en igual sentido que
en el idioma ordinario. Algunos ejemplos de ella los tenemos
cuando decimos: los reyes de Inglaterra, los presidentes
de México, las estaciones del año o cuando hablamos de una
colección de objetos (conjuntos) o sucesos y podemos observar
que están uno tras de otro (sucesión), es decir, cuando
están ordenados de modo que podemos identificar el primer
elemento, el segundo. etcétera.
Así,
en matemática, una sucesión es una ordenación de números,
dados por una cierta relación o fórmula y que está relacionada
directamente con el conjunto de los números enteros. La
forma de nombrar una sucesión es por An.
Veamos un ejemplo: a la sucesión dada por la formula
An= 2n + 3 se le asocian los primeros números
enteros, es decir, n=1, n=2, n=3, n=4, etc. y se van sustituyendo
éstos en la fórmula de la sucesión, así:
Si acomodamos
los valores obtenidos en la sucesión dada, de tal forma
que el primer término de la sucesión quede arriba del entero
"1", el segundo término quede arriba del entero "2". etc.,
y así sucesivamente, se puede observar que se puede aparear
un término de la sucesión con un número entero de la sucesión,
a lo que en matemática se le llama correspondencia uno a
uno o correspondencia biunívoca, tal como se muestra a continuación:.
Te invitamos
a que encuentres su relación (o fórmula). ¡Inténtalo!
Te preguntarás:
¿y esto qué tiene que ver con topología? Bueno, pues resulta
que si se corta la Banda de Moebius con cortes simultáneos,
se genera una sucesión de forma natural. La forma de ver
esto es la siguiente:
Sucesión
de Moebius
Si cortamos
a lo largo y por la mitad la Cinta de Moebius, tal como
muestra la figura número 7, se observa lo que ya sabemos,
pero... ¿qué pasa si hacemos los cortes de la siguiente
manera?: Con un corte ocurre lo que ya sabíamos; ahora con
dos cortes, como lo muestra la figura número 8, ¿cuántas
bandas se formarán? Se forman dos, pero una pequeña y otra
grande. ¿Sorprendido? Fabrica tus bandas y ponte a cortar.
Si realizamos tres cortes, ¿qué pasará? Se forman 4 bandas,
pero del mismo tamaño. ¿Te lo esperabas? ¿Qué sucede ahora
si hacemos 4, 5, 6,. o más cortes? A partir de ahí podemos
observar que se genera una sucesión, la cual está representada
en la tabla número 1. Ahora nuestro trabajo consistirá en
encontrar una relación (fórmula) que pueda predecir qué
pasa con cualquier número de cortes.
Debemos
observar cómo están los valores de la tabla y tratar de
encontrar dicha sucesión.
En la
tabla observamos que el número de cortes está asociado con
el conjunto de los números enteros y está relacionado con
el tamaño de la banda; también se puede ver que el tamaño
de las bandas depende de que el corte sea par o impar, diferenciándose
en que cuando el corte es par, las bandas son una pequeña
y las otras iguales y cuando es impar, todas las bandas
son del mismo tamaño. De esta manera, haciendo estas consideraciones,
podemos encontrar la sucesión de Moebius dada por la fórmula:
A partir
de esto se pueden establecer las siguientes propiedades:
1.
Si el corte es impar se obtiene el mismo tamaño en las bandas
y son bandas normales.
2.
Si el número de corte es par, una de las bandas obtenidas
es pequeña -es de Moebius- y las otras son del mismo tamaño
(más grandes).
3.
En la sucesión, si el corte es par, se obtendrá un número
de sucesión decimal. Por ejemplo, si n=6, se obtiene 3.5.
La parte entera de dicho valor nos indica el número de bandas
grandes (3) y el 0.5 indica la cinta pequeña, que representa
la mitad de una de las grandes.
4.
Se observa que si el corte es par, se genera una banda pequeña
que es de Moebius y otras grandes normales que están entrelazadas.
Si se le hace el mismo tratamiento a la banda pequeña —ya
sea con número de cortes par o impar—, ésta conserva
la propiedad aditiva, es decir, suma los cortes anteriores
y al final es como si hubiéramos hecho un solo corte a la
vez.
Perspectivas
de la topología
Actualmente
los modelos topológicos se usan para poder explicar otras
dimensiones, y también los campos electromágneticos; tiene,
además, aplicaciones en mecánica cuántica, pero esto está
fuera del interés de este artículo cuyo principal objetivo
es el estímulo para el estudio de la matemática.
Actividades
La adquisición
de las nociones de interior y exterior en educación preescolar
y primaria, son bases esenciales para ubicar a los alumnos
en su mundo espacial. Posteriormente, podrán formalizar
los conceptos de perímetro, área, volumen.
Es para
secundaria y preparatoria que se sugiere la construcción
de las bandas y la realización de los cortes. Éstas ayudarán
a entender el concepto de sucesión tanto en la vida cotidiana
como matemáticamente y son, además, una buena manera de
retar a la intuición.
El hecho
de generar una sucesión a partir de hacer cortes a una tira
de papel con apariencia conocida y llegar a una contradicción,
hace el proceso de aprendizaje más interesante.
El haber
obtenido una relación que puede predecir, con mucha precisión,
el resultado final, hará sentir el conocimiento matemático
como algo natural y no como una imposición dada por una
regla o ley.
