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Escribo
"incitado" por la directora de esta revista, con quien
conversamos mucho sobre mi oficio y sobre los temas
de mis investigaciones. Es la primera vez que abordo
estos temas. Creo no ser capaz de aportar grandes
ideas ni de dar opiniones muy novedosas, pero el desafío
valía y asumí el reto.
El objetivo principal del artículo es escribir sobre
algunos problemas y situaciones que se presentan en
el aprendizaje de la matemática al final del ciclo
escolar, pero me fue imposible hacerlo sin referirme
a algunas cuestiones mucho más amplias que hacen a
las dificultades de la matemática y su aprendizaje
en general. Por ello se verá que el artículo tiene
dos partes bien diferenciadas. Las subsecciones de
la primera parte (la enseñanza de la matemática en
general) están numeradas 1, 2, 3; las subsecciones
del artículo mismo están ordenadas por letras mayúsculas
A, B, C,...
Estas notas estarán carentes de ejemplificaciones
detalladas, de la experiencia propia de tratar con
niños de alrededor de 10 años, pero pueden tener la
validez de quien trata y le gusta tratar con jóvenes
en quienes las dificultades de aprendizaje de dos
lustros antes, se reflejan en dolorosos traumas de
estu-dio. Y de quien ha hecho de la enseñanza y de
la investigación en matemática su profesión.
La
enseñanza de la matemática en todos los niveles se
presenta como un problema insoluble. Tiene causas
y manifestaciones diferenciadas en países con distintos
grados de desarrollo económico y cultural. Algunas
de ellas tienen componentes que son propios de los
países con menor desarrollo industrial o agronómico
autónomo o con economías muy dependientes de las inversiones,
de las fluctuaciones de mercados o de políticas, externas.
Se podría resumir la explicación de por qué la disciplina
es motivo de tantas preocupaciones para alumnos, profesores
y padres en nuestros países, en los siguientes tres
aspectos.
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1. El
subdesarrollo
En naciones
donde la aplicación creativa del conocimiento para el desarrollo
de nuevas tecnologías no constituye parte de la mentalidad
dominante, es difícil que aumente el prestigio y el reconocimiento
de las ciencias básicas necesarias para tales desarrollos.
En estos países (que incluyen al del autor de esta nota),
quienes marcan explícita o implícitamente los rumbos de
la evolución económica, de las inversiones, de la ocupación
de mano de obra, tienen por orientación central la importación
de maquinaria o técnicas y su adaptación al terreno o producción
primaria del lugar. Por tanto, difícilmente ellos promuevan
una cultura en que la creación de conocimiento autóctono
sustentado en el conocimiento básico ocupe un lugar destacado
en el desarrollo global.
Esto no
significa que su discurso, sus arengas, etc., no estén cargadas
de alientos a la promoción de las ciencias y su carácter
nacional. Me estoy refiriendo a aspectos más sustantivos,
más estructurales, de la sociedad, no sólo a lo que gobernantes
o líderes empresariales pudieran escribir y decir. Más clara
y esquemáticamente: en una economía que no está basada en
la creación de técnicas propias para resolver sus problemas
no hay promoción del cono-cimiento científico y menos aún
de la ciencia más abstracta, la de menos con-tenido factual:
la matemática.
Creo útil
ejemplificar la importancia del conocimiento básico para
la creación de ciencia y técnica a las necesidades autóctonas
(nacionales, diríamos ahora) con lo que sucedió en la América
Prehispánica. El mejoramiento del maíz, la decisión de cuándo
plantar, la introducción de la roza como procedimiento para
ganar nuevos terrenos cultivables, son invenciones propias
que respondían a la geografía y a los medios disponibles:
fue creación autóctona de tecnología. Estos progresos fueron
simultáneos a la creación de sistemas de conteo del tiempo
(calendario, saber astronómico), a la invención de sistemas
de numeración y de formas de lenguaje escrito. Todo esto
es conocimiento básico, sin el cual aquellas necesidades
agrícolas propias no podrían haber sido satisfechas. La
invención de tecnología propia —incluso la adaptación
de técnicas conocidas a los problemas, materiales, tradiciones,
del lugar— es imposible, si no se han desarrollado
vigorosamente las ciencias básicas de tales tecnologías:
biología, física, química, matemática, y los procedimientos
que median entre estas ciencias y las aplicaciones.
La invención de tecnología
propia —incluso la adaptación de técnicas conocidas
a los problemas, materiales, tradiciones, del
lugar— es imposible, si no se han desarrollado
vigorosamente las
ciencias básicas de tales
tecnologías: biología, física,
química, matemática, y los procedimientos que median
entre estas ciencias
y las aplicaciones |
2. La
matemática es difícil
El objeto
de la matemática es un tanto imperceptible. La abstracción
de las propiedades cuantitativas o geométricas que caracterizan
a las primeras nociones estudiadas en los cursos de matemática,
constituyen un proceso de complicada asimilación. Pequeños
errores en este proceso hacen muy difícil la asimilación
de nuevos conceptos y procedimientos, generando grandes
traumas futuros. Por otra parte la memorización de una nomenclatura
diferente y muy precisa introduce componentes que no son
usuales en la vida diaria.
A la vez,
tales formas de pensar, de poder "desmaterializar" los objetos,
son parte de nuestra relación con la naturaleza, que nos
diferencia de otros animales avanzados. La comprensión de
propiedades globales de los objetos que se nos presentan
no se hace por mera acumulación. Se hace por reordenamiento,
por asociación de similitudes, que son parte fundamental
del conocimiento matemático. La aceptación y comprensión
de las dificultades de la matemática y, a su vez, de la
necesidad de su aplicación son básicas para poder analizar
el problema de la matemática con altura y competencia.
El grave problema
de la
enseñanza de la matemática no
es privativo de esta disciplina.
En la actualidad se da por
aceptado que todo el sistema
educacional está en crisis. Que
la velocidad de los cambios en
los grandes y en los pequeños
procesos, introdujo inmensas
dificultades en la sistematización del conocimiento
y, por
tanto, en su divulgación y
enseñanza. |
3. La enseñanza de la matemática es problemática
El grave
problema de la enseñanza de la matemática no es privativo
de esta disciplina. En la actualidad se da por aceptado
que todo el sistema educacional está en crisis. Que la velocidad
de los cambios en los grandes y en los pequeños procesos,
introdujo inmensas dificultades en la sistematización del
conocimiento y, por tanto, en su divulgación y enseñanza.
Sin ser muy rigurosos se puede decir que la interacción
alumno-docente que caracteriza el aprendizaje se da sobre
la base del estado actual del conocimiento y está fuertemente
influida por los intereses de ambas partes. El docente,
la parte conservadora de esta relación, la que representa
lo social, lo adquirido, lo a conservar (en este sentido
usé la expresión 'conservadora') tiene grandes dificultades
para mantenerse al día con los conocimientos. El estudiante
es sacudido por elementos ajenos a la enseñanza formal:
los medios de comunicación, la cultura de consumo, en unos
casos; el atraso cultural, la destrucción de la familia,
la pobreza endémica, en otros; peor aún, todo mezclado,
tantas veces. Para cumplir adecuadamente su función el docente
debería saber cómo se reflejan estos aspectos en el estudiante
cosa que en la actualidad habitualmente no sucede. Este
desfasaje entre lo que el docente tiene para transmitir
y lo que el estudiante espera recibir genera un desinterés
que interfiere de manera fundamental en el aprendizaje.
Las cuestiones
analizadas en 1. y 2. producen efectos característicos
en la crisis de la enseñanza de la matemática. Hay un proceso
de descreimiento de la importancia del conocimiento abstracto,
favorecido por las cuestiones económicas y sociales a que
hicimos referencia al principio y también por la cultura
del logro inmediato, de que lo bueno es lo que se puede
consumir. Todo esto genera una especie de despreocupación
y en muchos casos una desnaturalización del conocimiento
matemático. Con esto último quiero significar que el excesivo
énfasis en las motivaciones, en hacer atractivo el objeto
de estudio, lleva a descuidar la enseñanza de la matemática
misma, de las estructuras generales y las relaciones entre
ellas.
Por otra
parte las dificultades de la disciplina también se manifiestan
en frecuentes cambios de programas, métodos pedagógicos
y énfasis temáticos que dificultan la formación de sus docentes.
Éstos no logran acompasar su formación y actualización a
los cambios de la disciplina y a los incrementados (tanto
en número como en calidad) requerimientos sociales. En los
últimos 30 años, por ejemplo, hubo al principio un viraje
pronunciado hacia la enseñanza muy formalizada (que se dio
en llamar Matemática Moderna), y luego una rediscusión radical
de tales orientaciones. Esto abrió incluso enconos difíciles
de superar entre adeptos a unas y otras posiciones.
Todo esto
hace que la matemática se enseñe mal en su forma y en sus
contenidos, lo cual constituye una grave falla social. De
lo antes expuesto queda claro que no soy de los que opinan
que todo esté en manos de quienes enseñamos matemática;
tampoco creo que sólo con un gran esfuerzo pedagógico los
problemas del aprendizaje de la matemática puedan ser solucionados.
Pero la percepción de nuestras limitaciones no nos exime
de la obligación de pensar, opinar, dar soluciones, a problemas
tan acuciantes y de indudable impacto cultural.
En lo que
resta de este artículo, presentaré, a través de breves bloques
temáticos, algunos de los problemas del aprendizaje de la
matemática en niños que están finalizando la enseñanza primaria.
Los docentes no
logran
acompasar su formación
y actualización a los cambios
de la disciplina y
a los incrementados
(tanto en número
como en calidad)
requerimientos sociales. |
A. Prestigio
del saber matemático y temores que genera
El buen
desempeño en matemática es considerado, en general, como
una muestra de sabiduría e inteligencia. Se ve a quienes
tienen facilidad para la matemática como gente especial,
con alguna dote extraordinaria: el saber matemático goza
de prestigio. Esto se debe, por una parte, a que las dificultades
de la disciplina hacen que quien la sabe o la aprende con
facilidad sea visto distinto, especialmente dotado; por
otra parte, los muchachos con particular facilidad para
la matemática tienen, en general, también facilidad para
conceptualizar en otras disciplinas, para continuar la concatenación
lógica de razonamientos, hasta para encontrar similitudes
en geografía, física,.
Este "prestigio",
a su vez, genera en quienes tienen dificultades, un rechazo
muy fuerte a la matemática. Se sienten apabullados, pasan
a ignorar la belleza, la coherencia y el ordenamiento de
la disciplina, y a rechazar todo tipo de formalización por
su semejanza con la formalización matemática. No es infrecuente
que estos estudiantes con dificultades sean más retraídos,
sientan que no podrán ocupar roles importantes en su actividad
u obtener ocupaciones destacadas y modernas. Se considerarán
humillados ante sus profesores de matemática y, más adelante,
muchos de ellos serán incapaces de tener el sustento mínimo
para incorporar conocimientos matemáticos o meramente cuantitativos,
que les permitan avanzar normalmente en sus estudios.
B. Memoria
con detalles
El conocimiento
matemático incluye la memorización sistemática, clasificada,
si se quiere, de una cantidad muy grande de datos, de información
que deberá ser utilizada automáticamente: las tablas de
multiplicar, los valores de algunas funciones (las trigonométricas,
por ej.), el significado y valor de muchos símbolos (p -pi,
por ej.), equivalencias entre diferentes unidades de medida,
valores de raíces cuadradas, fórmulas de longitudes, áreas,
volúmenes. Esta información debe ser "guardada" con precisión,
con detalles: 3 por 8, no es "casi 25", es 24; símbolos
muy parecidos son distintos si cumplen diferentes funciones;
la coma de los números decimales se debe colocar en un lugar
exacto si se quiere representar un número dado, etcétera.
El hacer
operativa con velocidad esta masa de información es parte
del conocimiento matemático. Quien tiene dificultades para
recordar alguna de estas informaciones elementales, difícilmente
pueda seguir razonamientos más complicados o hacer ejercicios
en que esas operaciones se dan por sobreentendidas.
C. Procedimientos
estandarizados
Además del
almacenaje de información, el saber matemático incluye la
realización de un número muy grande de operaciones y rutinas
a ser aplicadas en el orden correcto, con precisión. Dentro
de estas operaciones incluyo ciertas propiedades de uso
sistemático. Veamos algunos ejemplos: la conmutatividad
de las operaciones elementales (cuyo conocimiento disminuye
el número de tablas a recordar); "el símbolo de + se transforma
en el de - al pasar un sumando para el otro lado del símbolo
de ="; la realización de operaciones iterativas, en que
la repetición es la clave del éxito (la división, por ej.)
Esta destreza incluye también la buena utilización o el
adiestramiento en la memoria presente, para no quedar perdido
en medio de un razonamiento de muchas etapas.
Esta capacidad
para integrar diferentes informaciones y procesarlas de
manera más o menos rutinaria es también parte de la buena
formación en matemática. Su carencia genera la imposibilidad
de saber qué hacer con objetos matemáticos usuales y cómo
continuar con operaciones previamente estudiadas.
De igual manera que
en la
evolución de las ideas, también
en la enseñanza los conceptos
deben ser introducidos a medida
que van siendo solicitados
por los tópicos enseñados, a
medida que el alumno esté en condiciones de apreciar
críticamente la importancia
de lo que está aprendiendo. |
D. Lenguaje,
símbolos y padrones
El aprendizaje
de la matemática depende mucho de un lenguaje y símbolos
propios y específicos. Estos lenguajes y simbolismos la
hacen a su vez más inaccesible. Se puede decir que son un
"mal necesario". Es interesante observar que esos elementos
decisivos en el progreso de la matemática demoraron mucho
en desarrollarse con toda fuerza; recién se consolidaron
en el siglo XVI con el desarrollo de la notación y el formalismo
del Álgebra.
Las dificultades
inherentes al lenguaje y simbolismo matemáticos obligan
a tener el debido cuidado en la utilización de tales instrumentos
en la enseñanza. El lenguaje mismo no motiva; las ideas
sí. Ningún alumno se puede interesar por cosas donde no
vea algún elemento que le satisfaga o agudice su curiosidad.
Esto incluso es verdad para los matemáticos que contribuyen
al desarrollo de su ciencia. Están interesados en las ideas,
métodos y técnicas que hacen parte de la disciplina. Vamos
introduciendo lenguajes y simbolismos por necesidades prácticas.
Lo mismo se puede decir en la enseñanza: introducirlos cuando
se hacen necesarios para auxiliar el aprendizaje de cosas
verdaderamente relevantes.
En esta
categoría de problemas también entran los padrones, esquemas,
palabras claves, que el estudiante debe poder reconocer
rápidamente para utilizar las técnicas adecuadas. Las representaciones
geométricas, el reconocimiento de figuras o de presentación
gráfica (columnas, diagonales, de conjuntos de números)
forman parte de las pericias a que hacemos referencia en
este ítem. Estos procedimientos incluyen dosis muy grandes
de abstracción, pues estos padrones aparecen con presentaciones
explícitas o visuales muy diferentes. La interpretación
precisa, incluso visual, de algunas definiciones abstractas,
es crucial para avanzar en la comprensión de diversos entes
geométricos: circunferencia, paralelas, equilátero.
El lenguaje,
los símbolos y los padrones matemáticos bien asimilados
y utilizados sistemáticamente en otras esferas de la actividad
y la ciencia son herramientas de comunicación y sistematización
fundamentales. Enriquecen la capacidad de transmisión, simplifican
modos de pensar, ayudan a llegar directamente al meollo
de problemas. Más aún, el buen manejo de estos elementos
en el lenguaje oral, clarifica la presentación de ideas
complicadas y evita los circunloquios y rodeos en la descripción
de situaciones.
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El saber matemático no tiene
la presentación de un queso Emmental: una deliciosa
masa con grandes agujeros.
La evolución del aprendizaje de
la matemática en los ciclos primario y secundario
debiera más
bien ser una masa uniforme en
que los agujeros que aparecieran fueran considerados
como
vacíos que hay que ir llenando.
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E. Lógica
y conceptos
Las cadenas
de razonamientos que son características de la matemática
son una de las cuestiones principales que el estudiante
debe aprender. Bertrand Russell escribió que en realidad
la matemática es un gran silogismo, que una vez dadas ciertas
definiciones, grandes áreas de la matemática se construyen
"razonando bien". No concuerdo con esta idea in totum:
gran parte de lo que traté de describir en la primera parte
del trabajo (en particular en el ítem 1.) se refiere
a la correspondencia de la matemática con la realidad, a
su carácter no arbitrario. Pero no es menos cierto que el
buen aprendizaje de la matemática incluye los grandes elementos
del razonamiento correcto, de la deducción posible, de las
dependencias permitidas entre conceptos.
Estas virtudes
del modo de pensar matemático no deben ser contrapuestas
a las características antes anotadas, en particular, a la
necesaria memorización de definiciones y procedimientos.
Menos aún en las etapas iniciales de la educación.
El progreso
en la comprensión de los mecanismos lógicos necesita de
un grado avanzado de conceptualización, especialmente en
estas etapas formativas. Es imposible razonar bien, si los
objetos del razonamiento no están definidos con precisión,
si no se conocen sus elementos constitutivos y sus límites.
Muchas veces una dosis generosa de memoria puede cubrir
grandes carencias en estas conceptualizaciones (sumar quebrados
sin saber muy bien qué representan las fracciones, por ejemplo),
pero a la larga estas carencias saltan aunque más no sea
porque con el paso del tiempo todo se olvida.
La capacidad
de resolución de problemas está fuertemente basada en estos
grados de conceptualización y rigor lógico: identificación
de las preguntas planteadas, utilización de alternativas
válidas, cambios de frente para atacar el problema ante
el fracaso de alguno utilizado previa-mente.
Aún así,
las cosas deben ir a su debido tiempo. De igual manera que
en la evolución de las ideas, también en la enseñanza los
conceptos deben ser introducidos a medida que van siendo
solicitados por los tópicos enseñados, a medida que el alumno
esté en condiciones de apreciar críticamente la importancia
de lo que está aprendiendo. Caso contrario el resultado
es negativo pues en lugar de estimular el aprendizaje, produce
el efecto contrario de generar desinterés por una matemática
que trata de objetos imperceptibles, que ni en su estructura
intrínseca son necesarios.
En esto
también la evolución de la ciencia da buenos ejemplos: los
matemáticos profesionales lidiaron con funciones durante
casi dos siglos antes de llegar a su definición general.
Sólo dieron una definición precisa (con sus con-tenidos
y límites) cuando la resolución de delicadas cuestiones
de convergencia lo hizo absolutamente necesario. La introducción
prematura de conceptos como los de función inyectiva, sobreyectiva,
inversa, compuesta, . sin la utilización adecuada de esos
conceptos -y, por tanto, sin revelar su real importancia-
es un ejercicio gratuito que se le exige al estudiante.
Gratuito y contraproducente.
F. Necesariamente
estimativo
La resolución
de problemas destaca, además de los aspectos lógicos y de
conceptualización antes aludidos, la importancia de lo cuantitativo
en matemática, de saber estimar resultados y descartar soluciones
improcedentes. Tal cual resulta inaceptable que quien hace
cálculos con velocidades de camiones carreteros obtenga
resultados de 900 km por hora y no trate de buscar el error;
al multiplicar sucesivamente tres números de una cifra,
un alumno medio de matemática debe descartar resultados
millonarios.
El realizar
cálculos 'groseros' debe ser incentivado por los maestros
más aún en tiempos que tales cálculos se hacen con pequeñas
máquinas, perdiéndose la noción del resultado aproxima-do,
de la estimación. Resulta inadmisible que el buen razonamiento,
que la buena memorización, etc., no se complementen con
el resultado más inmediato del saber matemático: cuantificar
fenómenos y acontecimientos, y operar con los números resultantes
de la cuantificación.
G. Carácter
acumulativo
Por último,
he creído útil destacar el carácter acumulativo del conocimiento
matemático. Éste es un aspecto particularmente sentido por
los docentes de los ciclos superiores de la enseñanza: las
carencias acumuladas, incluyendo las carencias de información
y de sistemática, generan inmensas dificultades en la comprensión
de nuevas ideas.
Expresado
con los debidos respetos, se puede ser un excelente estudioso
de ramas amplias de la historia sabiendo poco del papel
de Carlomagno en la Edad Media, pero no se puede ni aprender
matemática en los últimos cursos secundarios si no se sabe
sumar fracciones. El saber matemático no tiene la presentación
de un queso Emmental: una deliciosa masa con grandes agujeros.
La evolución del aprendizaje de la matemática en los ciclos
primario y secundario debiera más bien ser una masa uniforme
en la que los agujeros que aparecieran fueran considerados
como vacíos que hay que ir llenando.
Muchas
veces se disminuye la importancia de este carácter acumulativo
de los estudios de matemática; se le considera una sobreexigencia
de los profesores, otra reivindicación de los aspectos globales
de la materia. No es así. La buena comprensión, memorización,
práctica, de los conceptos anteriores, es casi imprescindible
para entender razonablemente las etapas más avanzadas. Facilita
el aprendizaje, consolida más fácilmente lo nuevo. Todos
los rasgos analizados entre B. y F. abonan
la importancia de la acumulación en el conocimiento matemático.
Ruego al lector haga un breve repaso de ellos para convencerse
de que carencias en unos aspectos se reflejan en debilidades
de los otros.
| Espero que a los
lectores habituales de esta revista les resulten útiles
estas anotaciones sobre la enseñanza de la matemática.
De mi parte encontré muy interesante y estimulante hacer
este ordenamiento sobre temas que de otra manera sólo
llaman mi atención cuando recibo los reproches que habitualmente
se hacen sobre las dificultades para comprender la disciplina. |
| Agradezco a A. M. F.
por diversas e importantes correcciones de estilo. Parte
de la sistematización de la segunda parte de esta nota
está inspirada en un artículo incluido en una colección
dedicada al Desarrollo y comportamiento de niños mayores
y adolescentes: Melvin D. Levine, Ronald L. Lindsay
& Martha S. Reed: The Wrath of Math. Pediatric
Clinics of North América, 39,525 - 536 (1992). |
